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（安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽淮南232001）

自然科學(xué)與工程技術(shù)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜函數(shù)或復(fù)雜的散亂數(shù)據(jù)的整理。而有理函數(shù)就為其提供了很好的解決辦法。連分式插值函數(shù)有著廣泛的研究與應(yīng)用,早期，王仁宏，譚結(jié)慶等對連分式插值的各種計(jì)算方法做了總結(jié)[1-3]，其基本概念和插值方法已經(jīng)深有研究[4-9]，許多學(xué)者對有理樣條函數(shù)[10]以及一系列混合有理函數(shù)[11-14]做了討論。文獻(xiàn)[15]給出了新的用組合術(shù)語重新表述了幾個(gè)關(guān)于連分式的已知結(jié)果，這些多邊形剖分被解釋為Farey 鑲嵌中的行走。連分式的組合模型可以進(jìn)一步發(fā)展，以獲得問題陳述語言系統(tǒng)(problem statement language，PSL)。近些年，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，連分式有理插值有了更廣泛的應(yīng)用[16-20]。文獻(xiàn)[21]定義和研究了卷積交流冪和，并證明了一些涉及歐拉多項(xiàng)式和斯特林?jǐn)?shù)的恒等式，導(dǎo)出了轉(zhuǎn)換器分子和分母的顯式公式。特別地，當(dāng)t是一個(gè)偶數(shù)正整數(shù)時(shí)，得到了調(diào)和連分式的極限值。這些都是關(guān)于連分式更進(jìn)一步的研究應(yīng)用。本文對Michalik 連分式做了研究，給出了一種對Michalik 連分式插值的擴(kuò)展算法，與一般的連分式算法進(jìn)行了比較，說明了該擴(kuò)展的插值方法的有效性。該方法也可用于實(shí)際生活中含有漸近線的散亂數(shù)據(jù)來構(gòu)造插值函數(shù)，則可以算出最優(yōu)節(jié)點(diǎn)的情況。

1 連分式插值

連分式插值是一種有理函數(shù)逼近法。其基本出發(fā)點(diǎn)是將原型展開成連分式然后截取前幾個(gè)起主要作用的偏系數(shù)構(gòu)成簡化模型。它是由初期的數(shù)量形式推廣到向量形式和矩陣形式的研究內(nèi)容。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，連分式的應(yīng)用范圍也在不斷擴(kuò)大，特別是以連分式為工具的數(shù)值逼近方法尤其受到人們的重視。連分式計(jì)算簡便，擬合精度較高，是一種很有效的傳遞函數(shù)簡化法。

設(shè)給出的點(diǎn)集X={x0,x1,…,xn}?[a,b]，函數(shù)f(x)在其上有定義，則X上的Thiele 型連分式插值為：

其中φ[x0,x1,…,xk]是f(x)在x0,x1,…,xk處的k階逆差商，其定義如下：

上述有理插值函數(shù)Rn(x)是分子次數(shù)為且分母次數(shù)為的有理函數(shù)，即對于已知的型值點(diǎn)(xi,yi)(yi=f(xi),i=0,1,2)，連分式插值函數(shù)為：

2 三項(xiàng)遞推公式

設(shè)x0，x1，…，xn為區(qū)間[a，b]上的n+1 個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn)，fi=f(xi)，i=0，1，…，n是被插值函數(shù)f(x)在這些節(jié)點(diǎn)處對應(yīng)的函數(shù)值，設(shè)插值連分式為，給出pn和Qn的遞推關(guān)系[1]：

設(shè)P-1=1，P0=a0,Q-1=0,Q0=1則對n≥1，

利用三項(xiàng)遞推公式可以逆向推導(dǎo)出所加節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，從而使該函數(shù)更加精準(zhǔn)。

3 關(guān)于Michalik 連分式插值的擴(kuò)展算法

Michalik 在1983 年為了尋找在物理學(xué)中的一些非線性方程組的數(shù)值算法，從而創(chuàng)造性地建立了系數(shù)函數(shù)的遞推格式，首次提出Michalik 連分式插值算法。即在一些有極限的情況之下，當(dāng)它們所有節(jié)點(diǎn)都等同的時(shí)候，插值函數(shù)就轉(zhuǎn)換成了在這些插值節(jié)點(diǎn)附近的連分式的展開。

對于任意非零的實(shí)值函數(shù)f(x)及其對應(yīng)的函數(shù)表x0，x1，…，xn，f(x0)，f(x1)，…，f(xn)，首先將該函數(shù)描述成以下形式：

將函數(shù)表中的第一個(gè)點(diǎn)代入，得到

若上述函數(shù)的乘積存在，則下述極限存在：

則插值連分式誤差計(jì)算公式

插值連分式的特征定理為：

設(shè)點(diǎn)集X={x0,x1,,xn},n=2m-1，且函數(shù)有水平漸進(jìn)線，即，則Michalik 連分式插值函數(shù)為:

加一點(diǎn)xn+1，已知，則設(shè)定的擴(kuò)展連分式插值函數(shù)的極限也為A，根據(jù)則能夠求出φ[x0,x1,…,xn+1]的值。利用連分式插值的三項(xiàng)遞推公式求解出f(xn+1)的值，則可以確定構(gòu)造出的新的插值節(jié)點(diǎn)和連分式插值函數(shù)。然后給出不同的插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行比較，得出最優(yōu)的插值節(jié)點(diǎn)及插值函數(shù)。

4 數(shù)值例子

根據(jù)上述理論研究，給出如下的數(shù)值例子，從而驗(yàn)證該方法的有效性和實(shí)用性。

該函數(shù)圖像如圖1。根據(jù)該被插值函數(shù)圖像，我們可以看出當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，f(x)有極限為1。利用一般公式計(jì)算出連分式插值為：

可以計(jì)算出其誤差函數(shù)圖像如圖2 所示。關(guān)于Michalik 連分式插值的擴(kuò)展算法如下：

加一個(gè)點(diǎn)(x4,f4)，x4=9，計(jì)算擴(kuò)展連分式插值，則可以列出公式：

由公式可以求出φ[x0,…,x4]=0.007 640 9，然后根據(jù)三項(xiàng)遞推公式計(jì)算出f(xn+1)的值。從而計(jì)算出的擴(kuò)展Michalik 連分式插值函數(shù)為：

圖1 f(x)=的圖像

圖2 一般連分式插值函數(shù)誤差圖

其誤差函數(shù)圖像如圖3 所示。

由兩種連分式方法所得出的誤差函數(shù)圖像可以明顯看出：隨著自變量的增加，一般連分式方法誤差逐漸增加，而本文中的擴(kuò)展Michalik 連分式算法所計(jì)算出的函數(shù)隨著x的增加，誤差反而逐漸變小，這就表明了該擴(kuò)展方法的有效性。

下面對兩種連分式插值函數(shù)做積分，積分區(qū)間為x∈[1.1,10.9]:

圖3 擴(kuò)展Michalik 連分式插值函數(shù)誤差圖像

顯然，上述例子的比較驗(yàn)證了一個(gè)結(jié)論：加一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展Michalik 連分式插值方法得出的函數(shù)誤差會(huì)較小，使給出的連分式插值更加準(zhǔn)確，因此該方法更加有效，具有可行性。

5 小結(jié)

本文首先將原有的插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行一般的連分式插值算法，然后通過加一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，進(jìn)行擴(kuò)展Michalik 連分式算法，并將偶數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)化為奇數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)，使連分式插值的分子次數(shù)比分母次數(shù)高一次。然后通過添加不同的插值節(jié)點(diǎn)，給出不同的節(jié)點(diǎn)值，比較驗(yàn)證得出更加精確的擴(kuò)展的插值函數(shù)。通過確定其增加的插值節(jié)點(diǎn)，使給出的Michalik 連分式更加趨近于原來給出的函數(shù)。這種方法使擴(kuò)展的連分式插值誤差比原來更小，連分式插值算法更加準(zhǔn)確，提高了精確度。這是一種可行的有效插值方法，對插值計(jì)算和誤差估計(jì)有重要的影響和推動(dòng)作用。