覃澤鋒，石慧榮，侍玉青

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730070;2. 甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,蘭州 730070)

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性是旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)計(jì)、制造和操作中非常重要的問題[1].轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的強(qiáng)烈振動(dòng)甚至是災(zāi)難性的機(jī)械事故.近幾十年的研究表明,強(qiáng)非線性激發(fā)源如油膜力、密封力等是造成旋轉(zhuǎn)機(jī)械不穩(wěn)定事故的主要原因[2].

近年來,國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的研究取得了很大的進(jìn)展.Peng[3]對(duì)比研究了開放裂紋轉(zhuǎn)子和呼吸裂紋轉(zhuǎn)子模型,發(fā)現(xiàn)在低于亞臨界速度附近出現(xiàn)的帶有內(nèi)部循環(huán)的漩渦軌道是呼吸裂紋轉(zhuǎn)子模型的獨(dú)特屬性.Wang[4-5]等以支承在油膜軸承上的Jeffcott轉(zhuǎn)子對(duì)象,分別研究了對(duì)稱和非對(duì)稱油膜力對(duì)碰摩轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為的影響;結(jié)果表明在非對(duì)稱油膜力作用下,混沌運(yùn)動(dòng)的演化規(guī)律更加復(fù)雜,系統(tǒng)響應(yīng)的混沌區(qū)域明顯更寬.Chang-Jian[6-7]等研究了具有不平衡、碰摩和橫向裂紋的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,發(fā)現(xiàn)這種帶有耦合故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定形式極為復(fù)雜,且裂紋深度和角度對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的行為影響極大.徐璐等[8-9]對(duì)含有碰摩故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了深入分析,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多周期、概周期和混沌等復(fù)雜運(yùn)動(dòng).劉政[10-11]基于中性軸法確定裂紋開合,數(shù)值計(jì)算了呼吸裂紋引起的剛度時(shí)變的轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動(dòng),發(fā)現(xiàn)瞬態(tài)條件下帶呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的亞諧共振并不明顯;裂紋越大,過臨界轉(zhuǎn)速時(shí)瞬態(tài)振幅越大,在臨界轉(zhuǎn)速附近裂紋瞬時(shí)開張會(huì)激起很大的振動(dòng).劉長利[12]利用延拓打靶算法研究了碰摩力和油膜力耦合的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同偏心量及不同碰摩間隙下的的分岔特性,文獻(xiàn)并未分析潤滑油粘度對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的影響,而潤滑油粘度影響油膜力的大小;在此基礎(chǔ)上,本文建立了更加復(fù)雜的油膜力-碰摩力耦合的雙盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng),利用四階Runge-Kutta算法著重研究了不同轉(zhuǎn)速及不同潤滑油粘度對(duì)系統(tǒng)分岔特性及系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,并利用最大碰摩力圖分析了系統(tǒng)最佳運(yùn)行區(qū)間,為轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行提供理論參考.

1 油膜力-碰摩力耦合的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)

研究對(duì)象為簡化的油膜力-碰摩力耦合的雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng),轉(zhuǎn)子兩端采用對(duì)稱結(jié)構(gòu)的滑動(dòng)軸承支承.如圖1所示,Oi(i=1,4)分別為左右兩端軸承軸瓦幾何中心,Oi(i=2,3)為轉(zhuǎn)子的幾何中心;mi(i=1,4)分別為轉(zhuǎn)子在左右軸承處的集中質(zhì)量,mi(i=2,3)分別為轉(zhuǎn)子在圓盤處的等效集中質(zhì)量,δi(i=2,3)為轉(zhuǎn)子質(zhì)心的偏心距.轉(zhuǎn)軸為無質(zhì)量弾性軸,K為轉(zhuǎn)軸剛度,Kc為定子剛度;Ci(i=1,4)代表轉(zhuǎn)子在左右軸承處的結(jié)構(gòu)阻尼,Ci(i=2,3)為轉(zhuǎn)子圓盤處的結(jié)構(gòu)阻尼.軸承半徑為R,軸承長度為L,軸承間隙為c.Fxi,Fyi(i=1,4)為左右兩端滑動(dòng)軸承作用在轉(zhuǎn)軸上的油膜力;Pxi,Pyi(i=2,3)為轉(zhuǎn)子與定子間的碰摩力.

1.1 油膜力模型

本文采用Capone短軸承油膜力模型,該模型的收斂性比較好,油膜壓力p滿足雷諾方程:

(1)

根據(jù)上式得油膜壓力:

(2)

(3)

其中:σ為Sommerfeld修正系數(shù),上式各參數(shù)為:

(4)

1.2 碰摩力模型

轉(zhuǎn)子在運(yùn)行過程中,當(dāng)轉(zhuǎn)子徑向位移er大于轉(zhuǎn)子與定子間的間隙δ時(shí),兩者間就會(huì)發(fā)生碰摩.當(dāng)碰摩時(shí)間很短時(shí),碰撞可以近似為彈性碰撞,摩擦力滿足庫倫定理.碰摩過程中徑向和切向的力可以表示為:

(5)

(6)

(7)

1.3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

如圖1,假設(shè)左右兩端軸承處軸端徑向位移為Xi,Yi(i=1,4);轉(zhuǎn)子圓盤處位移為Xi,Yi(i=2,3)綜合考慮油膜力、碰摩力的影響,并引入無量綱:

(8)

根據(jù)牛頓第二定律,建立無量綱后的微分方程為:

(9)

2 數(shù)值仿真

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

2.1 轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

當(dāng)μ=0.018 Pa·s時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的全局和局部分岔圖如圖2所示,從圖中可以看出系統(tǒng)經(jīng)歷了周期運(yùn)動(dòng)、多周期運(yùn)動(dòng)、概周期運(yùn)動(dòng)、陣法性混沌運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜運(yùn)動(dòng).當(dāng)ω=384 rad·s-1時(shí),系統(tǒng)首次發(fā)生倍周期分岔,形成P2(P表示周期)運(yùn)動(dòng).而后系統(tǒng)由P2經(jīng)由逆倍化分岔,重新形成P1運(yùn)動(dòng).由于轉(zhuǎn)速不斷提高,油膜渦動(dòng)形成,導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與定子間的碰摩加劇,系統(tǒng)在ω=482 rad·s-1處發(fā)生Hopf分岔形成概周期運(yùn)動(dòng),圖3(a)、3(b)給出了此處概周期運(yùn)動(dòng)的相圖和Poincaré截面圖，從圖中可以看出系統(tǒng)的概周期運(yùn)動(dòng)反映在Poincaré截面上是一條封閉的光滑曲線.在轉(zhuǎn)速545～577 rad·s-1內(nèi),系統(tǒng)經(jīng)由一系列倍周期分岔進(jìn)入混沌,如圖2(b)局部分岔圖所示.中速區(qū)577～1 232 rad·s-1,系統(tǒng)呈現(xiàn)陣發(fā)性混沌,圖3(d)、3(f)呈現(xiàn)了不同轉(zhuǎn)速下混沌所對(duì)應(yīng)的Poincaré截面圖,可以看到不同轉(zhuǎn)速下其混沌所對(duì)應(yīng)的混沌吸引子以及相圖都大不一樣.隨著轉(zhuǎn)速不斷增大,當(dāng)轉(zhuǎn)速穿越ω=1 236 rad·s-1后,系統(tǒng)發(fā)生一系列逆倍化分岔,形成P1運(yùn)動(dòng);而后系統(tǒng)在ω=1 915 rad·s-1處發(fā)生Neimark-Sacker分岔,其形成的概周期在Poincaré截面上是一條不光滑封閉曲線,其相圖也不同于Hopf分岔形成的概周期運(yùn)動(dòng),如圖3(g)、3(h).

2.2 潤滑油粘度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)長時(shí)間運(yùn)行會(huì)導(dǎo)致軸頸處的溫度變化,從而引起潤滑油粘度的變化,進(jìn)而影響系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性;針對(duì)文獻(xiàn)[12]未研究潤滑油粘度對(duì)含油膜力-碰摩力耦合的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響,此節(jié)主要考察不同潤滑油粘度下系統(tǒng)的響應(yīng)及運(yùn)行穩(wěn)定性.圖4～圖7為4種不同潤滑油粘度情況下系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖以及轉(zhuǎn)子2最大碰摩力隨轉(zhuǎn)速變化的圖.對(duì)比各圖可以發(fā)現(xiàn),在低轉(zhuǎn)速下(低于最高試驗(yàn)轉(zhuǎn)速2 100 rad·s-1的35%),系統(tǒng)首次發(fā)生倍周期分岔的轉(zhuǎn)速隨潤滑油粘度的增大不斷提高;由μ=0.009 Pa·s時(shí)的373 rad·s-1升到μ=0.09 Pa·s時(shí)的634 rad·s-1.說明增大潤滑油粘度有利于延緩在低速區(qū)油膜渦動(dòng)的形成,系統(tǒng)在低速區(qū)的不穩(wěn)定性有所滯后.當(dāng)μ=0.009 Pa·s以及μ=0.02 Pa·s時(shí),其低轉(zhuǎn)速下都經(jīng)歷了 Hopf 分岔,而隨著潤滑油粘度的增大,低轉(zhuǎn)速下不再出現(xiàn) Hopf 分岔,轉(zhuǎn)而經(jīng)由一系列倍周期分岔直接進(jìn)入混沌.

在中速階段(最高試驗(yàn)轉(zhuǎn)速2 100 rad·s-1的35%～85%),系統(tǒng)主要經(jīng)歷陣發(fā)性混沌和連續(xù)逆倍化分岔.對(duì)比圖4～圖6,其陣發(fā)性混沌區(qū)間逐漸縮小且不斷后移.到圖7μ=0.09 Pa·s時(shí),則只存在831～1 019 rad·s-1內(nèi)的單一混沌區(qū)域.根據(jù)最大碰摩力圖可以看出,在陣發(fā)性混沌及混沌區(qū)域內(nèi),轉(zhuǎn)子的碰摩力變化劇烈,且碰摩力隨轉(zhuǎn)速逐漸增大;此時(shí)轉(zhuǎn)子與定子間的碰摩劇烈,系統(tǒng)長時(shí)間運(yùn)行在此區(qū)間是不利的.而后系統(tǒng)發(fā)生連續(xù)倍周期分岔,圖4～圖7顯示了隨著潤滑油粘度增大,系統(tǒng)逆倍化區(qū)間不斷縮小,且其位置逐漸前移.系統(tǒng)的每次逆倍化分岔還伴隨著跳躍分岔,跳躍分岔導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生突變,反映在最大碰摩力圖上為最大碰摩力的突變.如在ω=1 386 rad·s-1(μ=0.02 Pa·s),系統(tǒng)由P4逆倍化分岔成P1并伴隨跳躍分岔,此時(shí)最大碰摩力由0.61突變到0.12.同時(shí),在連續(xù)逆倍化區(qū)間內(nèi),轉(zhuǎn)子2最大碰摩力隨轉(zhuǎn)速增大逐漸減小,轉(zhuǎn)子與定子間的碰摩逐漸減弱.

經(jīng)歷連續(xù)逆倍化分岔后,系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定的周期一無碰摩運(yùn)動(dòng).此時(shí)反映在各最大碰摩力圖上是一條縱坐標(biāo)值為0的線段,且此無碰摩區(qū)間范圍隨著潤滑油粘度增大而變窄.可見系統(tǒng)最佳的運(yùn)行區(qū)間應(yīng)是無碰摩區(qū)間,且穩(wěn)定為周期1運(yùn)動(dòng).高速階段(高于最高試驗(yàn)轉(zhuǎn)速的85%)的概周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域隨潤滑油粘度增大而變寬,而且Neimark-Sacker分岔點(diǎn)逐漸前移.

2.3 定轉(zhuǎn)速下潤滑油粘度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

為進(jìn)一步顯示潤滑油粘度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響,圖8給出了ω=900 rad·s-1時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)隨潤滑油粘度變化的分岔圖及轉(zhuǎn)子2最大碰摩力隨潤滑油粘度變化圖.從圖中可以看出,當(dāng)潤滑油粘度較小時(shí),系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)，此區(qū)域轉(zhuǎn)子2最大碰摩力變化劇烈,系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài).潤滑油粘度超過0.107 Pa·s后,系統(tǒng)發(fā)生連續(xù)逆倍化分岔.其運(yùn)動(dòng)過程為:混沌→P16→P8→P4→P2→P1,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)趨于穩(wěn)定.且隨著潤滑油粘度的增大,轉(zhuǎn)子2的最大碰摩力不斷減小,轉(zhuǎn)子與定子間的碰摩程度減弱.潤滑油粘度越過0.306 Pa·s后,最大碰摩力減小為0.由上一小節(jié)的分析可知,隨潤滑油粘度的增大,系統(tǒng)的無碰摩區(qū)間逐漸前移,當(dāng)μ=0.306 Pa·s時(shí)無碰摩點(diǎn)前移到ω=900 rad·s-1,且此時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期二運(yùn)動(dòng);進(jìn)一步增大潤滑油粘度,系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定的周期1無碰摩運(yùn)動(dòng).可見,潤滑油粘度的增大有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定,但過大的潤滑油粘度會(huì)使得系統(tǒng)適宜運(yùn)行的區(qū)間變得過窄.

3 結(jié)論

1) 油膜力-碰摩力耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下出現(xiàn)了多周期、概周期、混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.當(dāng)潤滑油粘度較小時(shí),在低速和高速階段,系統(tǒng)會(huì)分別經(jīng)由SHopf分岔和Neimark-Sacker進(jìn)入概周期運(yùn)動(dòng);在中速階段,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)陣發(fā)性混沌,即出現(xiàn)多次由連續(xù)倍化分岔進(jìn)入混沌的情況;且陣發(fā)性混沌階段后,系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷一個(gè)階段的連續(xù)逆倍化分岔.

2) 潤滑油粘度的增大會(huì)延緩油膜渦動(dòng)的形成,使系統(tǒng)首次發(fā)生倍化分岔的轉(zhuǎn)速增大.且隨著潤滑油粘度的增大,系統(tǒng)的陣發(fā)性混沌區(qū)域逐漸后移且縮小,當(dāng)潤滑油粘度增大到一定程度時(shí),陣發(fā)性混沌區(qū)域完全消失.但潤滑油粘度的增大會(huì)使得系統(tǒng)的最佳運(yùn)行區(qū)域無碰摩區(qū)域前移且變短.

3) 綜合來看,潤滑油粘度的增大可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但過大的潤滑油粘度會(huì)使系統(tǒng)的最佳運(yùn)行區(qū)域變短.