尹 可，馬建敏

(復旦大學航空航天系，上海200433)

0 引 言

聲學隱身是在電磁隱身的基礎上提出的新概念。21 世紀初，Pendry J B 等[1]和Leonhardt U[2]基于變換電磁波理論和電磁超材料技術(shù)提出了電磁波隱身理論。Cummer S A 等[3]基于聲波方程和麥克斯韋(Maxwell)方程的形式相似性，將變換理論和超材料技術(shù)應用于二維聲場，開啟了對聲隱身的探索。隨后，Chen H Y 等[4]將聲學隱身擴展到三維空間，擴大了聲學隱身的應用范圍。聲學隱身技術(shù)可以通過控制聲波繞射來減弱聲波的散射，引起了人們廣泛的關注和極大的興趣，大量學者圍繞隱身層的隱身機理和結(jié)構(gòu)設計等方面展開了研究，已經(jīng)取得有價值的成果，開辟了許多新的研究方向和領域[5-11]。

由變換聲學理論計算得到的理想聲學隱身層的物性參數(shù)(密度和體彈性模量)是各向異性、連續(xù)變化和奇異的，在工程上很難實現(xiàn)。Huang Y 等[12]提出利用由兩種不同的均勻各向同性材料交替分布組成的多層隱身層，利用有效介質(zhì)近似理論等效出物性參數(shù)是各向異性和連續(xù)性分布的理想電磁隱身層材料，實現(xiàn)電磁波隱身。Daniel T 等[13]首次將介質(zhì)層多層結(jié)構(gòu)應用到聲隱身領域，等效出密度各向異性的聲學隱身層，實現(xiàn)了聲隱身。為在設計和應用中簡化聲學隱身層的結(jié)構(gòu)和降低隱身層制備成本，有必要研究隱身層結(jié)構(gòu)對隱身層性能的影響。近年來，對不同隱身層結(jié)構(gòu)的聲學隱身性能的研究，已經(jīng)取得了一系列有價值的成果。Daniel T等[14]研究了介質(zhì)層的不同層厚比對介質(zhì)層的材料物性參數(shù)的影響。Wei Q 等[15]研究了隱身層結(jié)構(gòu)和聲波頻率對聲學隱身性能和雙工通信能力的影響。Jo C 等[16]在考慮了聲速和阻抗匹配的情況下，研究了非完美隱身層結(jié)構(gòu)的改變對聲學隱身性能的影響。Zhang X D 等[17]研究了五模超材料的隱身層性能與層數(shù)和層厚的關系。Dutrion C 等[18]嘗試應用雙層彈性材料圓柱殼，通過降低散射的方法來實現(xiàn)聲隱身。

本文首先基于變換聲學和等效介質(zhì)理論計算出聲學隱身層的各層介質(zhì)層的密度和聲速，然后利用COMSOL 軟件仿真了不同聲學隱身層結(jié)構(gòu)的散射聲場，最后通過計算不同聲學隱身層結(jié)構(gòu)的散射截面來定量評估聲學隱身層的隱身性能，并將計算結(jié)果進行對比分析。

1 隱身層材料密度及聲速的計算

變換聲學理論是通過不同空間之間的坐標變換關系，求出不同空間之間的物性參數(shù)變換關系，從而根據(jù)隱身物體的外形來設計聲學隱身層[19-20]。如果要將一個半徑為a 的剛性球通過內(nèi)外半徑分別為a 和b 的隱身層覆蓋，并實現(xiàn)剛性球?qū)β暡ǖ碾[身，需要做如圖1 所示的坐標變換，得到坐標變換關系r ′= f (r )。圖中的f 變換表示將左圖半徑為b的圓形區(qū)域映射壓縮到右圖內(nèi)、外半徑分別為a 和b 的環(huán)形區(qū)域，隱身層分布區(qū)域即為此環(huán)形區(qū)域。左圖為虛擬空間，坐標描述為( r ,θ )，右圖為物質(zhì)空間，坐標描述為(r' ,θ')。

圖1 坐標變換從O 到O'Fig.1 Transformation of coordinates from O to O'

兩個區(qū)域都取極坐標系，它們之間的坐標變換f 可以描述為

原虛擬空間中極坐標系下的聲學方程為

空間映射后物理空間中極坐標系下的聲學方程為

從上面的式(1)、(2)和(3)，可以得到物理空間和虛擬空間之間密度和體彈性模量的變換關系，如式(4)、(5)所示：

其中：hr,hθ和 hr', hθ'是坐標系的比例因子。極坐標系是正交坐標系，所以比例因子是hr=1 ，hθ= r = f (r')，且 hr' =1 , hθ'=r′。

將比例因子代入式(6)，可得：

將式(7)代入式(4)和式(5)，得到：

式(8)和(9)是矩陣形式的隱身層物性參數(shù)表達式，其標量形式的表達式如式(10)～(12)所示：

式(10)～(12)描述的聲學隱身層物性參數(shù)(包括密度和體彈性模量)是非均勻、連續(xù)變化和各向異性的，在工程上很難實現(xiàn)，可通過多層結(jié)構(gòu)等效得到，其等效物性參數(shù)可以利用等效介質(zhì)理論近似計算得到[14]。隱身層由多層構(gòu)成，其中每一層隱身層由兩層不同材料參數(shù)的各向同性介質(zhì)層組成。通過等效介質(zhì)理論計算，多層的各向同性介質(zhì)層可以等效出方向為r'和θ '的隱身層的有效密度ρr'和ρθ'，有效體彈性模量κ'。等效介質(zhì)層組合示意圖如圖2 所示。

圖2 等效介質(zhì)層組合示意圖Fig.2 The schematic diagram of equivalent medium layer combination

圖2(a)描述了每一層隱身層由一層介質(zhì)層A 和一層介質(zhì)層B 組合而成。圖2(b)描述了剛性球上覆蓋的隱身層由多層介質(zhì)層組成。第i 層隱身層中介質(zhì)層A (i )和介質(zhì)層 B (i )的密度和體彈性模量是ρA(i), ρB(i)和 κA(i),κB(i)。由介質(zhì)層A 和B 組合而成的隱身層的有效密度和體彈性模量可以通過式(13)～(15)計算：

式中：η(i)=dA(i)/dB(i)，dA(i)和dB(i)分別是介質(zhì)層A (i)和介質(zhì)層 B (i)的厚度。

本文中取η(i)為常數(shù)，即η(i)=1，表示介質(zhì)層A 和介質(zhì)層B 的厚度相等。聯(lián)立式(10)～(15)進行求解，可求得如式(16)～(18)所描述的每層隱身層的有效密度和體彈性模量：

進而可以求得介質(zhì)層中的聲速：

式(16)～(19)中：ρA(i)和ρB(i)分別是第i 層介質(zhì)的第A 層和第B 層的密度；cA(i)和cB(i)分別是第i 層介質(zhì)的第A 層和第B 層的聲速；ρ0是隱身層的外部介質(zhì)密度；c0是隱身層的外部介質(zhì)中聲波傳播的速度。rA(i)和rB(i)分別是第i 層介質(zhì)的第A 層和第B 層半徑，rA(i)、rB(i)取值范圍是 a ≤rA(i),rB(i)≤b ，其中a為隱身層內(nèi)徑，b 為隱身層外徑；κA(i)、κB(i)是隱身層的第i 層的第A 層和第B 層的體彈性模量。式(16)～(20)可以精確求得不同隱身層設計的每層介質(zhì)層的有效密度、體彈性模量和聲速。

2 計算分析模型和計算結(jié)果

2.1 計算分析模型

利用有限元軟件COMSOL 對不同的聲學隱身層結(jié)構(gòu)進行計算分析，研究隱聲層的結(jié)構(gòu)對聲學隱身性能的影響。建立的COMSOL 計算分析模型如圖3 所示，模型中障礙物是半徑為a 的無限長圓柱，聲學隱身層內(nèi)外半徑分別為a 和b。聲學隱身層覆蓋在無限長圓柱表面，由多層介質(zhì)層構(gòu)成。介質(zhì)層的密度和聲速通過式(16)，(17)和(20)計算得到。示意圖中半徑為c 的圓環(huán)為設定的遠場邊界，半徑為d 的圓環(huán)為計算區(qū)域邊界。遠場邊界與計算區(qū)域邊界之間的圓環(huán)區(qū)域為完美匹配層。

圖3 計算模型示意圖Fig.3 The schematic diagram of calculation model

計算分析模型中入射聲波是平面簡諧波，入射方向為從左向右。各個模型的入射波頻率范圍通過計算各個模型的kb 參數(shù)獲得，參數(shù)取值范圍是從kb=0.5 到kb=10(k 為波數(shù)，b 為聲隱身層的外半徑)，間隔取為0.5。在kb=0.5 到kb=10 的取值范圍內(nèi)，聲學隱身層是有效的[21]。

分析模型中聲學隱身層的周圍介質(zhì)是空氣，密度ρ0是1.25 kg·m-3，空氣中的聲速c0是343 m·s-1，計算網(wǎng)格大小是0.000 1λ0(λ0是空氣中聲波的波長)。本文中隱身層覆蓋的障礙物為半徑為a=1 m，隱身層半徑b 在不同的算例中取不同的數(shù)值，遠場邊界半徑在圖3 中取為c=2.5 m，在計算中設定為40 m，計算區(qū)域邊界的半徑在圖3 中取為d=3 m。

對聲散射的減縮效應進行定量分析的指標很多，包括散射截面、散射形函數(shù)和平均可視度[22]。本文中，用散射截面來定量評估隱身層的隱身性能。

無限長圓柱的散射截面定義為

其中， pi是入射聲壓， ps是散射聲壓。

2.2 計算結(jié)果

基于第1 節(jié)中的計算公式和分析模型，研究隱身層結(jié)構(gòu)的總厚度、層厚和層厚分布等因素對隱身性能的影響。計算分析模型包括以下幾種聲學隱身層結(jié)構(gòu)的設計方案：(1) 不同隱身層總厚度、相同層厚；(2) 相同隱身層總厚度、不同層厚；(3) 相同隱身層總厚度和相同層數(shù)而不同層厚分布。在每種方案中，分析模型參數(shù)值如表1、2 和3 所示。隱身層各介質(zhì)層的密度和聲速通過式(16)、(17)和(20)求得。把求得的密度和聲速輸入COMSOL 軟件，計算不同聲學隱身層結(jié)構(gòu)設計方案中的聲場分布。利用計算得到的聲場分布，通過散射截面的計算公式，計算每個聲學隱身層結(jié)構(gòu)周圍聲場的散射截面，并將計算結(jié)果進行對比。散射截面對比圖中的橫坐標為參數(shù)kb。

2.2.1 總厚度對聲學隱身層性能的影響

材料成本、制備難度或空間限制會影響隱身層的設計參數(shù)，是在隱身層應用中需要考慮的重要因素。下面對無限長圓柱覆蓋4種不同厚度隱身層的聲場分布進行計算，并對隱身層的散射截面進行對比分析。計算分析模型的參數(shù)如表1 所示。

表1 不同總厚度隱身層的參數(shù)Table 1 Parameters of cloaking cover with different total thickness

圖4 不同總厚度的隱身層的總聲壓場(kb=10)Fig.4 Total sound pressure fields of different total cloaking covering thicknesses (kb=10)

圖4 為kb=10，b 從0.25～1.0 m 變化時的聲場聲壓分布，b 從0.25 m 變化至1.0 m，相應的聲波頻率從440 Hz 變化至280 Hz。

圖5 顯示了4 種不同總厚度的隱身層的散射截面的對比結(jié)果。

圖5 不同總厚度的隱身層的散射截面對比Fig.5 Comparison between average visibilities of different total cloaking covering thicknesses

由圖5 可知，1 m 厚度的隱身層的散射截面最小；0.75 m 和0.5 m 厚度隱身層的散射截面次之；0.25 m 厚度隱身層的散射截面最大。說明對于不同厚度的隱身層，厚度越大對聲場的散射程度越弱，隱身性能越好，厚度越小對聲場的散射程度越強，隱身性能越差。

2.2.2 層厚對聲學隱身層性能的影響

為了在相同隱身層厚度條件下獲得更好的聲學隱身性能，需要研究在隱身層的總厚度不變情況下，改變各層厚度和層數(shù)對隱身層性能的影響。下面對5 種具有相同厚度、層厚均勻但不同層數(shù)的隱身層的聲場聲壓分布進行計算分析。計算分析模型的參數(shù)取值如表2 所示。

表2 相同總厚度而不同層厚隱身層的參數(shù)Table 2 Parameters of cloaking cover with the same total thickness and different layer thicknesses

圖6 為kb=10，b 保持0.5 m 不變，層數(shù)由20變化至80 時的聲場聲壓分布。

圖7 顯示了相同總厚度情況下，5 種不同層厚和層數(shù)的隱身層的散射截面及對比。

由圖7 可知，分層數(shù)為80 層的隱身層的散射截面最小，散射截面隨層數(shù)減小逐漸變大，20 層介質(zhì)層的隱身層的散射截面最大。說明對于總厚度確定、層數(shù)不同而層厚均勻的隱身層，層數(shù)越多對聲場的散射程度越弱，隱身性能越好，層數(shù)越少對聲場的散射程度越強，隱身性能越差。

圖6 相同總厚度不同層厚的隱身層的總聲壓場(kb=10)Fig.6 Total sound pressure fields of the same total cloaking covering thickness and different layer thicknesses (kb=10)

圖7 相同總厚度而不同層厚的隱身層的散射截面對比Fig.7 Comparison bwtween average visibilities of the same total cloaking covering thickness but different layer thicknesses

2.2.3 層厚分布對聲學隱身層性能的影響

增加隱身層的厚度意味著增加聲學超材料的使用量，增大隱身層的分層數(shù)目意味著增大隱身層的制備復雜度。對于確定的隱身層厚度和層數(shù)的隱身層，研究如何在不增加聲學超材料使用量和不增加制備復雜度的情況下，使隱身層具有更優(yōu)良的隱身性能，在隱身層實際應用中具有重要的意義。下面對3 個具有相同總厚度和層數(shù)但不同層厚分布的隱身層的聲場分布進行計算分析。

計算分析模型的參數(shù)如表3 所示。

表3 相同總厚度和層數(shù)而不同層厚分布隱身層的參數(shù)Table 3 Parameters of cloaking cover with the same total thickness and layer number but different arrangements of layer thickness

圖8 為kb=10、b=0.5 m、層數(shù)=20、不同層厚分布時的聲場聲壓分布。

圖9 顯示了相同總厚度和層數(shù)情況下，3 種不同層厚分布的隱身層的散射截面及對比。

由圖9 可知，相同總厚度和層數(shù)的情況下，外部層厚較薄而內(nèi)部層厚較厚的隱身層散射截面最小，均勻?qū)雍穹植嫉碾[身層散射截面次之，外部層厚較厚而內(nèi)部層厚較薄的隱身層散射截面最大。說明對于總厚度和層數(shù)都確定的隱身層，層厚分布外部越薄的隱身層，隱身性能越好，層厚分布外部越厚的隱身層，隱身性能越差。

圖8 相同總厚度和層數(shù)，不同層厚分布的隱身層的總聲壓場(kb=10)Fig.8 The total sound pressure fields of the same total thickness and layer number but different arrangements of layer thickness (kb=10)

圖9 相同總厚度和層數(shù)而不同層厚分布的隱身層的散射截面對比Fig.9 Comparison between average visibilities of the same total thickness and layer number but different arrangements of layer thickness

3 結(jié) 論

本文根據(jù)變換聲學和等效介質(zhì)理論，計算出隱身層各介質(zhì)層的密度和聲速，然后利用得到的密度和聲速計算了不同隱身層結(jié)構(gòu)的外部聲場分布和散射截面。從計算結(jié)果可以得出以下主要結(jié)論：

(1) 隱身層的總厚度越大，隱身性能越好，總厚度越小，隱身性能越差。通過增大總厚度，可以提高隱身層的隱身性能。

(2) 總厚度確定而層數(shù)不同的隱身層，層數(shù)越多隱身性能越好，層數(shù)越少隱身性能越差。這是由于隨著層數(shù)的增多，隱身層性能趨近于具有連續(xù)物性參數(shù)分布的理想隱身層性能。當隱身層厚度確定后，可以通過增加層數(shù)來增加隱身層隱身性能。

(3) 總厚度和層數(shù)都確定的隱身層，層厚分布外部越薄，隱身性能越好，層厚分布外部越厚，隱身性能越差，外層層厚對隱身性能影響更大。當隱身層厚度和層數(shù)一定時，在不增大聲學材料用量和增加制備難度的情況下，可以通過降低隱身層的外部介質(zhì)層厚度來提高隱身層的隱身性能。