楊兆新，魏岳嵩，賈偉亞①

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

在線性回歸模型中進(jìn)行變點(diǎn)檢測和估計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)常見的研究內(nèi)容. 文獻(xiàn)［1］考慮線性回歸模型中變點(diǎn)數(shù)目問題，但在檢測變點(diǎn)位置時(shí)需要2個(gè)階段. 文獻(xiàn)［2］考慮用分位數(shù)LASSO（Least absolute shrinkage and selection operator）方法對變點(diǎn)的數(shù)目和位置進(jìn)行后驗(yàn)檢測，但使用的方法相對笨拙. 文獻(xiàn)［3-5］考慮LASSO估計(jì)框架內(nèi)分段常數(shù)模型中的一個(gè)簡單位置變點(diǎn)問題. 文獻(xiàn)［6］考慮將分段常數(shù)變點(diǎn)問題推廣為分段線性模型，并在［7-10］中給出一個(gè)更一般的線性場景. 本文利用分位數(shù)LASSO 方法研究線性回歸模型變點(diǎn)位置估計(jì)問題，主要給出當(dāng)估計(jì)的變點(diǎn)數(shù)和變點(diǎn)的真實(shí)數(shù)目一致時(shí)，變點(diǎn)位置估計(jì)的收斂速度.

1 模型與假設(shè)

考慮如下線性回歸模型：

假設(shè)1 均值μ?k∈R，其中k=1,2,…,K?+1.

假設(shè)2 隨機(jī)誤差項(xiàng)有概率密度f(x)，且 |f′(x)|＜∞.

假設(shè)3其中{δn} 是遞減序列，且δn→0(n→∞).

假設(shè)4 記且n→∞時(shí)，λn δn→0.

假設(shè)5 變點(diǎn)的數(shù)目Κ?∈Ν 固定不變.

2 主要結(jié)論與證明

變點(diǎn)位置βn的分位數(shù)LASSO估計(jì)量為

證明根據(jù)文獻(xiàn)［11］中引理3，引理得證.

引理2 設(shè)A 和B 是2個(gè)隨機(jī)變量，x是任意正實(shí)數(shù)，，則對于任意常數(shù)v ＞1，有

證明由于 ||A+B ≥ ||A-||B ，故由題設(shè)知

因此

引理得證.

引理3 令是兩個(gè)正的序列，滿足且滿足假設(shè)2. 則有

其中F是εi的分布函數(shù).

證明首先，由概率的性質(zhì)有

通過Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz's不等式［12］對于獨(dú)立的伯努利隨機(jī)變量I{}

εi≤t，當(dāng)ε ＞0，

引理得證.

定理1 當(dāng)，且滿足假設(shè)1到假設(shè)5，有

證明根據(jù)引理1，當(dāng)，當(dāng)l=k時(shí)

根據(jù)引理2，當(dāng)x=2nλn，不變量令隨機(jī)變量A 和B 為

根據(jù)假設(shè)2假設(shè)4和假設(shè)5，通過引用文獻(xiàn)［13］中的定理2，可以得到以下等式成立：

這意味著存在一個(gè)不變量c1＞0，

根據(jù)文獻(xiàn)［14］和式（3），可以得到

通過假設(shè)2對于所有x∈R，，存在一個(gè)不變量C ＞0，使

當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)概率收斂到1. 由假設(shè)4，可得

p2的證明過程與p1相似，最終可以得到

而

根據(jù)式（3）可知

且概率收斂到1，因此得

由引理3可得

定理2 當(dāng)，且滿足假設(shè)1到假設(shè)5，有

證明其中，使用文獻(xiàn)［11］中的符號

所以

因此

對于任意的i=k+1,k+2,…,K?，

定理3 當(dāng)，且滿足假設(shè)1到假設(shè)5，有

證明由假設(shè)5和文獻(xiàn)［15］，對于任意的k=1,2,…,K?，定理可以變換為根據(jù)定理1和定理2的證明結(jié)果，定理得證.