陳 思 曼

（滁州學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，安徽滁州 239000）

弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想不僅在理論上有重大突破，而且經(jīng)實(shí)踐檢驗(yàn)，具有良好的教學(xué)效果，目前已影響到許多國(guó)家。認(rèn)識(shí)弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想，對(duì)于教師更加有效地組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，提升學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。

一、弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的理論來(lái)源

漢斯·弗賴登塔爾（Hans Freudenthal）認(rèn)為，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的模式使得大多數(shù)學(xué)生缺少將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于其他學(xué)科和日常生活的能力，在這種傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育模式中，教師只能采用“灌輸”的方式，學(xué)生只能是被動(dòng)的學(xué)習(xí)。這樣做的結(jié)果是培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)技能上遠(yuǎn)不如計(jì)算機(jī)，而且失去了人的主動(dòng)性與創(chuàng)造性。

在此基礎(chǔ)上，他基于“經(jīng)驗(yàn)性”和“擬經(jīng)驗(yàn)性”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀及“建構(gòu)主義”的教學(xué)思想提出自己的數(shù)學(xué)教育思想。所謂數(shù)學(xué)的“經(jīng)驗(yàn)性”，不僅是指人類的實(shí)踐活動(dòng)為數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)提供了最基本的源泉，而且就整體、過程、總和、趨勢(shì)來(lái)說，應(yīng)當(dāng)肯定數(shù)學(xué)是思維對(duì)于客觀世界量性規(guī)律性的反映［1］35。弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)該是現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)，進(jìn)而形成了“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的教育思想。所謂數(shù)學(xué)的“擬經(jīng)驗(yàn)性”，是指數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性在很大程度上取決于它的數(shù)學(xué)意義。如果說數(shù)學(xué)的“經(jīng)驗(yàn)性”確認(rèn)了數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)的共同點(diǎn)，那么數(shù)學(xué)的“擬經(jīng)驗(yàn)性”就清楚地表明了數(shù)學(xué)相對(duì)于其他自然科學(xué)的特殊性［1］36?；跀?shù)學(xué)的“擬經(jīng)驗(yàn)性”的哲學(xué)思想，弗賴登塔爾形成了對(duì)于數(shù)學(xué)的獨(dú)特認(rèn)知，進(jìn)而提出了其“數(shù)學(xué)化”的思想。建構(gòu)主義教學(xué)觀強(qiáng)調(diào)要始終堅(jiān)持“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，認(rèn)為學(xué)生既是知識(shí)、信息認(rèn)知的主體也是意義的主動(dòng)建構(gòu)者［2］?；诮?gòu)主義的教學(xué)觀和“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”“數(shù)學(xué)化”等思想，弗賴登塔爾提出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程應(yīng)該是“再創(chuàng)造”的過程。

二、弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的基本內(nèi)容

弗賴登塔爾基于對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀的了解及數(shù)學(xué)哲學(xué)等思想的認(rèn)知，提出了自己獨(dú)特的數(shù)學(xué)教育思想，其中主要的數(shù)學(xué)思想表現(xiàn)在以下四個(gè)方面。

（一）數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要價(jià)值，提出“數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)應(yīng)該存在于現(xiàn)實(shí)之中。只有密切聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)才能充滿著各種關(guān)系，學(xué)生才能將所學(xué)的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)結(jié)合，并且能夠應(yīng)用”［3］。

1.“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的內(nèi)涵

弗賴登塔爾認(rèn)為現(xiàn)實(shí)世界中到處都存在著數(shù)學(xué)，每個(gè)人都在生活中使用著數(shù)學(xué)，都具有屬于自己的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。他認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)不僅包括已掌握的知識(shí)技能，已積累的一些數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還包括學(xué)生在學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)的基礎(chǔ)上在當(dāng)下所得到的數(shù)學(xué)發(fā)展［4］。同時(shí)，他認(rèn)為“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”是隨著學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)、生活等不斷變化、成長(zhǎng)的，是動(dòng)態(tài)的，而不是靜止不變的。

在這里需要注意的是，弗賴登塔爾所提出的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”與常說的“理論聯(lián)系實(shí)際”雖然都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活的聯(lián)系，但二者有所區(qū)別?！皵?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”是人的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)與客觀現(xiàn)實(shí)的結(jié)合，是客觀世界與數(shù)學(xué)問題相聯(lián)系并相互轉(zhuǎn)化的一種能力［5］。它既不是先學(xué)習(xí)理論，而后與實(shí)際相聯(lián)系，也與“先講述實(shí)際問題、然后運(yùn)用公式解決問題”不同。

2.“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的獨(dú)特性

弗賴登塔爾認(rèn)為：“每個(gè)人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個(gè)客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算方法、規(guī)則和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)?！保?］且“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”不僅包括每個(gè)人所接觸到的特定事物，也包括所處的當(dāng)下世界及其所反映的數(shù)學(xué)本身?？梢?，“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”是多樣化的，不僅考慮學(xué)習(xí)者的現(xiàn)實(shí)生活，如對(duì)于學(xué)生而言，“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”可能是玩游戲時(shí)輸贏的次數(shù)、前后幾次考試成績(jī)的浮動(dòng)；對(duì)于成人而言，“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”可能是近期工資的漲幅、明日的降雨概率等?！皵?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”還需要關(guān)注學(xué)習(xí)者進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的方式方法及其當(dāng)下所處的生活世界。

（二）數(shù)學(xué)化

弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展甚至整個(gè)數(shù)學(xué)體系的形成，其實(shí)就是不斷數(shù)學(xué)化的過程，因此他認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。

1.“數(shù)學(xué)化”的概念

數(shù)學(xué)化并沒有專門的定義，也無(wú)法考究最初是由誰(shuí)在何種情境下所提出的?，F(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)化的解釋是：“數(shù)學(xué)化”就是從數(shù)學(xué)的角度去認(rèn)識(shí)了解世界，分析和研究具體事物和現(xiàn)象的一種過程。也就是說，當(dāng)人們從具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中抽象出一般規(guī)律時(shí)就是在進(jìn)行數(shù)學(xué)化。

2.“數(shù)學(xué)化”的過程

弗賴登塔爾在特萊弗斯（Treffers）和哥弗里（Gof?free）對(duì)數(shù)學(xué)化過程區(qū)分的基礎(chǔ)上進(jìn)行了概括，認(rèn)為將生活中的真實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，完成生活問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，就是橫向數(shù)學(xué)化；在此之后，將數(shù)學(xué)的世界里的問題運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步抽象處理的過程，就是縱向的數(shù)學(xué)化。多數(shù)情況下，兩種數(shù)學(xué)化并不是可以非常清楚、嚴(yán)格地區(qū)分開，在解決問題的過程中，兩者是并行的，甚至是等價(jià)的。同時(shí)，弗賴登塔爾除了認(rèn)為可將數(shù)學(xué)化過程劃分為橫向數(shù)學(xué)化和豎向數(shù)學(xué)化外，還提出可將其劃分為形式化、公理化及模式化這三種過程，并認(rèn)為三者是缺一不可、相互連貫的過程。

3.“數(shù)學(xué)化”的水平

由于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”及數(shù)學(xué)能力各有不同，因而其數(shù)學(xué)化水平也各有差異。低理解水平上的“數(shù)學(xué)化”可以為高理解水平上的“數(shù)學(xué)化”作準(zhǔn)備。關(guān)于“數(shù)學(xué)化”的過程，弗賴登塔爾運(yùn)用了荷蘭范希爾（Van Hiele）的理論，認(rèn)為可分為五個(gè)水平：直觀階段、分析階段、抽象階段、演繹階段和嚴(yán)密階段。“數(shù)學(xué)化”的水平是與學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”與思維水平直接相關(guān)的，但并不要求各個(gè)年齡段的學(xué)生都必須達(dá)到嚴(yán)密階段。

（三）再創(chuàng)造

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育不應(yīng)采用傳統(tǒng)的灌輸?shù)姆椒?，?yīng)發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，運(yùn)用“再創(chuàng)造”的方式將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)重新創(chuàng)造出來(lái)。

1.“再創(chuàng)造”的內(nèi)涵

所謂“再創(chuàng)造”，即讓每個(gè)人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。在學(xué)生的頭腦中本沒有那些需要他現(xiàn)在進(jìn)行學(xué)習(xí)的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，他們需要像數(shù)學(xué)家一樣進(jìn)行觀察探究、分析總結(jié)、歸納提煉，從而在頭腦中形成相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)。從內(nèi)容上講，“再創(chuàng)造”包括數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造、數(shù)學(xué)教學(xué)的再創(chuàng)造、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的再創(chuàng)造等［7］。

需要注意的是，“再創(chuàng)造”方法與“發(fā)現(xiàn)教學(xué)法”有所不同，它們雖然都強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主動(dòng)性，但是要注意兩者之間的區(qū)別。這里理解的“創(chuàng)造”，是學(xué)習(xí)過程中的若干步驟，這些步驟的重要性在于再創(chuàng)造的“再”；而“創(chuàng)造”則既包括了內(nèi)容又包含了形式，既包含了新的發(fā)現(xiàn)又包含了組織［6］。“發(fā)現(xiàn)教學(xué)法”雖然也強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，但只是更加強(qiáng)調(diào)教師的引導(dǎo)。就一般而言，“發(fā)現(xiàn)教學(xué)法”在操作時(shí)更像是安排好套路，設(shè)法封住其他出路，并在通向正確出口的道路上擺放引誘物，引誘學(xué)生在安排好的道路上前進(jìn)，雖表面上是學(xué)生主動(dòng)找到“出口”，但實(shí)際上學(xué)生的主動(dòng)仍是“有限制”的，依然處于相對(duì)被動(dòng)的地位?？梢姡鞍l(fā)現(xiàn)教學(xué)法”只能算是低水平的“再創(chuàng)造”活動(dòng)。

2.有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”

弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種活動(dòng)，是一種必須要讓學(xué)生也參與進(jìn)來(lái)的活動(dòng)。因此，“再創(chuàng)造”非常強(qiáng)調(diào)學(xué)生基于自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)化水平和思維方式，把要學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容像數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)一樣自己創(chuàng)造出來(lái)，認(rèn)為只有這樣學(xué)生才會(huì)對(duì)所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)有更加深刻的理解，所提升的數(shù)學(xué)能力才更加地扎實(shí)穩(wěn)固。學(xué)生進(jìn)行的“再創(chuàng)造”活動(dòng)很大程度上取決于教師的指導(dǎo)，取決于在學(xué)生的主動(dòng)創(chuàng)造與教師的引導(dǎo)之間能夠取得一種恰如其分地平衡。

（四）反思

“反思”是一個(gè)看似可有可無(wú)的步驟，實(shí)則卻貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程始終，是進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的核心和動(dòng)力及“再創(chuàng)造”的前提。

1.反思的含義

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆?！狈此紝?duì)學(xué)習(xí)的重要性不言而喻，因而反思一直是教育研究中的重要內(nèi)容，如杜威就曾提出反思使人更加明智。弗賴登塔爾同樣肯定反思的重要性，并認(rèn)為：“從別人那里反射自己，就像白天和黑夜，自己反射自己，也就是反省或反思?！保?］他提出反思的內(nèi)容有很多，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，凡是跟數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法等有關(guān)的均是需要進(jìn)行反思的內(nèi)容。

2.反思的價(jià)值

反思可以促進(jìn)學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題，總結(jié)學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這有助于學(xué)生“數(shù)學(xué)化”的發(fā)展進(jìn)程。此外，反思還可以和想象一起幫助學(xué)生進(jìn)行猜想。數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)理論形成的源頭，是決定數(shù)學(xué)理論能否形成的至關(guān)重要的一步。正如弗賴登塔爾所認(rèn)為，世界上本沒有數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)家經(jīng)過對(duì)現(xiàn)實(shí)中的現(xiàn)象、問題的思考提出假設(shè)并進(jìn)行驗(yàn)證才形成的數(shù)學(xué)理論。由此可見，反思是“再創(chuàng)造”的前提，沒有反思，就沒有“再創(chuàng)造”；反思在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必不可少的重要一環(huán)。

三、弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的教育啟示

從對(duì)弗賴登塔爾主要數(shù)學(xué)教育思想的分析可知，成功的數(shù)學(xué)教育是由無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)所組成，而每個(gè)活動(dòng)都應(yīng)是基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，運(yùn)用“再創(chuàng)造”的方式，在“反思”活動(dòng)無(wú)時(shí)無(wú)刻的助力下不斷完成“數(shù)學(xué)化”的過程。

（一）結(jié)合學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)“真情境”

在數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中，教師要特別注意“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的獨(dú)特性，盡可能地了解學(xué)生當(dāng)下的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，不僅考慮其數(shù)學(xué)上的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、思想與方法，也要關(guān)注當(dāng)下社會(huì)所反映的數(shù)學(xué)方法、知識(shí)結(jié)構(gòu)等。在此基礎(chǔ)上教師要選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，采用合適的方式呈現(xiàn)適于學(xué)生理解的切合其“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的活動(dòng)內(nèi)容，以此組織教學(xué)活動(dòng)，從而逐步加深學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的深度并擴(kuò)充其廣度。此外，教師要注意“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”與“理論聯(lián)系實(shí)際”的區(qū)別，在組織數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，不能夠簡(jiǎn)單地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式后進(jìn)行數(shù)學(xué)題的練習(xí)，而是在基于幼兒的數(shù)學(xué)水平、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、當(dāng)下所處的生活環(huán)境等所創(chuàng)設(shè)的“數(shù)學(xué)情境”中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并注重培養(yǎng)學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和將所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)理論運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)生活中去的能力。

具體而言，教師可以利用學(xué)習(xí)者生活中的“生活原型”，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)者能夠理解的數(shù)學(xué)情境，幫助學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)情境中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，否則脫離了學(xué)習(xí)者生活的數(shù)學(xué)教育，將成為“無(wú)源之水，無(wú)本之木”。需要注意的是，所創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境必須是一種對(duì)學(xué)習(xí)者而言的“真”情境，這里的“真”可以是“真實(shí)”的情境，也可以是“逼真”的情境。

（二）巧妙利用“數(shù)學(xué)化”，提高學(xué)生數(shù)學(xué)水平

“數(shù)學(xué)化”的發(fā)展是一個(gè)螺旋上升的過程，基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中教師提升學(xué)生的“數(shù)學(xué)化”水平，并對(duì)“數(shù)學(xué)化”進(jìn)行分析，再運(yùn)用于實(shí)際。雖然可以將“數(shù)學(xué)化”劃分為“橫向數(shù)學(xué)化”與“縱向數(shù)學(xué)化”兩種，但兩者并非是可以完全割裂開來(lái)的，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教育時(shí)教師必須要將兩者結(jié)合起來(lái)。否則，缺少“橫向數(shù)學(xué)化”，學(xué)生便缺少了將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的練習(xí)機(jī)會(huì)，無(wú)法將生活轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)，便可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生今后很難運(yùn)用數(shù)學(xué)解決生活中的實(shí)際問題；缺少“縱向數(shù)學(xué)化”，則缺少了進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯思維的機(jī)會(huì)，學(xué)生將很難形成完整的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

在數(shù)學(xué)化過程中，教師不能要求所有學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中都經(jīng)歷直觀階段、分析階段、抽象階段、演繹階段、嚴(yán)密階段這五個(gè)階段，并達(dá)到最高水平。教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生原有的“數(shù)學(xué)化”水平制定合理的教學(xué)目標(biāo)，且不能過分強(qiáng)調(diào)公理化的演繹和形式化的證明；根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出合理要求，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言組織并表達(dá)自己對(duì)于數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)內(nèi)容及內(nèi)在聯(lián)系的理解與看法，而非對(duì)數(shù)學(xué)概念或公式進(jìn)行死記硬背。在“數(shù)學(xué)化”過程中，教師要注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的恰當(dāng)使用，并非越正規(guī)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就越適合用于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。如果學(xué)生的數(shù)學(xué)化水平接近學(xué)生能夠理解的水平，并能正確反映數(shù)學(xué)內(nèi)涵的數(shù)學(xué)語(yǔ)言；那么就更有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，亦更有利于其“數(shù)學(xué)化”水平的提升。

（三）鼓勵(lì)支持“再創(chuàng)造”，提供探究新環(huán)境

數(shù)學(xué)是“數(shù)學(xué)家”創(chuàng)造出來(lái)的，教育應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣創(chuàng)造數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)。由于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和“數(shù)學(xué)化”水平不可能完全相同。因而，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)給予學(xué)生“再創(chuàng)造”的自由，并尊重學(xué)生獨(dú)特的想法與解題思路，為學(xué)生創(chuàng)造真正自由的“再創(chuàng)造”環(huán)境，而不是表面上允許學(xué)生進(jìn)行探索，實(shí)際上卻只是想方設(shè)法地“誘導(dǎo)”學(xué)生走到自己預(yù)設(shè)好的道路上來(lái)，否則就無(wú)法很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

由于時(shí)間、精力有限，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也無(wú)法與真正的數(shù)學(xué)家相比，因而為避免學(xué)生走太多不必要的彎路，學(xué)生要在教師指導(dǎo)下高效率地“再創(chuàng)造”。這就說明，教師是否能夠把握好自己的引導(dǎo)與學(xué)生自主探究之間的平衡，是“再創(chuàng)造”是否能夠成功的關(guān)鍵所在。教師在組織數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，可借鑒特萊弗斯（Tref?fers）的觀點(diǎn)，遵循以下原則：“在學(xué)生當(dāng)前的現(xiàn)實(shí)中選擇學(xué)習(xí)情境，使其適合水平數(shù)學(xué)化；為縱向（垂直）數(shù)學(xué)化提供手段和工具；相互作用的教學(xué)系統(tǒng)；承認(rèn)和鼓勵(lì)學(xué)生自己的成果；將所學(xué)的各個(gè)部分結(jié)合起來(lái)。”［9］

（四）引導(dǎo)幫助學(xué)生“反思”，綜合提升數(shù)學(xué)能力

反思有助于學(xué)習(xí)者進(jìn)行再創(chuàng)造和數(shù)學(xué)化水平的提升。在數(shù)學(xué)教育中，教師不僅要在思想上意識(shí)到“反思”的重要性，更要將其體現(xiàn)在行動(dòng)上；不僅要對(duì)自己的教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行“反思”，而且要知道比自己進(jìn)行“反思”更重要的是要通過自己的“反思”帶動(dòng)學(xué)生的“反思”。

具體而言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師首先要自己進(jìn)行反思，適當(dāng)?shù)貙⒆约旱姆此歼^程“暴露”在學(xué)生面前。該過程的表現(xiàn)形式應(yīng)契合學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)水平、思維發(fā)展特點(diǎn)等，并由此引導(dǎo)學(xué)生觀察并理解教師的反思內(nèi)容及過程。比觀察理解教師的反思內(nèi)容和過程更重要的是學(xué)生真正體會(huì)到了反思的意義。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到反思的重要性并從教師身上學(xué)會(huì)如何進(jìn)行反思之后，教師要注意為學(xué)生留出可用來(lái)進(jìn)行“反思”的時(shí)間與空間，并幫助他們從需要教師引導(dǎo)才能“反思”，逐步達(dá)到可以獨(dú)立進(jìn)行“反思”的水平。

通過反思，學(xué)生的新舊知識(shí)之間地聯(lián)系得到加強(qiáng)，有助于形成完整的學(xué)習(xí)體系。此外，還要引導(dǎo)學(xué)生將反思與想象結(jié)合起來(lái)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、小心驗(yàn)證，激發(fā)學(xué)生的“數(shù)學(xué)猜想”，幫助學(xué)生從不會(huì)“反思”到學(xué)會(huì)“反思”，從低水平“反思”向高水平“反思”，這也正是學(xué)生“數(shù)學(xué)化”水平和數(shù)學(xué)能力不斷提升的過程。