吳明科

（西南科技大學(xué) 城市學(xué)院，四川 綿陽621000）

1 引言

內(nèi)射模是同調(diào)代數(shù)中非常重要的模類，本文通過導(dǎo)出函子Ext以及相對(duì)w-子模的概念，推廣內(nèi)射模的定義，建立w-內(nèi)射模。通過討論將指出w-內(nèi)射模是內(nèi)射模的真推廣，并利用w-內(nèi)射模的概念建立w-Noether環(huán)的一個(gè)等價(jià)刻畫.在本文討論中如無特殊說明，提到的環(huán)均假設(shè)是有單位元的交換環(huán)。

2w-內(nèi)射模

設(shè)M是R-模，I是R的w-理想，如果 Ext1（RR/I，M ）=0，則稱M為w-內(nèi)射模。由于M為內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)R的任意理想I有 Ext1（RR/I，M ）=0，從而得出內(nèi)射模是w-內(nèi)射模。

引理1：設(shè)M是R-模，A是M的子模。那么A為M的相對(duì)w-子模當(dāng)且僅當(dāng)GV-tor（M/A）=0。

定理1：設(shè)M為R-模，則M為w-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的循環(huán)GV-無撓模模N， Ext（1RN，M ）=0。

證明：設(shè)M為w-內(nèi)射模，N為GV-無撓的循環(huán)模，顯然有N?R/I，其中I是R的w-理想。

由定義有 Ext（1RR/I，M ）=0，所以 Ext1（RN，M ）=0；反之，設(shè)I是R的w-理想，由引理1有R/I是GV-無撓的，而，則R/I是循環(huán)模，所以 Ext1（RR/I，M ）=0，所以，M為w-內(nèi)射模.

定理2：設(shè)M為R-模，則以下等價(jià)。具體為：①M(fèi)為w-內(nèi)射模；②任意同態(tài)f∶A→M都可以擴(kuò)張為同態(tài)g∶B→M，其中A是B的相對(duì)w-子模，B/A是循環(huán)模；③同態(tài)f∶I→M都可以擴(kuò)張為同態(tài)g∶R→M，其中I是R的w-理想。

證明①?②。根據(jù)條件建立如下的正合列0→A→B→B/A→0。其中，A是B的相對(duì)w-子模，且B/A是循環(huán)模，從而有長(zhǎng)正合列

由引理1知，B/A是GV-無撓的，根據(jù)定理1可以得到Ext1（RB/A ，M ）=0，所以有正合列0→HomR（B，M）→HomR（A，M）→0，顯然每個(gè)同態(tài)f∶A→M都可擴(kuò)張為同態(tài)g∶B→M。

②?③，取A=I，B=R，顯然是可證的。

③?①，建立正合列0→I→R→R/I→0，其中I是R的w-理想，所以得到長(zhǎng)正合列0→HomR（R/I，M）→HomR（R，M）→HomR（I，M）→ Ext（1RR/I，M ）→Ext1（RR，M）→…，因?yàn)?Ext（1RR， M） =0，所以HomR（R，M）→HomR（I，M）→Ext（1RR/I，M ）→0，根據(jù)條件同態(tài)f∶I→M可以擴(kuò)張為同態(tài)g∶R→M，顯然有正合列HomR（R，M）→HomR（I，M）→0，所以 Ext（1RR/I，M ）=0，則M為w-內(nèi)射模。

通過上面的討論，從模擴(kuò)張的角度建立的等價(jià)定義如下所示。

設(shè)M為R-模，任意給出的模與同態(tài)圖形如圖1所示。

圖1 任意模與同態(tài)圖形

恒存在模同態(tài)h∶B→M，使圖1完備為一交換圖，則稱M為w-內(nèi)射模，其中底行是正合的，并且Im（g）是B的相對(duì)w-子模，B/Im（g）是循環(huán)模。

從正合列的角度來看，w-內(nèi)射模有以下結(jié)論。

定理4：設(shè)M為R-模，則以下等價(jià)。具體為：①M(fèi)為w-內(nèi)射模；②任意正合列0→M→B→C→0都是分裂的，其中C為GV-無撓的循環(huán)模；③對(duì)任意的正合列有正合列其中，C是循環(huán)的GV-無撓模。

圖2 正合交換圖

由引理1知GV-tor[B/Im（f）]，所以B/Im（f）是GV-無撓模。圖2中下行是正合列，因此上行也是正合列，所以由于上行是分裂的，則存在同態(tài)φ∶L→M，滿足φa=1E。令g=φβ，則有g(shù)f=h，因此M為w-內(nèi)射模。

①?③，由定理3顯然成立，已經(jīng)了解內(nèi)射模是可除模，下面證明w-內(nèi)射模也是可除模。

定理5：如果M為R上的w-內(nèi)射模，則M是可除模。

證明，設(shè)a是R的一個(gè)非零因子，令I(lǐng)=（a），顯然可證I是R的w-理想。任取x∈M，并建立同態(tài)映射f∶I→M，其中f（ra）=rx。由于M是w-內(nèi)射模，所以該同態(tài)f可擴(kuò)張到R上，即有同態(tài)g∶R→M，使得，則有因此M是可除模。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，設(shè)M是R-模，I是R的主理想，如果對(duì)任意同態(tài)f∶I→M都可以擴(kuò)張到R上，則稱M為P-內(nèi)射模。

引理2：設(shè)R是整環(huán)，M是R-模，如果M是w-內(nèi)射模，則M是P內(nèi)射模。

特別之處在唯一分解整環(huán)，可進(jìn)一步得到以下內(nèi)容。

定理6：設(shè)R是唯一分解整環(huán)，M是R-模，則M是P-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)M是w-內(nèi)射模。

證明，設(shè)M是P-內(nèi)射模，I是R的w-理想，根據(jù)文獻(xiàn)[2]得到I是主理想，利用P-內(nèi)射模的定義，對(duì)于任一同態(tài)映射f∶I→M都可擴(kuò)張到R上，因此M是w-內(nèi)射模；反之，由引理2顯然成立。

定理7：設(shè)R是唯一分解整環(huán)，則每個(gè)w-內(nèi)射模是內(nèi)射模的充分必要條件是R是Dedekind環(huán)。

證明：先證必要性，設(shè)M是P-內(nèi)射模，根據(jù)定理6在唯一分解環(huán)R上M是w-內(nèi)射模，由條件M是內(nèi)射模，根據(jù)文獻(xiàn)[2]得到R是Dedekind環(huán)。再證必要性，設(shè)R是Dedekind環(huán)，M是w-內(nèi)射模，根據(jù)定理6，M是P-內(nèi)射模，利用文獻(xiàn)[6]得到M是內(nèi)射模。

在唯一分解整環(huán)的條件下，建立定理7的逆否命題如下所示。

定理7'：設(shè)R是唯一分解整環(huán)，則存在一個(gè)w-內(nèi)射模不是內(nèi)射模的充分必要條件是R不是Dedekind環(huán)。

由于作為唯一分解整環(huán)，又不是Dedekind環(huán)的例子是存在的，例如R=Z[x]，因此在R=Z[x]上，必然存在一個(gè)w-內(nèi)射模不是內(nèi)射模，這樣便證明了w-內(nèi)射模是內(nèi)射模的真正推廣。

3 w-Noether環(huán)的一個(gè)等價(jià)刻畫

w-Noether環(huán)是經(jīng)常討論的一種環(huán)類，下面將利用w-內(nèi)射模在直和方面的性質(zhì)，建立w-Noether環(huán)的一個(gè)等價(jià)刻畫.

引理3：設(shè)M是R-模，M=A⊕B，則A是M的相對(duì)w-子模當(dāng)且僅當(dāng)B是GV-無撓模。

引理5：設(shè)有模同態(tài)f∶M→N，其中模M是有限型的，且M=（AM）w，A是有限生成的，則

定理8：設(shè)R為環(huán)，則以下各條等價(jià)。具體為：①R為w-Noether環(huán)；②任意多個(gè)GV-無撓的w-內(nèi)射模的直和是w-射內(nèi)射模；③可數(shù)無限多個(gè)GV-無撓的w-內(nèi)射模的直和是w-內(nèi)射模。

通過上面的定理8的討論，利用w-內(nèi)射模在直和方面的性質(zhì)建立w-Noether環(huán)的一個(gè)等價(jià)刻畫。