李亞飛，周 懿，胡 鉞，高 政

（船舶動(dòng)力工程技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢430063；武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢430063）

1687年牛頓提出，作一維剪切流動(dòng)的水，其剪切應(yīng)變速率與剪切應(yīng)力的大小成正比，這個(gè)規(guī)律就是后來著名的牛頓內(nèi)摩擦定律。在流變學(xué)中，流變性符合這一規(guī)律的流體被稱作牛頓流體；反之，則為非牛頓流體。相比于牛頓流體，非牛頓流體在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)乃至醫(yī)學(xué)研究中出現(xiàn)得更為廣泛，比如石油鉆井采出液的集輸處理、聚合物塑料制品加工、人體血液在血管中的流動(dòng)等。上述這些情形都涉及非牛頓流體在管道內(nèi)的流動(dòng)問題，因此非牛頓流體在各種管道環(huán)境下的流動(dòng)機(jī)理具有充分的研究價(jià)值。1867年，J.C.麥克斯韋提出線性黏彈性方程，開始了非牛頓流體力學(xué)的研究。但由于黏彈性流體問題具有的復(fù)雜性，一直到20世紀(jì)50年代后相關(guān)研究領(lǐng)域才得到較為迅速的發(fā)展，并逐漸成為一門獨(dú)立的學(xué)科[1]。相比牛頓流體在管道流動(dòng)領(lǐng)域已較為成熟的研究成果，關(guān)于非牛頓流體的研究還有很大的發(fā)展空間。針對(duì)非牛頓流體的研究方法主要包括實(shí)驗(yàn)法、解析解法與數(shù)值解法。實(shí)驗(yàn)法最為直接，可檢驗(yàn)其他方法的正確性，但是成本較高且實(shí)驗(yàn)結(jié)果的普遍性不佳。解析解法是理論上最為準(zhǔn)確理想的研究方法，通過建立合適的微分方程組，使用純數(shù)學(xué)方法得出方程的精確解；但對(duì)于非牛頓流體復(fù)雜的流動(dòng)情況來說，求解的難度過大。數(shù)值解法則是應(yīng)用計(jì)算機(jī)將物理場離散化，之后將流體微分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程并求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的參數(shù)值，屬于一種近似解法[2]。由于數(shù)值解法容易獲得且能保證足夠的求解精度，其已經(jīng)成為研究非牛頓流體問題最為常用的方法。

國外學(xué)者對(duì)非牛頓流體的研究開始最早。在圓管道方面，CHEBBI[3]使用積分邊界層方法，分析了冪律流體層流在圓管入口段與充分發(fā)展區(qū)的流動(dòng)特性，獲得了與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度較高的結(jié)果。對(duì)于非圓管道，GUCKES[4]使用有限差分法求解冪律流體和賓漢流體，給出了2種流體在偏心圓環(huán)管中流動(dòng)的平均體積流率。MITSUISHI等人[5]使用高聚合物非牛頓流體作為實(shí)驗(yàn)材料，給出了偏心圓環(huán)管中非牛頓流體流速與壓降之間的關(guān)系。

國內(nèi)對(duì)于非牛頓流體管內(nèi)流動(dòng)的研究起步較晚，成果也較國外少。姜篤志[6]分析了非牛頓流體在管道內(nèi)流變性的一般規(guī)律并建立模型。楊旭等人[7]分析了非牛頓流體的本構(gòu)及流動(dòng)規(guī)律，基于空間分?jǐn)?shù)階微積分方法，建立了分?jǐn)?shù)階非牛頓流體本構(gòu)模型，使用分?jǐn)?shù)階的階數(shù)大小來反映非牛頓流體流動(dòng)的空間記憶性強(qiáng)弱。

經(jīng)過以上分析可以看出，中國對(duì)非牛頓流體管內(nèi)流動(dòng)這一研究領(lǐng)域的研究不太成熟，大多數(shù)停留在對(duì)非牛頓流體管內(nèi)流動(dòng)進(jìn)行基本的數(shù)值模擬這一階段，而缺少對(duì)于模擬條件的多樣化拓展以及對(duì)結(jié)果數(shù)據(jù)之間關(guān)系更加詳盡的討論。關(guān)于非牛頓納米流體管內(nèi)流動(dòng)這一新興領(lǐng)域更是空白。又考慮到非牛頓流體管內(nèi)流動(dòng)在工業(yè)上的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步進(jìn)行相關(guān)方面的數(shù)值研究是很有必要的。

本文使用COM SOL Multiphysics這一軟件作為計(jì)算平臺(tái)，采用有限元分析法對(duì)非牛頓流體流經(jīng)不同管道時(shí)體現(xiàn)出的流動(dòng)特性進(jìn)行數(shù)值模擬研究。

1 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模擬方法

1.1 控制方程組

一切的流體流動(dòng)過程，都以以下3個(gè)基本的物理學(xué)原理為基礎(chǔ)：質(zhì)量守恒定律，牛頓第二定律與能量守恒定律。將這些物理學(xué)用于構(gòu)建流動(dòng)模型，將會(huì)導(dǎo)出一組方程，即連續(xù)性方程、動(dòng)量方程與能量方程。這些方程是上述物理學(xué)原理的數(shù)學(xué)描述，本文不討論傳熱，所以不引入能量守恒方程，質(zhì)量守恒定律（連續(xù)性方程）：

式（1）表示的是瞬態(tài)三維可壓流體流動(dòng)的連續(xù)性方程，本文所分析的流體流動(dòng)處于穩(wěn)態(tài)且不可壓縮，密度ρ不會(huì)隨著時(shí)間的變化而改變，所以，流體流動(dòng)的數(shù)學(xué)描述為：

式（3）（4）（5）是對(duì)于任何流體都成立的動(dòng)量守恒方程，是微元體內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)于事件的變化率等于外界作用于該微元體上的各種力的和。簡稱動(dòng)量方程，也稱納維斯托克斯（N-S）方程。

1.2 本構(gòu)方程

本構(gòu)方程是反映物料宏觀性質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，又被稱為流變狀態(tài)方程或是流變方程。在流變學(xué)中，本構(gòu)方程是在某些假定條件下，對(duì)流體或彈性體的材料力學(xué)行為的數(shù)學(xué)描述，可以用來區(qū)分流體類型。前述的牛頓內(nèi)摩擦定律即最簡單的流體本構(gòu)方程。本構(gòu)方程與連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程一起構(gòu)成封閉的方程組，用于求解流體的流動(dòng)特性。

在本文仿真中使用的冪律流體的本構(gòu)方程式為：

式（6）中：m為黏稠系數(shù)，Pa·sn，表示物料的黏稠程度；n為冪律流變指數(shù)（簡稱冪律指數(shù)），為無量綱量，表示非牛頓流體的流動(dòng)特性偏離牛頓流體的程度（n=1時(shí)為牛頓流體）。

1.3 非牛頓流體管道流動(dòng)模型

1.3.1 流體切應(yīng)力

對(duì)于圓形管道內(nèi)的流體流動(dòng)，非管壁處流體剪應(yīng)力?與管壁處剪應(yīng)力?w的取值滿足下列均勻流動(dòng)方程式：

式（7）（8）中：Δp為管道壓降；r為圓柱坐標(biāo)系中的r方向坐標(biāo)位置；L為管道長度；R為管道半徑。

1.3.2 剪切應(yīng)變速率

剪切應(yīng)變速率描述的是流體的剪切流動(dòng)，定義為單位時(shí)間的剪切應(yīng)變變化：此選用的是COMSOL Multiphysics中的Laminar flow求解器模塊。這個(gè)模塊內(nèi)置了許多流動(dòng)的基本物理參數(shù)，可以在這些參數(shù)的基礎(chǔ)上結(jié)合前文所述的數(shù)學(xué)模型定義更多仿真所需要的變量。

式（9）中：γ為剪切應(yīng)變。

值得注意的是，剪切應(yīng)變速率常與速度梯度混淆。實(shí)際上二者是不同的概念。速度梯度是流體的速度對(duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，用du/dy來表示。在數(shù)學(xué)上，二者的數(shù)值有時(shí)相等，這是因?yàn)橐话闼俣忍荻确希?/p>

但二者的物理意義并不相同，且數(shù)值上有時(shí)并不相等（如流體在同軸圓筒之間的流動(dòng)，此時(shí)有角速度的影響）。

1.3.3 廣義雷諾數(shù)

對(duì)于圓管內(nèi)非牛頓流體流動(dòng)的雷諾數(shù)Re計(jì)算，目前多是仿照牛頓流體，近似按照黏度或者對(duì)比牛頓流體壓降的公式計(jì)算其廣義雷諾數(shù)Re′：

式（11）中：D為圓管直徑；n為流變指數(shù)，不同流體二者的取值不同；k為流變系數(shù)。

對(duì)于牛頓流體來說，n′=1，k′=μ。所以，牛頓流體雷諾數(shù)為：

1.4 求解器介紹

本次模擬使用的COM SOL Multiphysics是一款功能強(qiáng)大的多物理場仿真軟件，可以對(duì)多個(gè)領(lǐng)域的物理過程進(jìn)行模擬計(jì)算。本文研究的是非牛頓流體在管道內(nèi)的流動(dòng)特性，因上述均勻流動(dòng)方程式的推導(dǎo)并沒有涉及流體的性質(zhì)與流動(dòng)狀態(tài)，所以該方程式適用于所有的流體與流動(dòng)狀態(tài)。

1.5 數(shù)值計(jì)算方法

本文涉及的數(shù)值計(jì)算使用的是有限元分析法（Finite elementmethod，F(xiàn)EM）。它的基本思路為：一個(gè)物體或系統(tǒng)被分解為由多個(gè)相互聯(lián)結(jié)的、簡單、獨(dú)立的點(diǎn)組成的幾何模型。在這種方法中這些獨(dú)立的點(diǎn)的數(shù)量是有限的，因此被稱為有限元。由實(shí)際的物理模型中推導(dǎo)出來的平衡方程式被使用到每個(gè)點(diǎn)上，由此產(chǎn)生了一個(gè)方程組，這個(gè)方程組可以用線性代數(shù)的方法求解。

1.6 網(wǎng)格局部加密與獨(dú)立性驗(yàn)證

在數(shù)值仿真過程中，網(wǎng)格的數(shù)量與大小與仿真結(jié)果的精度密切相關(guān)。更多的網(wǎng)格數(shù)目雖然能夠提高結(jié)果的精度，但是也意味著要耗費(fèi)更多的計(jì)算機(jī)算力資源。經(jīng)衡量，使用COMSOLMultiphysics中的Meshrefine功能對(duì)模型的關(guān)鍵計(jì)算區(qū)域進(jìn)行局部網(wǎng)格加密，模型的其他部分則保持相對(duì)較大的網(wǎng)格密度。

局部加密效果如圖1所示。

圖1 網(wǎng)格局部加密效果圖

此外，為了保證求解結(jié)果的精度，每組仿真計(jì)算時(shí)都需要多次調(diào)整網(wǎng)格的數(shù)量，檢查計(jì)算結(jié)果是否因?yàn)榫W(wǎng)格密度不同而出現(xiàn)較大的誤差。經(jīng)過調(diào)整，確認(rèn)每組仿真的網(wǎng)格數(shù)量保持在200萬～400萬之間為宜，這時(shí)求解精度已經(jīng)足夠。

2 仿真結(jié)果及分析

2.1 物理模型

2.1.1 幾何模型

本組仿真選用了2種不同截面的長直管道，分別為圓形截面、矩形截面管道。這2種截面管道的形狀示意與幾何尺寸數(shù)據(jù)如圖2和表1所示，管道整體如圖3所示。

圖2 管道截面形狀與尺寸示意圖

表1 管道幾何尺寸數(shù)據(jù)

圖3 管道整體示意圖

非牛頓流體從管道的一端流入，在管道內(nèi)進(jìn)行流動(dòng)過程后，從另一端流出。

此后的時(shí)間里，王施凱仿佛突然被打通了任督二脈，開始發(fā)憤圖強(qiáng)，努力學(xué)習(xí)……過了一個(gè)春·天一個(gè)夏天后，期末考試他竟真的考到了班級(jí)中游。王施凱本人的說法是有天晚上起夜，發(fā)現(xiàn)老爸在看他小時(shí)候的照片和獎(jiǎng)狀，一時(shí)間激發(fā)了奮斗的意志。當(dāng)然，大老爺們半夜抹眼淚這種事情他是不會(huì)告訴趙明月的。趙明月也沒多問，心照不宣地繼續(xù)為他講題。

2.1.2 流體性質(zhì)

本組仿真選用的非牛頓流體為冪律流體（冪律指數(shù)n≠1），其黏度與剪切應(yīng)變速率的關(guān)系遵循下式：

其余的流動(dòng)特性參數(shù)列如表2所示。

表2 不同截面管仿真中非牛頓流體的流動(dòng)特性參數(shù)值

2.2 邊界條件

選用如下邊界條件：①進(jìn)口邊界條件。進(jìn)口速度uin，取值固定為0.15m/s；進(jìn)口溫度Tin為293.15K（20℃）。②出口邊界條件。出口壓力為0。③壁面邊界條件。無滑移邊界條件，即壁面處的流體速度為0；常壁溫邊界，壁面溫度TW為333.15K（60℃）。④其他。流體不可壓縮，所有管道區(qū)域內(nèi)流體處于層流狀態(tài)。

2.3 冪律指數(shù)對(duì)非牛頓流體管道流動(dòng)的影響

對(duì)于冪律流體，當(dāng)冪律指數(shù)n＜1時(shí)，流體表現(xiàn)出剪切稀化效應(yīng)；當(dāng)冪律指數(shù)n＞1時(shí)，流體表現(xiàn)出剪切增稠效應(yīng)。為了探究冪律指數(shù)n對(duì)冪律流體在管道中流動(dòng)特性的影響，控制進(jìn)口速度uin=0.15m/s，管截面當(dāng)量直徑de=0.1m，管長l=0.8m，參數(shù)相同，冪律流體n取0.6～1.4，對(duì)圓形截面管道內(nèi)的非牛頓冪律流體進(jìn)行流動(dòng)特性的仿真。不同冪律指數(shù)下非牛頓冪律流體的速度場分布如圖4所示。

圖4展示了不同冪律指數(shù)條件下冪律流體在管道各個(gè)橫截面上的速度場分布。觀察靠近管道入口段的速度場橫截面，可以發(fā)現(xiàn)隨著n的增大，流體的速度入口段長度越來越短。這是因?yàn)楫?dāng)冪律指數(shù)n＞1時(shí)，流體表現(xiàn)出剪切增稠效應(yīng)，而且該效應(yīng)會(huì)隨著n的增大而得到強(qiáng)化（剪切稀化效應(yīng)同理）。剪切增稠效應(yīng)下的流體流動(dòng)性降低，速度梯度小，更容易達(dá)到充分發(fā)展?fàn)顟B(tài)；反之，剪切稀化效應(yīng)下的流體流動(dòng)性提高，速度梯度大，速度入口段長。

此外，冪律指數(shù)也對(duì)流體充分發(fā)展區(qū)最大速度有一定影響，兩者呈正相關(guān)關(guān)系。上述結(jié)論均可以從MUKHERJEE的研究中得到驗(yàn)證。

圖4 不同冪律指數(shù)下非牛頓冪律流體的速度場分布（單位：m/s）

2.4 截面形狀對(duì)非牛頓流體管道流動(dòng)的影響

保持進(jìn)口速度uin=0.15m/s，冪律指數(shù)n=0.6，管截面當(dāng)量直徑de=0.1m，管長l=0.8m，參數(shù)相同，對(duì)不同截面管道內(nèi)的非牛頓流體進(jìn)行流動(dòng)特性仿真。

2.4.1 截面形狀對(duì)速度入口段長度的影響

在本組仿真中，在各管道的軸向中心截面上繪制速度云圖，觀察非牛頓流體在不同截面管道中的速度入口段長度。不同截面形狀管道軸向中心截面速度云圖如圖5所示，從圖5可以看出，流體在管道入口段形成速度邊界層，邊界層逐漸向截面中心流動(dòng)匯集，最后消失形成穩(wěn)定的流態(tài)。矩形形狀的管道內(nèi)非牛頓流體的速度入口段長度比圓形管道的長。這說明速度入口段的長度與管道截面形狀有關(guān)。截面為圓形的管道內(nèi)的非牛頓流體更早到達(dá)充分發(fā)展階段，流態(tài)更為穩(wěn)定。

圖5 不同截面形狀管道軸向中心截面速度云圖（單位：m/s）

2.4.2 截面形狀對(duì)速度場分布的影響

為了更直觀地觀察出管道內(nèi)的速度場分布情況，重新選取數(shù)個(gè)沿管道軸向等距分布的管道橫截面來繪制速度云圖。通過觀察每個(gè)截面云圖的變化過程，可以得出非牛頓流體的速度沿徑向與軸向發(fā)展的情況。兩種截面形狀管道的橫截面速度場分布如圖6所示，從圖6可以看出，流體在管壁處速度為0，最大速度中心位于各管道的橫截面幾何中心區(qū)域，但并不是一開始就在中心區(qū)域達(dá)到最大速度。在2種管道靠近入口段的截面，可看到速度最大值區(qū)域分散在截面的幾何中心周圍。對(duì)于矩形截面管道來說這種現(xiàn)象更為明顯，云圖中能夠看到入口段截面形成兩三個(gè)速度中心區(qū)域，由此可見，速度最大區(qū)域首先出現(xiàn)在靠近管道截面角區(qū)的位置，之后在向軸向發(fā)展的同時(shí)向徑向截面幾何中心合并，最終在中間達(dá)到流動(dòng)速度峰值。

3 結(jié)論

本文通過COMSOLMultiphysics平臺(tái)，使用有限元法與局部優(yōu)化網(wǎng)格技術(shù)建立了非牛頓流體在不同橫截面管道中的流動(dòng)模型。

圖6 兩種截面形狀管道的橫截面速度場分布（單位：m/s）

通過以上數(shù)值模型，分析了非牛頓流體在管道內(nèi)的速度分布，并討論了流體流動(dòng)特性參數(shù)之間的關(guān)系，以及管道截面形狀和冪律指數(shù)對(duì)流體流動(dòng)性能的影響。具體總結(jié)如下：對(duì)于冪律流體，更高的冪律指數(shù)n值將使流體更多表現(xiàn)出剪切增稠效應(yīng)，進(jìn)一步使得速度入口段長度逐步減短；反之，則表現(xiàn)出剪切稀化效應(yīng)，增長速度入口段的長度。在相同的邊界條件下，橫截面為矩形的管道中流體的速度入口段長度最長，隨后為圓形截面管道；管道內(nèi)流體流動(dòng)的發(fā)展從接近截面角區(qū)的位置開始，之后再向管道截面幾何中心處發(fā)展。