王樹(shù)新

(福建省泉州市泉港區(qū)泉港第二中學(xué) 362000)

毋庸置疑，高中數(shù)學(xué)相對(duì)于初中有了重大變化，新生面臨著“陡坡效應(yīng)”，期初考試成績(jī)呈2-8規(guī)律分布：成績(jī)好的占兩成，不好的占八成.在集合和函數(shù)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)不同程度的不適應(yīng)，數(shù)學(xué)初高中銜接課必不可少.

一元二次函數(shù)的知識(shí)源于初中，成熟在高中，是高考的重點(diǎn).作為一個(gè)既簡(jiǎn)單又重要的函數(shù)類(lèi)型，一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)展示了一個(gè)完整的函數(shù)研究過(guò)程，不但可以復(fù)習(xí)到初中的相關(guān)重要性質(zhì)、知識(shí)點(diǎn)、公式，還可以銜接高中多種數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)各種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為高中函數(shù)學(xué)習(xí)的螺旋上升打好基礎(chǔ)，可以說(shuō)是初高中銜接最佳素材.

一、從y=ax2+bx+c(a≠0)到f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

例1函數(shù)f(x)=x2+bx+c對(duì)任意的x均有f(1+x)=f(1-x)，那么f(0)，f(-1)，f(1)的大小關(guān)系是(C).

A.f(-1)

C.f(1)

銜接了初中的函數(shù)值運(yùn)算，函數(shù)值對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象中的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的知識(shí)，為高中函數(shù)概念中的對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”的學(xué)習(xí)做好銜接準(zhǔn)備，為奇偶函數(shù)定義f(-x)=±f(x)的學(xué)習(xí)做好銜接準(zhǔn)備.

學(xué)生理解“f(1-x)=f(1+x)”時(shí)，識(shí)別和應(yīng)用符號(hào)表達(dá)抽象概念，使數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到提高.由計(jì)算上的“處處相等”，到圖象上的“處處等高”，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形上點(diǎn)的高低比較，促進(jìn)了直觀(guān)想象核心素養(yǎng)的發(fā)展.

二、從f(x)到f(g(x))

例2已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3

(1)求f(-1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(t+1)；

(2)若函數(shù)g(x)滿(mǎn)足g(x-1)=f(x+1)，求函數(shù)g(x)的表達(dá)式.

銜接了初中求函數(shù)值計(jì)算，銜接了初中“配方法”運(yùn)算，為高中“整體代換”思想方法做好銜接準(zhǔn)備，為高中函數(shù)概念的對(duì)應(yīng)關(guān)系“f或g”的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

從特殊到一般，歸納體會(huì)“f”的一般意義，歸納體會(huì)自變量“x”的“虛位以待”意義(x可用任意允許的數(shù)和式子替換)，提高數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).對(duì) “f、g”和“x”的符號(hào)識(shí)別和運(yùn)用提高運(yùn)算求解素養(yǎng).

三、從圖象到解析式

例3如圖是一個(gè)一元二次函數(shù)y=f(x)的圖象.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-kx+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離等于5，求k的值.

解(1)方法一 設(shè)所求f(x)=ax2+bx+c，把(1,0)、(-3,0)、(-1,4)代入，

方法二 由圖，設(shè)所求f(x)=a(x+3)(x-1)，把(-1,4)代入，

得a(-1+3)(-1-1)=4，解得a=-1，f(x)=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.

方法三 由圖，設(shè)所求f(x)=a(x+1)2+4，把(1,0)代入，

得a(1+1)2+4=0，解得a=-1，f(x)=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.

(2)由(1)得g(x)=-x2-(k+2)x+4，設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)

解得k=-5或k=1.

方法二 令g(x)=0，得-x2-(k+2)x+4=0.

依題意，|x1-x2|=5,

四、從靜止到運(yùn)動(dòng)變化

例4 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,4)，過(guò)A作直線(xiàn)l交x軸于B，連接OA，拋物線(xiàn)y=x2從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到點(diǎn)A時(shí)停止移動(dòng).

(1)求頂點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A時(shí)拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.

①用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)m為何值時(shí)，線(xiàn)段PB最短？

解(1)原平移等價(jià)于先把y=x2向右平移2個(gè)單位得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=(x-2)2,再向上平移4個(gè)單位得到的圖象所對(duì)應(yīng)解析式為y=(x-2)2+4,

即y=x2-4x+8.

(2)①因?yàn)橹本€(xiàn)OA所在的直線(xiàn)方程為y=2x，當(dāng)x=m時(shí)，y=2m,

所以M(m,2m)，此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式為y=(x-m)2+2m(0≤m≤2).

當(dāng)x=2時(shí)，y=m2-2m+4，所以P(2,m2-2m+4).

②|PB|=m2-2m+4=(m-1)2+3.

所以當(dāng)m=1時(shí)(此時(shí)，M在線(xiàn)段OA的中點(diǎn))，線(xiàn)段PB最短為3.

銜接初中的二次函數(shù)圖象平移變換，銜接向量位移和，為高中一般函數(shù)的圖形變換做好銜接準(zhǔn)備，用變量m描述運(yùn)動(dòng)，為函數(shù)應(yīng)用做好銜接準(zhǔn)備，為函數(shù)求最值做好銜接準(zhǔn)備.

建立m與|PB|的函數(shù)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的一般步驟,強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

五、從記憶到理解

例5已知一元二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為C.

(1)當(dāng)a=1、b=-2、c=-3時(shí)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

解(1)由已知，f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,

所以頂點(diǎn)C(1,-4).

銜接初中一元二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和韋達(dá)定理，為高中公式學(xué)習(xí)做好銜接準(zhǔn)備，為體會(huì)數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性與完備性特點(diǎn)做好銜接準(zhǔn)備.

從特殊到一般，提高邏輯推理素養(yǎng)，從數(shù)字運(yùn)算到符號(hào)運(yùn)算提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，從記憶到理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提高.

用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)作為初高中銜接內(nèi)容，可以為高中函數(shù)概念、單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)與方程、函數(shù)應(yīng)用、解析幾何的學(xué)習(xí)做好銜接準(zhǔn)備，不但可以復(fù)習(xí)配方法、十字相乘法、待定系數(shù)法等重要運(yùn)算，還可以提高學(xué)生抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等數(shù)學(xué)能力，從而提高數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).進(jìn)而改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，有助于改變初中的識(shí)記、模仿、訓(xùn)練的的被動(dòng)學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)形成主動(dòng)理解與運(yùn)用數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法.