摘?要：本文運(yùn)用習(xí)題難度測(cè)量模型，對(duì)人教A版和湘教版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中平面向量一章的例題難度從背景因素、運(yùn)算因素、認(rèn)知因素、習(xí)題類型和知識(shí)綜合因素等方面進(jìn)行了比較.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教科書(shū);向量;例題難度;比較

1?引言

根據(jù)IEA（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement）的課程模型，可以將課程分為三個(gè)層面[1]：預(yù)期課程（Intended curriculum）、實(shí)施課程（Implemented curriculum）、獲得課程（Attained curriculum）.其中，預(yù)期課程反映的是國(guó)家或教育部門的意愿，通常以課程標(biāo)準(zhǔn)的形式得到體現(xiàn);實(shí)施課程反映的是教師的實(shí)際教學(xué)活動(dòng).教科書(shū)是按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求編寫(xiě)的教學(xué)用書(shū)，是教師和學(xué)生共同構(gòu)成教學(xué)活動(dòng)的媒介.

數(shù)學(xué)教科書(shū)一般是由正文、例題、習(xí)題三部分有機(jī)組成的，例題的設(shè)置在一定程度上反映了數(shù)學(xué)教科書(shū)的特征.并且，不同版本的教科書(shū)例題的編排是不盡相同的，這體現(xiàn)了教科書(shū)編寫(xiě)者對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的不同理解.因此，對(duì)教科書(shū)例題的研究是很有必要的.

這里我們選取人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（A版）》和湖南教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（必修）》中平面向量一章的例題作為比較對(duì)象.之所以選擇平面向量作為比較對(duì)象，是因?yàn)橄蛄孔鳛橐环N數(shù)學(xué)工具具有重要性，向量是近代數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁.這里以文獻(xiàn)[2]中給出的習(xí)題難度測(cè)量模型，對(duì)兩套高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中平面向量一章例題的難度進(jìn)行比較研究，希望能為平面向量一章例題的編排提供一些建議.

2?研究方法

人教A版教科書(shū)中平面向量的內(nèi)容安排在必修 4 第二章[3]，湘教版教科書(shū)中平面向量安排在必修 2 第 4 章[4].利用習(xí)題難度測(cè)量模型，我們選擇采用定量與定性相結(jié)合的研究方法.

21?難度測(cè)量模型的選擇

以文獻(xiàn)[2]中的模型為量化工具.該模型由 5 個(gè)難度影響因素構(gòu)成，分別是背景、運(yùn)算、認(rèn)知要求、習(xí)題類型和知識(shí)綜合.每個(gè)因素又劃分為不同的水平.這里主要考察兩套教科書(shū)中平面向量一章的例題在 5 個(gè)難度影響因素的水平如何，有什么共同之處和不同之處？

22?題目數(shù)量的統(tǒng)計(jì)

例題是教科書(shū)編寫(xiě)者精心選擇的，在題目的背景、運(yùn)算、類型、難度、作用等方面都能很好地體現(xiàn)教科書(shū)編寫(xiě)者的設(shè)計(jì)意圖.本研究中例題數(shù)量的統(tǒng)計(jì)方法：一個(gè)題目如果有多個(gè)小題，按題目中小題個(gè)數(shù)計(jì)算;一個(gè)題目有連續(xù)幾個(gè)問(wèn)題，但如果這些問(wèn)題沒(méi)有分成（1）（2）（3） ……這樣的層次，仍作一個(gè)題目計(jì)算.

人教A版教科書(shū)和湘教版教科書(shū)平面向量一章各種不同類型題目的數(shù)量統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1、表2.

從表1、表2可以初步發(fā)現(xiàn)，兩套教科書(shū)在習(xí)題的設(shè)置上有較大的差異，湘教版教科書(shū)在例題數(shù)量上多于人教A版，但在總量上、練習(xí)題以及習(xí)題數(shù)量上都遠(yuǎn)低于人教A版.這就需要我們對(duì)兩套教科書(shū)中的例題進(jìn)行深層次的分析.

3?統(tǒng)計(jì)結(jié)果及分析

依照文獻(xiàn)[2]中給出的習(xí)題難度測(cè)量模型，我們得到表3的結(jié)果.

下面先對(duì)每個(gè)習(xí)題難度影響因素分別進(jìn)行比較分析，再?gòu)木C合難度上進(jìn)行整體比較.

31?兩套教科書(shū)在習(xí)題背景因素上的比較

從表3可以看到，在人教A版和湘教版教科書(shū)中，不涉及實(shí)際背景的例題分別占8437%，9024%，屬于“公共生活”的題目分別占1563%，976%.兩套教科書(shū)在“個(gè)人生活”和“科學(xué)情境”方面都沒(méi)有編排例題.

在習(xí)題背景因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖1 所示.

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，兩套教科書(shū)的例題大都屬于“無(wú)背景”水平，湘教版教科書(shū)在無(wú)背景水平的例題稍多于人教A版.兩套教科書(shū)有背景的習(xí)題都非常少.這可能是由處于高中學(xué)習(xí)階段的學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征所決定的.處于高中階段的學(xué)生，他們基本上可以通過(guò)抽象思維來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而不需要依靠直觀化、形象化的事物來(lái)輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

兩套教科書(shū)在“個(gè)人生活”和“科學(xué)情境”水平上，都沒(méi)有安排例題.在“公共生活”水平上，人教A版教科書(shū)的例題數(shù)多于湘教版，但二者相差不大.

32?兩套教科書(shū)在習(xí)題運(yùn)算因素上的比較

人教A版教科書(shū)32道例題中有2188%是無(wú)運(yùn)算例題，4375%是簡(jiǎn)單運(yùn)算的例題，復(fù)雜運(yùn)算的例題占3437%.湘教版教科書(shū)41個(gè)例題中有488%是無(wú)運(yùn)算例題，屬于“簡(jiǎn)單運(yùn)算”的題目占5610%，屬于“復(fù)雜運(yùn)算”的例題占3902%.

在運(yùn)算因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示.

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，兩套教科書(shū)平面向量一章的例題表現(xiàn)的趨勢(shì)是一致的，都是處于簡(jiǎn)單運(yùn)算水平的習(xí)題最多，其中湘教版教科書(shū)超過(guò)一半的例題都屬于簡(jiǎn)單運(yùn)算.處于復(fù)雜運(yùn)算水平的例題占比兩套教科書(shū)相差不大，但無(wú)運(yùn)算水平的例題方面，二者相差較大，人教A版教科書(shū)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于湘教版.

兩套高中數(shù)學(xué)教科書(shū)平面向量一章的例題主要都集中在簡(jiǎn)單運(yùn)算水平，這是由平面向量知識(shí)的特殊性決定的.平面向量中，向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，這些運(yùn)算都比較簡(jiǎn)單，基本上只要記住公式，代入公式就可以解決，不需要進(jìn)行較復(fù)雜的運(yùn)算.

33?兩套教科書(shū)在習(xí)題認(rèn)知要求上的比較

人教A版教科書(shū)32道例題中有1875%是概念性記憶水平的例題，3750%為概念性理解水平的例題，屬于遷移性理解水平的例題占4375%;湘教版教科書(shū)41個(gè)例題中有732%是概念性記憶水平的例題，屬于概念性理解水平的例題占3171%，屬于遷移性理解水平的例題占6097%.兩套教科書(shū)都沒(méi)有屬于綜合性探究水平的例題.

在習(xí)題認(rèn)知要求因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3所示.

從整體上看，兩套教科書(shū)在這一例題難度影響因素方面表現(xiàn)的趨勢(shì)是一致的，都是先上升，再下降.兩套教科書(shū)平面向量一章的例題主要都集中在“遷移性理解”水平，其次是“概念性理解”水平的例題.最少的是“探究”和“記憶”水平的例題，這說(shuō)明兩套高中數(shù)學(xué)教科書(shū)都強(qiáng)調(diào)讓學(xué)習(xí)者理解和運(yùn)用知識(shí)，而不是簡(jiǎn)單的計(jì)算和概念的記憶.這體現(xiàn)了向量是一種工具，也很好地體現(xiàn)了“課程標(biāo)準(zhǔn)”所要求的，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，讓學(xué)生通過(guò)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

對(duì)處于低認(rèn)知水平（記憶水平）的例題，兩套教科書(shū)中都不是很多.這樣的例題對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平?jīng)]有太高的要求[5]，只需要機(jī)械地實(shí)施例題中給出的解題程序.人教A版教科書(shū)中概念性記憶水平的例題有1875%，比湘教版多一些.

34?兩套教科書(shū)在習(xí)題類型上的比較

人教A版教科書(shū)32道例題中有4375%是標(biāo)準(zhǔn)性題，2188%為訓(xùn)練性題，屬于探索性水平的例題占3437%;湘教版教科書(shū)41個(gè)例題中有2683%是標(biāo)準(zhǔn)性題，屬于訓(xùn)練性水平的例題占3171%，屬于探索性水平的例題占4146%.兩套教科書(shū)都沒(méi)有屬于問(wèn)題性水平的例題.

在習(xí)題類型因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖4所示.

從圖4可以看出，兩套教科書(shū)在這一方面相差較大.人教A版教科書(shū)中最多的例題是標(biāo)準(zhǔn)性題.湘教版教科書(shū)中大約有三分之一的例題為訓(xùn)練性題目，這類題目中的習(xí)題條件、解題依據(jù)、解題方法和習(xí)題結(jié)論中有三個(gè)要素是已知的，只有一個(gè)不知道.一般來(lái)說(shuō)，都是結(jié)論未知，計(jì)算題一般都屬于此類題目.訓(xùn)練性題目一般是強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握，是一些常規(guī)的數(shù)學(xué)題目.這類題目對(duì)學(xué)生而言，只要能記住教科書(shū)中的公式、定理或法則，基本上就可以解決.

這說(shuō)明兩套教科書(shū)都比較強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)“雙基”的掌握，也在某種程度上解釋了為什么亞洲學(xué)生總能在一些大型國(guó)際性測(cè)試（TIMSS，PISA）中拿高分.

湘教版教科書(shū)例題主要集中在探索性題目，人教A版也有大約三分之一的例題是探索性題目.這類題目有一定的難度，可以較好地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

35?兩套教科書(shū)在知識(shí)綜合上的比較

人教A版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)的32道例題中有4375%含有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，含有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例題占50%，含有三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的例題占625%;湘教版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)41個(gè)例題中有3415%含有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，含有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例題占4878%，含有三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的例題占1707%.

在知識(shí)綜合因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5所示.

從圖5可以清楚地知道，兩套教科書(shū)中的例題大多涉及1-2個(gè)知識(shí)點(diǎn)，兩套教科書(shū)中含有2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例題都接近一半.單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例題，人教A版比湘教版教科書(shū)大約多10個(gè)百分點(diǎn).湘教版教科書(shū)含有3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的例題要比人教A版多大約10個(gè)百分點(diǎn)，這說(shuō)明湘教版教科書(shū)比人教A版教科書(shū)更加注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系.

36?兩套教科書(shū)例題難度的綜合比較

在前面，根據(jù)5個(gè)例題難度影響因素對(duì)人教A版和湘教版兩套高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中平面向量一章的例題的難度進(jìn)行了比較，為進(jìn)一步考察教科書(shū)平面向量一章例題的綜合難度，我們對(duì)兩套教科書(shū)中各難度影響因素的不同水平的題目進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并利用前面提到的公式，對(duì)各因素的加權(quán)平均進(jìn)行計(jì)算，得到表4：

為了更形象直觀，我們作出了下面的雷達(dá)圖.這樣，兩套教科書(shū)平面向量一章的例題的各個(gè)難度影響因素的異同點(diǎn)就非常明顯了.

首先，從綜合難度上看，湘教版教科書(shū)的綜合難度高于人教A版教科書(shū)，但兩套教科書(shū)例題難度相差不大.從5個(gè)例題難度影響因素各自的加權(quán)平均值來(lái)看，人教A版教科書(shū)僅在“習(xí)題背景”上高于湘教版教科書(shū)，在“運(yùn)算水平”“認(rèn)知要求”“習(xí)題類型”“知識(shí)綜合”上均低于湘教版教科書(shū).此外，還可以發(fā)現(xiàn)，兩套高中數(shù)學(xué)教科書(shū)在5個(gè)難度因素上都不是很平衡，其中湘教版教科書(shū)中“認(rèn)知要求”和“習(xí)題背景”兩個(gè)難度影響因素的加權(quán)平均值相差達(dá)到了1439，人教A版教科書(shū)“認(rèn)知要求”和“習(xí)題背景”兩個(gè)難度影響因素的加權(quán)平均值相差也達(dá)到了0937.

其次，從圖6我們可以很清楚地看到，兩套教科書(shū)在“認(rèn)知要求”和“習(xí)題類型”因素上相差較大，在“習(xí)題背景”“習(xí)題運(yùn)算”和“知識(shí)綜合”這三個(gè)例題難度影響因素上相差不大.

4?結(jié)論與建議

41?結(jié)論

（1） 湘教版教科書(shū)在例題綜合難度上大于人教A版教科書(shū);

（2）在習(xí)題背景因素上，人教A版教科書(shū)例題的難度要高于湘教版教科書(shū)，而在運(yùn)算、認(rèn)知、題目類型和知識(shí)綜合4個(gè)難度因素上要低于湘教版教科書(shū);

（3）兩套教科書(shū)的例題都沒(méi)有保持5個(gè)難度因素的平衡，尤其是湘教版，“認(rèn)知要求”和“習(xí)題背景”的加權(quán)平均值相差達(dá)到了1439;

（4）在習(xí)題背景因素上，兩套教科書(shū)都以無(wú)背景習(xí)題為主，在“公共生活”方面的例題都比較少，都沒(méi)有“個(gè)人生活”和“科學(xué)情境”的例題;

（5） 在習(xí)題運(yùn)算因素上，兩套教科書(shū)都以簡(jiǎn)單計(jì)算為主，不涉及運(yùn)算的例題都比較少.這可能和平面向量本身有關(guān)，向量作為近代數(shù)學(xué)的重要工具，它溝通了代數(shù)、幾何與三角函數(shù)，向量的代數(shù)運(yùn)算是處理幾何、物理以及其它領(lǐng)域問(wèn)題的一個(gè)有力工具.向量的這些特性也就意味著，在平面向量?jī)?nèi)容中會(huì)有較多的計(jì)算;

（6） 在習(xí)題認(rèn)知要求上，相對(duì)于其它難度因素，兩套教科書(shū)的加權(quán)平均值都是最大的.兩套教科書(shū)表現(xiàn)的趨勢(shì)一致，都呈上升趨勢(shì)，難度越高，例題的數(shù)量也越多.人教A版教科書(shū)處于記憶水平的例題的數(shù)量為湘教版教科書(shū)處于記憶水平的例題的兩倍;處于概念理解水平的例題，二者相差不大;湘教版處于遷移性理解水平的例題的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于人教A版;

（7） 在習(xí)題類型因素上，人教A版以標(biāo)準(zhǔn)性題目最多，湘教版以探索性題目最多.在這一難度因素上，兩套教科書(shū)的區(qū)別明顯，人教A版大致呈下降趨勢(shì)，湘教版大致呈上升趨勢(shì);

（8） 在知識(shí)綜合因素上，兩套教科書(shū)都以含有2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例題最多，表現(xiàn)的趨勢(shì)一致，都是先上升后下降，含有3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的例題都比較少.

42?建議

（1）注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性.

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有三個(gè)顯著的特點(diǎn)[6]：高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)格性和廣泛的應(yīng)用性.“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué).”

現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育認(rèn)為，“數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí).”向量作為近代數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)概念之一，工具性是其重要的特征，在幾何學(xué)、物理學(xué)以及其它領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題也是新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念所倡導(dǎo)的[7].

但前述分析表明，在背景因素上，兩套教科書(shū)都以無(wú)背景例題為主，有背景的例題都比較少，都沒(méi)有屬于“公共生活”和“科學(xué)情境”水平的例題.因此，可以考慮在教科書(shū)中適當(dāng)增加具有現(xiàn)實(shí)背景的例題和習(xí)題.

（2）習(xí)題的安排應(yīng)注重各個(gè)難度因素的平衡.

研究表明，兩套高中數(shù)學(xué)教科書(shū)都沒(méi)有保持5個(gè)難度因素之間的平衡，其中，背景因素的加權(quán)均值相比其它4個(gè)因素要小很多，兩套教科書(shū)在認(rèn)知要求因素上的加權(quán)平均值都是最高的.湘教版教科書(shū)的例題在背景和認(rèn)知要求兩個(gè)難度因素上的加權(quán)平均值相差1439;人教A版中，背景和認(rèn)知要求兩個(gè)難度因素之間的加權(quán)均值相差達(dá)到了0937.兩套教科書(shū)中其它難度影響因素也不是很平衡.因此，在進(jìn)行向量一章中教科書(shū)例題的選擇和編排時(shí)，應(yīng)該考慮該數(shù)學(xué)內(nèi)容的特殊性，同時(shí)注重各難度因素之間的平衡.

（3）注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系性.

從前面的統(tǒng)計(jì)分析可知，兩套教科書(shū)中的例題大約有一半都是含有2個(gè)知識(shí)點(diǎn)，含有3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的例題都很少.其中人教A版教科書(shū)含有1-2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例題占9375%，湘教版教科書(shū)占8293%，人教A版含有3個(gè)及以上的知識(shí)點(diǎn)的例題僅有625%.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不應(yīng)該也不能夠僅僅是單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，而且學(xué)生在現(xiàn)實(shí)中所遇到的問(wèn)題常常都是綜合性的，它們通常包含了許多個(gè)知識(shí)點(diǎn).數(shù)學(xué)的各個(gè)分支“是一個(gè)不可分割的整體，它的生命力也正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系.盡管不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)千差萬(wàn)別，但是在作為整體的數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)家們都使用著相同的工具，存在著概念間的親緣關(guān)系.”

當(dāng)然考慮到向量作為工具的特性，在例題編排時(shí)，不僅要考慮各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的聯(lián)系，還要考慮數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，同時(shí)還要體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界各種不同領(lǐng)域的聯(lián)系.這樣才有可能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生形成“數(shù)學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體”的正確觀念.

參考文獻(xiàn)：

[1]覃淋.“中國(guó)大陸” “日本” 和“中國(guó)臺(tái)灣”高中數(shù)學(xué)教材統(tǒng)計(jì)習(xí)題難度比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（01）：55-60.

[2]課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研發(fā)中心.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[3]張景中.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 數(shù)學(xué) 第二冊(cè)（必修）[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2016.

[4]覃淋.高中數(shù)學(xué)人教A版、B版教材習(xí)題的認(rèn)知水平比較[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（27）：3-5.

[5] AD亞歷山大洛夫.數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義[M].北京：科學(xué)出版社，2019.

[6]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

（收稿日期：2019-10-28）