□ 劉瑞超 □ 張 波

上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院 上海 200240

1 研究背景

在主流的辨識(shí)方法中,需要使用激光測(cè)量?jī)x和視覺傳感器等進(jìn)行標(biāo)定,這樣做的缺點(diǎn)是所需設(shè)備昂貴,操作復(fù)雜[1-3]。

筆者以微分運(yùn)動(dòng)的思路,優(yōu)化運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型的計(jì)算方法,并通過仿真驗(yàn)證這一方法的有效性。與此同時(shí)，筆者針對(duì)協(xié)作機(jī)器人的特點(diǎn)，提出一種基于標(biāo)定板的協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)標(biāo)定方法,設(shè)備簡(jiǎn)單，通用性強(qiáng),方法簡(jiǎn)便。通過模型仿真和試驗(yàn)，驗(yàn)證了這一標(biāo)定方法的可行性和可操作性[4-5]。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型及算法優(yōu)化

筆者研究的機(jī)器人為上海交通大學(xué)機(jī)器人研究所研發(fā)的六自由度協(xié)作機(jī)器人。使用DH參數(shù)法對(duì)協(xié)作機(jī)器人進(jìn)行建模,協(xié)作機(jī)器人各連桿坐標(biāo)系如圖1所示。其中,基座坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)方向?yàn)閄0、Y0、Z0。協(xié)作機(jī)器人模型DH參數(shù)見表1，其中,αi為相鄰關(guān)節(jié)軸夾角,ai為連桿長(zhǎng)度,di為連桿偏距,θi為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角,i為連桿編號(hào)，i=1,2,3，…，6。

▲圖1 協(xié)作機(jī)器人連桿坐標(biāo)系

表1 協(xié)作機(jī)器人模型DH參數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的經(jīng)典機(jī)器人DH參數(shù)法,得到連桿i坐標(biāo)系相對(duì)于連桿i-1坐標(biāo)系的齊次變換矩陣i-1Ti。協(xié)作機(jī)器人末端坐標(biāo)系相對(duì)于基座坐標(biāo)系的齊次變換矩陣0T6為：

0T6=0T11T22T33T44T55T6

(1)

現(xiàn)有的誤差模型一般在式(1)基礎(chǔ)上取微分，以獲得0T6中各個(gè)元素與DH參數(shù)之間的誤差傳遞關(guān)系。由于每個(gè)齊次變換矩陣相乘存在正余弦函數(shù)耦合,因此微分的解析表達(dá)式很復(fù)雜。筆者在非線性方程線性化的基礎(chǔ)上,將微分運(yùn)動(dòng)及其運(yùn)動(dòng)旋量與DH參數(shù)法相結(jié)合,提出一種可以快速求解得到誤差傳遞關(guān)系的新算法。當(dāng)DH參數(shù)存在偏差時(shí),連桿i坐標(biāo)系相對(duì)于連桿i-1坐標(biāo)系，齊次變換矩陣的偏差為Δi-1Ti；協(xié)作機(jī)器人末端坐標(biāo)系相對(duì)于基座坐標(biāo)系，齊次變換矩陣的偏差為Δ0T6。在忽略矩陣偏差二階小量的前提下,可以得到:

=0T6+Δ0T1·1T22T33T44T55T6+0T1

·Δ1T2·2T33T44T55T6+…

+0T11T22T33T44T5·Δ5T6

(2)

應(yīng)用齊次變換矩陣T的正交性,可以快速求解出逆矩陣T-1[6]。齊次變換矩陣的偏差可以認(rèn)為由齊次變換矩陣的微分運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生,根據(jù)文獻(xiàn)[7]闡述的坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)系角速度矢量ω、速度矢量v之間的關(guān)系,得到:

(3)

(4)

式中：ΔT為齊次變換矩陣T的偏差；δT為齊次變換矩陣T的微分變換矩陣;ω1、ω2、ω3依次為角速度矢量ω沿坐標(biāo)系X0軸、Y0軸、Z0軸的三個(gè)分量；v1、v2、v3依次為線速度矢量v沿坐標(biāo)系X0軸、Y0軸、Z0軸的三個(gè)分量；γ為由角速度矢量和線速度矢量組成的運(yùn)動(dòng)旋量。

(5)

式中:i-1γi為齊次變換矩陣i-1Ti微分運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)旋量;i-1ωi和i-1vi分別為齊次變換矩陣i-1Ti微分運(yùn)動(dòng)的角速度矢量和速度矢量;Δαi為相鄰關(guān)節(jié)軸夾角偏差；Δai為連桿長(zhǎng)度偏差；Δdi為連桿偏距偏差；Δθi為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角偏差；ΔXi為第i個(gè)連桿的DH參數(shù)矢量偏差；i-1Li為第i個(gè)連桿DH參數(shù)偏差與運(yùn)動(dòng)旋量i-1γi之間的關(guān)系傳遞矩陣。

對(duì)式(2)等號(hào)兩側(cè)消去0T6,即等號(hào)兩側(cè)同時(shí)乘以0T6-1,可以得到:

(6)

式中：0γ6為在基座坐標(biāo)系下協(xié)作機(jī)器人末端坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)旋量;Ad(j-1Tj)為李代數(shù)群中對(duì)齊次變換矩陣j-1Tj的伴隨變換[8];j為連桿編號(hào)中間變量,j=1,2…,i。

結(jié)合式(5)和式(6),由運(yùn)動(dòng)旋量中提取協(xié)作機(jī)器人末端位置誤差矢量[9],得到:

ΔX=J·ΔX

(7)

(8)

式中：p1、p2、p3依次為協(xié)作機(jī)器人末端位置矢量p在X0軸、Y0軸、Z0軸三個(gè)方向上的分量；Δp為協(xié)作機(jī)器人末端位置誤差矢量;p∧為由協(xié)作機(jī)器人末端位置矢量p生成的反對(duì)稱矩陣；I3為三階單位對(duì)角矩陣;ΔX為協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)矢量偏差；J為雅可比矩陣。

筆者通過將運(yùn)動(dòng)旋量與DH參數(shù)相結(jié)合,推導(dǎo)出了協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)標(biāo)定所需的雅可比矩陣J的快速計(jì)算方式。

3 DH參數(shù)標(biāo)定算法仿真

采用最小二乘法對(duì)協(xié)作機(jī)器人的DH參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定[10]:

(9)

在求解雅可比矩陣J的過程中,采用了線性化方法對(duì)非線性模型進(jìn)行簡(jiǎn)化,需要使用最小二乘迭代法修正DH參數(shù),使修正后的DH參數(shù)接近實(shí)際DH參數(shù)。

通過仿真驗(yàn)證DH參數(shù)標(biāo)定迭代算法的有效性。首先在協(xié)作機(jī)器人模型DH參數(shù)附近選取一組數(shù)據(jù),作為協(xié)作機(jī)器人的實(shí)際DH參數(shù),見表2。然后通過隨機(jī)數(shù)生成36組關(guān)節(jié)角度,分別計(jì)算出協(xié)作機(jī)器人末端的理論位置和實(shí)際位置,獲得位置誤差矢量Δp。最后根據(jù)關(guān)節(jié)角度、協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)和協(xié)作機(jī)器人末端位置，由式(7)計(jì)算雅可比矩陣J。

表2 協(xié)作機(jī)器人實(shí)際DH參數(shù)

通過最小二乘法迭代十次,協(xié)作機(jī)器人修正后的DH參數(shù)見表3。對(duì)比表2和表3數(shù)據(jù),修正后的DH參數(shù)非常接近仿真中選取的協(xié)作機(jī)器人實(shí)際DH參數(shù)。繪制在每次迭代過程中Δp的二范數(shù)變化情況,如圖2所示。由圖2可以看出，Δp的二范數(shù)快速收斂至0。首次迭代后Δp的二范數(shù)為0.06 m,第十次迭代后為1×10-7m。在標(biāo)定后，協(xié)作機(jī)器人末端位置精度提高99.9%。這一仿真結(jié)果驗(yàn)證了筆者提出的基于微分變換的DH參數(shù)標(biāo)定方法的有效性。

表3 修正后協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)

4 標(biāo)定板設(shè)計(jì)

協(xié)作機(jī)器人具有良好的人機(jī)交互特性,在協(xié)作機(jī)器人使用過程中,可以手動(dòng)拖動(dòng)協(xié)作機(jī)器人的末端至所需要的位置。應(yīng)用協(xié)作機(jī)器人的這一特性,筆者設(shè)計(jì)了用于協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)標(biāo)定的標(biāo)定板,如圖3所示。在標(biāo)定板上,有一些直徑一致的圓孔,這些圓孔可以與協(xié)作機(jī)器人末端法蘭緊密貼合。在標(biāo)定過程中,操作者可以將協(xié)作機(jī)器人末端拖動(dòng)至標(biāo)定板的不同孔位中。

▲圖2 Δp二范數(shù)迭代變化

由于協(xié)作機(jī)器人底座與標(biāo)定板通過兩個(gè)固定銷固定,保證了協(xié)作機(jī)器人底座與標(biāo)定板之間的相對(duì)位置關(guān)系為唯一確定,標(biāo)定板上每個(gè)圓孔在機(jī)器人基座標(biāo)系中的位置均可以通過標(biāo)定板的幾何尺寸獲得。在標(biāo)定過程中,操作者不需要使用激光跟蹤儀或高精度相機(jī)對(duì)協(xié)作機(jī)器人末端進(jìn)行位置測(cè)量。標(biāo)定板的使用極大簡(jiǎn)化了協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)標(biāo)定的操作過程。

▲圖3 協(xié)作機(jī)器人及標(biāo)定板

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

在標(biāo)定過程中,拖動(dòng)協(xié)作機(jī)器人末端法蘭至標(biāo)定板孔位中，讀取協(xié)作機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度數(shù)據(jù)和末端位置數(shù)據(jù),計(jì)算出位置誤差矢量Δp和雅可比矩陣J,便可對(duì)DH參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。為保證協(xié)作機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解有解析解,在試驗(yàn)迭代修正的過程中,增加了保持DH參數(shù)中αi不變的約束條件。這一條件保證了在迭代過程中,協(xié)作機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型相鄰關(guān)節(jié)保持絕對(duì)平行或絕對(duì)垂直的狀態(tài)。拖動(dòng)協(xié)作機(jī)器人末端法蘭至標(biāo)定板上12個(gè)圓孔，分別記錄各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角,進(jìn)行十次迭代后,得到試驗(yàn)DH參數(shù)，見表4。

表4 協(xié)作機(jī)器人試驗(yàn)DH參數(shù)

試驗(yàn)過程中Δp的二范數(shù)隨迭代次數(shù)的變化情況如圖4所示。由圖4可以看出，第三次迭代后,Δp的二范數(shù)趨于穩(wěn)定。第一次迭代時(shí),Δp的二范數(shù)為0.045 m。第十次迭代后,Δp的二范數(shù)為0.007 3 m,末端位置精度提高84%。試驗(yàn)驗(yàn)證了筆者所提標(biāo)定方法的有效性。

▲圖4 Δp二范數(shù)試驗(yàn)迭代變化

為進(jìn)一步驗(yàn)證修正DH參數(shù)的可信性,在標(biāo)定板中另外選取三個(gè)未納入標(biāo)定數(shù)據(jù)采樣的圓孔。將協(xié)作機(jī)器人末端拖至這三個(gè)圓孔中,通過修正DH參數(shù)計(jì)算協(xié)作機(jī)器人的末端位置偏差,并與初始末端位置進(jìn)行比較,結(jié)果見表5。

表5 協(xié)作機(jī)器人位置偏差比較 mm

由表5可以看出,使用修正DH參數(shù)后,協(xié)作機(jī)器人在標(biāo)定板其它位置處的末端位置計(jì)算值與實(shí)際值偏差減小,偏差的二范數(shù)減小76%,進(jìn)一步驗(yàn)證了標(biāo)定方法的有效性。當(dāng)然，在精度上仍然還有較大的提高空間，造成這種現(xiàn)象的原因包括標(biāo)定數(shù)據(jù)量太少、扭轉(zhuǎn)角變化約束限制等[11]。

6 結(jié)束語

筆者提出了一種基于微分變換的協(xié)作機(jī)器人誤差模型計(jì)算方法,避免了復(fù)雜的求導(dǎo)計(jì)算過程,提高了誤差模型的計(jì)算效率。在仿真中,通過有限次最小二乘法迭代后對(duì)DH參數(shù)進(jìn)行修正,協(xié)作機(jī)器人末端位置精度提高99.9%。筆者針對(duì)協(xié)作機(jī)器人設(shè)計(jì)了一種標(biāo)定板,用于對(duì)協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。通過試驗(yàn)中十次迭代計(jì)算,協(xié)作機(jī)器人末端位置精度提高了84%。這一基于標(biāo)定板的協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)標(biāo)定方法對(duì)協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)的實(shí)際應(yīng)用具有參考價(jià)值。