○蔣守成

在已有教材內(nèi)容基礎(chǔ)上，在不改變當(dāng)下教材體系的前提下，通過資源整合、融通，用主題的方式進(jìn)行拓展教學(xué)，這是我們研究并傳承華羅庚的“一條龍教學(xué)法”思想提出的教學(xué)主張。

一、主題拓展教學(xué)的內(nèi)涵解析

所謂主題拓展教學(xué)，是以“發(fā)展思維”為核心，“提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”為目標(biāo)，圍繞有價(jià)值的主題“牽一發(fā)”而“動(dòng)”學(xué)生已有知識(shí)與能力體系的“全身”，將課內(nèi)外、各學(xué)科零碎的內(nèi)容統(tǒng)整起來，促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化思考的開放式教學(xué)。

“主題拓展教學(xué)”不是讓學(xué)生獲得一堆零散、呆板、無用的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是師生共同經(jīng)歷的一段智慧之旅，促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維方式，獲得數(shù)學(xué)的基本思想，掌握解決問題的一般策略和方法，從而通過數(shù)學(xué)更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，解決現(xiàn)實(shí)世界中具有挑戰(zhàn)性的問題。

主題拓展教學(xué)是基于教材進(jìn)行課程開發(fā)形態(tài)的一種教學(xué)主張，它是對(duì)日常課堂教學(xué)的融合和補(bǔ)充，是學(xué)生根據(jù)已有認(rèn)知水平和已有生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有序聯(lián)想、自由思考的一種學(xué)習(xí)形態(tài)，更多地趨向于以主題為載體的獨(dú)立思考和合作研究。

二、主題拓展教學(xué)的組織實(shí)施

“主題”是主題拓展教學(xué)的“魂”，它既是教學(xué)活動(dòng)的主線，也是生發(fā)學(xué)生思維的核心；既是教師進(jìn)行教學(xué)規(guī)劃的“種子”，也是學(xué)生形成系統(tǒng)化思考的“發(fā)源地”?！巴卣埂笔菙?shù)學(xué)主題教學(xué)的方式，它可以從條件或結(jié)論出發(fā)圍繞主題通過追本溯源，不斷向未知的領(lǐng)域進(jìn)行拓展，掌握其來龍去脈以及相關(guān)知識(shí)和問題的內(nèi)在聯(lián)系；也可以從問題出發(fā)，圍繞主題通過資料查找、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、邏輯推理、問題轉(zhuǎn)化等途徑解決問題。讓學(xué)生從具體到抽象或從抽象到具體的過程中穿梭，表面上是對(duì)一個(gè)問題的深入理解或解決某個(gè)問題，本質(zhì)上是一種系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)基本思想的有力滲透。

1.循序推斷，把握知識(shí)的邏輯之鏈，促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的思維方式。

學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容本身是按照一定的邏輯關(guān)系來安排的，但往往會(huì)出現(xiàn)割裂和離散的現(xiàn)象，這就需要梳理和推斷形成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

例如：按照正常的邏輯關(guān)系，相鄰的兩個(gè)面積單位的進(jìn)率應(yīng)該都是100，那為什么公頃和平方米的進(jìn)率是10000呢？同樣的道理，每相鄰兩個(gè)長度單位的進(jìn)率是10，為什么千米到米的進(jìn)率是1000呢？這會(huì)給學(xué)生的系統(tǒng)化認(rèn)知造成障礙。因此，我們可以從問題出發(fā)，圍繞面積單位這個(gè)主題追本溯源，在求聯(lián)中系統(tǒng)推理，明晰其中的原理。

首先，理清面積單位進(jìn)率的“序”。通過課前資料查找，學(xué)生明白面積單位在教材中呈現(xiàn)的只是其中的一部分，原來的公制面積單位公畝（a）已經(jīng)不再使用，教材也就沒有介紹。因?yàn)?公畝等于100平方米，如果將公畝算進(jìn)去每相鄰兩個(gè)面積單位的進(jìn)率都是100。那為什么教材不把公畝放在里面進(jìn)行教學(xué)呢，一是數(shù)學(xué)優(yōu)化的結(jié)果，二是擔(dān)心和市制計(jì)量單位“畝”混淆。

其次，按面積單位規(guī)定的“序”進(jìn)行合理推斷。邊長是100米的正方形土地面積是1公頃，為什么要這樣規(guī)定？原來相鄰的長度單位的進(jìn)率也都是10，只是十米和百米跟公畝一樣在實(shí)踐過程中優(yōu)化了。按照面積規(guī)定的“序”：邊長為1厘米、1分米、1米、10米的正方形的面積分別是1平方厘米、1平方分米、1平方米、1公畝，學(xué)生由此進(jìn)行合理推斷得到邊長是100米的正方形土地面積是1公頃，再大一點(diǎn)就是邊長1千米的正方形面積為1平方千米，這樣的數(shù)學(xué)化的推算過程滲透了推理的思想，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)平方千米找到了路徑，形成了正遷移。

教材編寫時(shí)會(huì)強(qiáng)調(diào)概念和命題之間的邏輯結(jié)構(gòu)，會(huì)按照學(xué)生認(rèn)知的“序”進(jìn)行科學(xué)編排。例如，圖形的面積計(jì)算，從長方形（正方形）的面積計(jì)算開始，到平行四邊面積計(jì)算，再到三角形面積計(jì)算、梯形面積計(jì)算，最后到圓的面積計(jì)算。然而，我們僅僅看到這種線性的、單向的“邏輯結(jié)構(gòu)”顯然是不夠的。例如，我們?cè)诮虒W(xué)三角形面積時(shí)就不僅僅滿足于轉(zhuǎn)化成平行四邊形這一個(gè)路徑，還可以通過折紙的方式轉(zhuǎn)化成長方形。教學(xué)圓的面積時(shí)也不僅僅滿足于轉(zhuǎn)化成長方形，還可以轉(zhuǎn)化成三角形、梯形。同理，梯形不僅可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形，也可以轉(zhuǎn)化成長方形。

圖形之間是可以多元相互轉(zhuǎn)化的，打破了由于教學(xué)的先后次序所形成的邏輯線索的束縛，在平面圖形面積之間建立更為廣泛的聯(lián)系，形成了結(jié)構(gòu)化表達(dá)，也意味著內(nèi)部的“線索”更加豐富。

2.融通整合，主題關(guān)聯(lián)零碎散落的教學(xué)資源，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建新系統(tǒng)，獲得新見解。

研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)者所掌握的知識(shí)以一種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方式進(jìn)行排列的時(shí)候，就可以大大提高知識(shí)的提取應(yīng)用的效率，從而提高解決問題的能力。數(shù)學(xué)主題拓展教學(xué)從主題出發(fā)，通過網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)主動(dòng)關(guān)聯(lián)相關(guān)內(nèi)容，形成縱橫交錯(cuò)、有機(jī)互補(bǔ)的新的主題結(jié)構(gòu)，隨著經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的生長，將不斷豐富該結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建新的系統(tǒng)，獲得新的見解。

例如，學(xué)習(xí)圓柱體的體積后有這樣一道題：選一張長方形紙，卷成兩個(gè)大小不同的圓柱，分別算出體積。與同學(xué)交流，怎樣卷圓柱的體積比較大？

我們發(fā)現(xiàn)，教師的處理方式大都是：給出具體的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生計(jì)算得出結(jié)論，然后讓學(xué)生記住以長為底面周長時(shí)卷成的體積大。學(xué)生通過計(jì)算獲得答案，然后形成經(jīng)驗(yàn)。那么，這種經(jīng)驗(yàn)一定是正確的嗎？有沒有更好的方法呢？由此，我們以“圓柱體的再認(rèn)識(shí)”為主題進(jìn)行拓展教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)圓柱的體積、表面積構(gòu)建更豐富的系統(tǒng)，獲得新的見解。

首先，構(gòu)建圓柱體體積方法的新系統(tǒng)。

圓柱體的體積是由長方體的體積轉(zhuǎn)化得來的，因?yàn)殚L方體有三個(gè)不同的面，所以體積就有三種不同的表達(dá)，由此推斷圓柱體的體積應(yīng)該有三種不同的表達(dá)形式，讓學(xué)生構(gòu)建體積方法的新模型，獲得解決問題的新路徑。我們可以尋找到一般的方法進(jìn)行證明誰卷成的體積大。如果將拼成的長方體翻轉(zhuǎn)，即原來圓柱側(cè)面積的一半作底，就可以得到新的方法：側(cè)面積的一半乘底面半徑。

學(xué)生運(yùn)用剛才的推導(dǎo)公式來解釋為什么以A4紙長邊為周長卷出來的圓柱的體積大。如圖，側(cè)面積一樣的情況下，半徑越大，體積越大。同樣道理，將一張長方形A4紙分別以長和寬為半徑旋轉(zhuǎn)形成的圓柱體哪個(gè)體積大？如圖，通過推斷得到新的求體積的方法，可以得出結(jié)論。

通過兩個(gè)現(xiàn)實(shí)的問題，豐富了圓柱和長方體體積之間的聯(lián)系，使學(xué)生更好地體會(huì)推理基本思想的價(jià)值。

其次，構(gòu)建圓柱體表面積方法的新系統(tǒng)。

通過“圓柱體再認(rèn)識(shí)”這一主題進(jìn)一步讓學(xué)生明晰數(shù)學(xué)知識(shí)間內(nèi)在的邏輯關(guān)系，幫助學(xué)生建立清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，將原本散落在教材中的零碎知識(shí)以結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的模型呈現(xiàn)出來，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供系統(tǒng)化的思維路徑。

3.主題研究，創(chuàng)造學(xué)生“主動(dòng)思考”的關(guān)鍵事件，幫助學(xué)生獲取解決復(fù)雜問題的能力和素養(yǎng)。

除了通過循序推斷、融通整合促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)化結(jié)構(gòu)化的思維方式，更需要向?qū)W生展現(xiàn)真實(shí)世界的復(fù)雜和多變，讓他們有可能在非常規(guī)、非線性的復(fù)雜問題求解過程中，重組經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，歷練系統(tǒng)思維。

（1）選擇現(xiàn)實(shí)的有挑戰(zhàn)性的問題進(jìn)行主題研究。

例如，五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行“住房面積有多大”的主題研究。問題有：學(xué)生如何運(yùn)用學(xué)到的規(guī)則圖形面積的知識(shí)，去解決實(shí)際生活中不規(guī)則圖形的面積問題？對(duì)于住房面積中的實(shí)際使用面積、墻體面積、公攤建筑面積等概念，學(xué)生如何運(yùn)用已經(jīng)學(xué)會(huì)的面積知識(shí)來理解？使用圖紙計(jì)算和通過實(shí)際測(cè)量計(jì)算哪種方法好？實(shí)際測(cè)量的面積和房產(chǎn)證上的面積有哪些區(qū)別？在研究中，學(xué)生經(jīng)歷了收集數(shù)據(jù)、作出假設(shè)、建立模型、實(shí)踐檢驗(yàn)、作出決策等過程。

像這樣的主題研究活動(dòng)，我們已經(jīng)形成了系列。例如：六年級(jí)“膠帶紙有多長”、四年級(jí)“媽媽有多少根頭發(fā)”、五年級(jí)“樹葉的面積有多大”等，帶領(lǐng)他們走向更廣闊的數(shù)學(xué)世界，感悟數(shù)學(xué)思維精髓與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的魅力。

（2）選擇經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行主題研究。

我們對(duì)小學(xué)生能懂的經(jīng)典的數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)名題，如“冰雹猜想”“四色問題”“孿生素?cái)?shù)猜想”“李白喝酒”“省刻度尺”等進(jìn)行主題拓展研究。給學(xué)生種下一顆數(shù)學(xué)研究的種子，讓他們能夠有機(jī)會(huì)盡早接觸經(jīng)典問題，經(jīng)歷和數(shù)學(xué)家一樣的研究歷程，并在解決問題的過程中，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想，沉淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

“主題拓展教學(xué)”的探索，打破了傳統(tǒng)的以“課”為組織、以知識(shí)“點(diǎn)”為單位的固化教學(xué)框架，明顯跳出以單純課堂教學(xué)組織方式改良的范疇，拓展了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的渠道，豐富了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的實(shí)施提供了新的視角，也積累了實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。