任金霞，黃藝培，蔣夢(mèng)倩

(江西理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，江西 贛州 341000)

0 引 言

永磁同步電動(dòng)機(jī)(permanent magnet synchronous motors，PMSM)由于其高效率、低慣性和高轉(zhuǎn)矩慣量比等高性能特性而在工業(yè)中得到廣泛應(yīng)用。在許多應(yīng)用中，PMSM的快速響應(yīng)和高精度轉(zhuǎn)速控制都是重要的技術(shù)指標(biāo)。

永磁同步電機(jī)一般用傳感器來(lái)檢測(cè)轉(zhuǎn)子的位置和轉(zhuǎn)速，但這會(huì)降低永磁同步電機(jī)的魯棒性。在很多環(huán)境下，傳感器并不可靠，反而會(huì)增加系統(tǒng)的復(fù)雜性并可能導(dǎo)致電磁干擾問(wèn)題，無(wú)傳感器方法則可以避免這些問(wèn)題。目前有許多估計(jì)永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速的技術(shù)方法，如高頻注入法和擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)技術(shù)。但是這些技術(shù)方法的使用都要經(jīng)過(guò)大量復(fù)雜的信號(hào)處理運(yùn)算，這增加了計(jì)算的難度和系統(tǒng)的復(fù)雜度。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，模型參考自適應(yīng)控制(model reference adaptive control，MRAC)技術(shù)能夠有效地解決這些問(wèn)題。MRAC是用于估算轉(zhuǎn)子速度和位置最好的技術(shù)之一，由于其在性能方面需要較少的計(jì)算時(shí)間，因此易于實(shí)現(xiàn)。但是MRAC一般適用于低速且精度要求不高的場(chǎng)合[3]。

為提高系統(tǒng)的魯棒性，本文提出將分?jǐn)?shù)階理論應(yīng)用于模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)中，在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中根據(jù)PMSM的電流方程建立可調(diào)模型和參考模型，并以參考模型和可調(diào)模型的d-q軸電流差值作為誤差，轉(zhuǎn)速作為可調(diào)參數(shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律。在MATLAB/Simulink環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律應(yīng)用于模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)具有明顯優(yōu)越性。

1 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微積分實(shí)際上是任意階微積分，階數(shù)甚至可以為復(fù)數(shù)[4]。分?jǐn)?shù)階微積分算子定義為

(1)

在分?jǐn)?shù)階理論的發(fā)展過(guò)程中，出現(xiàn)了多種定義，最常見(jiàn)的R-L分?jǐn)?shù)階積分定義為

(2)

式中：t>0，α∈R+；Γ(α)為Gamma函數(shù)，

(3)

2 PMSM模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)

本文以永磁同步電機(jī)的電壓和電流作為自適應(yīng)控制系統(tǒng)的輸入，根據(jù)參考模型和可調(diào)模型的輸出電流誤差得到轉(zhuǎn)速誤差信息，由此設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律。分?jǐn)?shù)階MRAC設(shè)計(jì)框圖見(jiàn)圖1。

圖1 分?jǐn)?shù)階MRAC設(shè)計(jì)框圖

2.1 參考模型和可調(diào)模型

表貼式三相PMSM在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓方程為

式中：ud,uq,id,iq分別為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下定子的d-q軸電壓和電流；Ls為d-q軸定子等效電感；ωe為電機(jī)轉(zhuǎn)速；ψf為磁鏈；R為定子電阻。

將式(4)寫(xiě)成電流方程的形式：

(5)

令

則式(5)可變換為

(7)

式(7)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

(8)

將式(8)寫(xiě)成狀態(tài)空間表達(dá)式

(d/dt)i′=Ai′+Bu′，

(9)

式(9)中的狀態(tài)矩陣A包含轉(zhuǎn)子速度信息，因此可將此式作為可調(diào)模型，ωe為可調(diào)參數(shù)，三相PMSM為參考模型。

將式(8)以估計(jì)值表示為

(10)

式(10)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

(11)

(12)

將式(12)寫(xiě)成

(13)

2.2 分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論

考慮到電機(jī)中的電容和電感都具有分?jǐn)?shù)階特性，引用文獻(xiàn)[5]中的分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性定理，此處不再證明。

2.3 分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律的設(shè)計(jì)

則式(13)可表示為

(14)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

(15)

其中，系數(shù)γ>0。

對(duì)式(15)求α階導(dǎo)，得

(16)

(17)

(18)

令p為單位陣，則

可得

設(shè)KI=γ，為提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，引入比例環(huán)節(jié)，則

(21)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

按照?qǐng)D2所示的PMSM無(wú)傳感器矢量控制框圖，在MATLAB/Simulink環(huán)境下搭建仿真模型。其中，電機(jī)的仿真參數(shù)如表1所示。

圖2 基于分?jǐn)?shù)階MRAC的PMSM矢量控制框圖

將自適應(yīng)律的參數(shù)值設(shè)為KI=0.5，KP=0.3，α的取值約束在[0.1，1]間，經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)分?jǐn)?shù)階次取α=0.1時(shí)，能取得較好的控制效果。為了分析分?jǐn)?shù)階模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)具有的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，與傳統(tǒng)整數(shù)階模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)得出的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比如下。

3.1 電機(jī)在空載狀態(tài)下的響應(yīng)

電機(jī)在空載狀態(tài)下啟動(dòng)，給定轉(zhuǎn)速為300 r/min,仿真結(jié)果如圖3和圖4 所示。

3.2 轉(zhuǎn)速突變時(shí)的電機(jī)響應(yīng)

電機(jī)在空載狀態(tài)下啟動(dòng)，給定轉(zhuǎn)速為300 r/min，在0.3 s時(shí)轉(zhuǎn)速突變?yōu)?50 r/min，仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

表1 電機(jī)仿真參數(shù)

圖3 電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速

圖4 電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差

3.3 加入5 N負(fù)載時(shí)的電機(jī)響應(yīng)

電機(jī)在空載狀態(tài)下啟動(dòng)，給定轉(zhuǎn)速為300 r/min，在0.3 s時(shí)加入5 N負(fù)載，仿真結(jié)果如圖7和圖8所示。

從圖3和圖4中可以看到，對(duì)于PMSM的轉(zhuǎn)速實(shí)際值，當(dāng)α=0.1時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速能夠快速響應(yīng)，且相比于整數(shù)階，有較小的超調(diào)量，調(diào)節(jié)時(shí)間短，在0.05 s左右能快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而整數(shù)階情形下則需要0.18 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。在分?jǐn)?shù)階情形下，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間僅為整數(shù)階情形下的27.8%。

從圖5～6中可以看到，在轉(zhuǎn)速突變的情況下，α=0.1時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速可快速達(dá)到650 r/min，能夠在0.36 s左右迅速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，并且在轉(zhuǎn)速突變時(shí)，轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差穩(wěn)定在10 r左右。而當(dāng)α=1時(shí)，電機(jī)在0.4 s左右才能進(jìn)入到穩(wěn)定狀態(tài)，

圖5 轉(zhuǎn)速突變時(shí)電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速

圖6 轉(zhuǎn)速突變時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差

耗時(shí)較長(zhǎng)，且轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差穩(wěn)定時(shí)抖動(dòng)較大，為20 r左右。在分?jǐn)?shù)階情形下，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間提高了50%，轉(zhuǎn)速估計(jì)精度提高了50%。

從圖7～8中可以看到，當(dāng)系統(tǒng)加入負(fù)載時(shí)，在整數(shù)階情形下，電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速會(huì)受到較大的擾動(dòng)，在0.3 s時(shí)最大轉(zhuǎn)速為470 r左右。而當(dāng)α=0.1時(shí)，電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速受到的擾動(dòng)較小，在0.3 s時(shí)最大轉(zhuǎn)速為400 r左右，然后迅速回到穩(wěn)定狀態(tài)，最大轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差降低了29.4%，有較強(qiáng)的抗擾動(dòng)能力。

從以上仿真結(jié)果可以看出，相比于整數(shù)階自適應(yīng)律情形下，PMSM在分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律情形下調(diào)速性能得到了提高，有較好的魯棒性。

圖7 加入負(fù)載時(shí)電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速

圖8 加入負(fù)載時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的分?jǐn)?shù)階MRAS方法并應(yīng)用于PMSM中。將PMSM本身作為參考模型，PMSM電流方程作為可調(diào)模型和適應(yīng)機(jī)制，為獲得更精確的轉(zhuǎn)速，將分?jǐn)?shù)階理論應(yīng)用于自適應(yīng)律中。仿真結(jié)果表明，相比于整數(shù)階情形，在分?jǐn)?shù)階情形下，電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)能夠有較好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和較好的魯棒性。