王學(xué)志

圓周率的計(jì)算

“圓，一中同長(zhǎng)也”。意思是說(shuō)：圓只有一個(gè)中心，圓周上每一點(diǎn)到中心的距離相等。早在我國(guó)先秦時(shí)期，《墨經(jīng)》就已經(jīng)記載了圓的這個(gè)定義。人們從認(rèn)識(shí)圓到得出有關(guān)于圓的種種計(jì)算又經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間的探索。其中，圓周率就是橫在人們面前的一道壕溝。

傳統(tǒng)所認(rèn)為的圓周率指圓的周長(zhǎng)與直徑之比，最初產(chǎn)生于制作圓形工具的需要，并且是通過(guò)測(cè)量計(jì)算出來(lái)的，即圓底量法。目前，用符號(hào)π來(lái)表示圓周率。圓周率是一個(gè)常數(shù)，這一事實(shí)很早就為人們所知。在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的著作《墨子·小取》中就記載有“小圓之圓與大圓之圓同”的說(shuō)法，可見(jiàn)，在墨子時(shí)代人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到圓的周徑之比是一個(gè)常數(shù)。

人們對(duì)圓周率的認(rèn)識(shí)過(guò)程

在古代，巴比倫、印度、中國(guó)等在很長(zhǎng)一段時(shí)間都是使用π=3這個(gè)數(shù)值。直到公元前2世紀(jì)，中國(guó)的《周髀算經(jīng)》里仍然有周三徑一的記載，這個(gè)“圓徑一而周三”是我國(guó)最早關(guān)于圓周率的一個(gè)誤差較大的近似值，后人稱(chēng)之為“古率”。直到東漢時(shí)才有數(shù)學(xué)家將π值改為約3.16。但真正使圓周率計(jì)算建立在科學(xué)基礎(chǔ)之上，首先應(yīng)歸功于阿基米德。他專(zhuān)門(mén)寫(xiě)了一篇論文《圓的度量》，用幾何方法證明了圓周率與圓直徑之比小于22/7，而大于233/71。這也是第一次在科學(xué)中創(chuàng)用上下界來(lái)確定近似值。這之后我國(guó)魏晉時(shí)期的劉徽第一次采用正確的方法計(jì)算出了π值。公元263年，他首創(chuàng)了用圓的內(nèi)接正多邊形面積來(lái)逼近圓面積的方法，算得π值為3.14。我國(guó)稱(chēng)這種方法為割圓術(shù)。直到1200年后，西方才找到了類(lèi)似的方法。后人為紀(jì)念劉徽的貢獻(xiàn)，將3.14稱(chēng)為徽率。

公元460年，南朝的祖沖之利用劉徽的割圓術(shù)，把π值推算到小數(shù)點(diǎn)后第7位，即3.1415926，這在當(dāng)時(shí)世界尚屬首次。祖沖之還找到了兩個(gè)分?jǐn)?shù)：22/7和355/113，用分?jǐn)?shù)來(lái)代替π，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算，這種思想比西方也早1000多年。

祖沖之的圓周率，保持了1000多年的世界紀(jì)錄。終于在1596年，這一紀(jì)錄被荷蘭數(shù)學(xué)家魯?shù)婪虼蚱?。魯?shù)婪蛳劝薛械闹低扑愕叫?shù)點(diǎn)后第15位，最后又推算到第35位。為了紀(jì)念他這項(xiàng)成就，在他1610年去世后，人們?cè)谒哪贡躺狭?.14159265358979323846264338327950288這個(gè)數(shù)。

近代計(jì)算機(jī)的發(fā)明，大大促進(jìn)了科學(xué)的進(jìn)步，到90年代初，人們已經(jīng)可以將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后4.8億位。即便這樣，圓周率的計(jì)算仍然在繼續(xù)。我們已經(jīng)清楚地知道，圓周率是一個(gè)“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”，而且還是一個(gè)超越數(shù)。但是科學(xué)家仍會(huì)像登山運(yùn)動(dòng)員那樣，奮力向上攀登，不斷探索下去。

劉徽的割圓術(shù)

劉徽到底是怎么計(jì)算出π值的呢？“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”，這句話(huà)是劉徽對(duì)于他的“割圓術(shù)”的描述。意思是說(shuō)：圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加的時(shí)候，它的周長(zhǎng)的極限是圓周長(zhǎng)，它的面積的極限是圓面積。即“割圓術(shù)”實(shí)際上就是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法，并且內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越大，所求得的圓周率越精確。

劉徽從圓的內(nèi)接正六邊形開(kāi)始割圓，并且得到了一個(gè)正6·2n邊形面積序列。咱們不妨假設(shè)S是圓的面積，L是圓的周長(zhǎng)，Sn是6·2n邊形面積，Pn是每邊長(zhǎng)。顯然，n越大，S-Sn越小，即所謂的“割之彌細(xì)，所失彌少”。而“割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣?！庇矛F(xiàn)代數(shù)學(xué)公式表示就是：

L=lim 6·2n·Pn

S=lim Sn

所謂“余徑”，就是指半徑減垂徑所剩的長(zhǎng)度。在下圖中，6·2n-1邊形的余徑就是指線(xiàn)段CD。那么，余徑乘以邊長(zhǎng)就是6·2n-1邊形余徑長(zhǎng)方形ABFE的面積?！鰽CB稱(chēng)為6·2n-1邊形余徑三角形，其面積為其余徑長(zhǎng)方形面積之半。從圖中可以看出Sn-Sn-1的值等于6·2n-1個(gè)余徑三角形的面積之和，圓的面積大于6·2n邊形面積Sn，小于6·2n-1邊形面積Sn-1加上6·2n-1個(gè)余徑長(zhǎng)方形的面積。即：

Sn

而當(dāng)n趨近于無(wú)限大時(shí)，rn→0，那么：

lim [Sn-1+2（Sn-Sn-1）]=S

假設(shè)圓的半徑為1，劉徽利用這種方法算出了圓內(nèi)接正192邊形的面積3.141024與圓內(nèi)接正96邊形的面積3.139344，得出了圓面積范圍：3.141024