趙中姿, 馬如云

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

1 引 言

本文研究四階常微分方程非線性邊值問題

u″″=rf(t,u(t)), 0

u′(1)=u″′(1)+ψ(u(1))=0

(1)

正解的存在性,其中r>0是一個參數(shù),f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))且ψ(s)=sc(s).

近年來,對帶各種邊界條件的二階常微分邊值問題已有廣泛研究[1-6]，對四階邊值問題的研究則相對較少.四階邊值問題的實際應用背景是彈性梁的彎曲平衡.也有學者用不同方法研究了不同邊界條件下的梁方程[7-18]解的存在性.例如, Li等[12]研究了下列四階邊值問題

在該文中,邊界條件是非線性的,且若h≡0則模型的一個端點為簡單支撐, 另一個端點為滑動夾緊梁.對于兩端均為簡單支撐的彈性梁的研究可參見文獻[13-15].Cabada等[16]和Yang等[17]則研究了一端嵌入、另一端滑動夾緊的彈性梁.最近,Bouteraa等[18]通過錐上不動點定理,在要求f,ψ均非減的條件下得到了問題(1)解的存在性.當問題(1)中ψ≡0時, 邊界條件變?yōu)?/p>

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)=0

傳統(tǒng)的活動中抽獎方式是利用“抽獎箱”抽獎，玩法低端而無趣，沒有新鮮感可言，并且與圖書館的主營業(yè)務似乎也沒有牽連，也毫無特色，即使讀者參加，體驗性也不高。這種不能將“抽獎”與“讀書”相聯(lián)系，某種程度上說使得圖書館舉辦的活動的意義離讀者越來越遠。浙江紹興圖書館和瀘西縣圖書館他們進行了大膽探索和創(chuàng)新，在圖書館活動中推出了微信抽獎平臺，取得了很好的效果，他們的做法值得借鑒。

(H1)f:[0,1)×[0,∞)→[0,∞)連續(xù)且存在常數(shù)a,b∈(0,∞)使得f(t,u)=au+o(u),u→0+對于t∈[0,1]一致成立,f(t,u)=bu+o(u),u→∞對于t∈[0,1]一致成立;

(H2) 當t∈[0,1]且u∈(0,∞)時,f(t,u)>0;

(H3) 存在常數(shù)a0∈(0,∞)使得f(t,u)≥a0u,(t,u)∈[0,1]×[0,∞);

(H4)c∈C([0,∞),[0,12)∪(12,∞))且存在常數(shù)a1,b1∈(0,∞)使得ψ(s)=a1s+o(s),s→0+,ψ(s)=b1s+o(s),s→∞.

研究正解集的全局結(jié)構(gòu)要用到下列特征值問題的主特征值λ1,k：

u″″(t)=λku(t),t∈(0,1),

以及問題

u″″(t)=0,t∈(0,1),

引理3.5Tλa1(P{0})?intP.

這意味著在t=0處梁嵌入,另一端t=1處滑動支撐.基于以上文獻,我們在下列條件下研究問題(1)正解集的全局結(jié)構(gòu):

的Green函數(shù)及其性質(zhì).

2 正映射的分歧定理

設E是一個實的Banach空間,定義范數(shù)‖·‖.設K是E中的一個錐.A是一個非線性映射,A:[0,∞)×K→E.若A([0,∞)×K)?K,則稱A是正的.若A是連續(xù)的，且將[0,∞)×K中的有界子集映成E中的前緊致子集,則稱A是K-全連續(xù)的.

若一個正線性算子V滿足A(λ,u)≥λV(u),(λ,u)∈[0,∞)×K,則稱V在E上是對于A的線性弱函數(shù).若B是E上的一個連續(xù)線性算子,定義r(B)為B的譜半徑.定義本征值集合

ck(B)={λ∈[0,∞):?x∈K,‖x‖=1,

x=λBx}.

引理2.1[7]假設以下兩條成立:

2018年CSLP的主題為“圖書館搖滾”，為早教項目、兒童項目、青少年項目和成人項目四個子項目。在總體策劃上具有統(tǒng)一的項目設計，注重多樣性和包容性，關注弱勢群體。利用網(wǎng)站主頁、社交媒體等途徑進行整體推廣。此外，各個圖書館也做了推廣，如新澤西州夏季閱讀委員會的CSLP+Pinterest，紐約州立圖書館的CSLP+數(shù)字圖書館myON，奧馬哈和道格拉斯縣圖書館的CSLP+現(xiàn)場音樂節(jié)+Flickr，喬普林公共圖書館的CSLP+有聲讀物。

那么，存在

Dk(A)={(λ,u)∈[0,∞)×K:u=A(λ,u),u≠0}∪{(r-1(B),0)}

的一個無界連通分支C，使得{(r-1(B),0)}∈C.進一步,若A有一個線性弱函數(shù)V且存在一個(μ,y)∈(0,∞)×K使得‖y‖=1，μVy≥y,則C在Dk(A)∩([0,μ]×K)中.

3 正特征值

考慮Y=C[0,1]在最大值范數(shù)

根據(jù)均勻性和代表性原則，采用5點取樣法采集土壤樣品。采集土樣時，撥去土壤表面覆蓋的雜物，取0～20 cm耕層土壤1 kg。所有土樣由云南瑞升煙草技術(集團)有限公司檢測。

第二天上班，葛局長眼里布滿血絲，工作也集中不了心思。中午，葛局長提前下班了。葛局長沒回家，給小蟲打了個電話，約小蟲到川淮土菜館。葛局長點了幾道菜，又從后備箱里拿了瓶五糧液。

引理3.1若c∈C([0,∞),[0,12)∪(12,∞)),則問題(1)對應的齊次問題

u″″(t)=0, 0≤t≤1,

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)+ψ(u(1))=0

只有平凡解.

(ii)A:[0,∞)×K→E是K-全連續(xù)且正的,A(λ,0)=0,λ∈R;A(0,u)=0,u∈K且A(λ,u)=λBu+F(λ,u)，其中B:E→E是E上的一個強正的線性緊算子且r(B)>0,F:[0,∞)×K→E滿足‖F(xiàn)(λ,u)‖=o(‖u‖),‖u‖→0在λ中局部一致.

班級管理的過程是一種愛的表現(xiàn)，但是這并不意味著在管理中，一味姑息學生，沒有原則地溺愛學生。沒有規(guī)矩，不成方圓，在班級管理中也是如此。因此，教師要在給予關愛的同時，也要嚴格要求學生，讓學生在嚴格地管理環(huán)境中提升自我。

對于任意t∈[0,1],當c(t)≠12時,c1=c2=c3=c4=0,問題(1)對應的齊次問題只有平凡解,即問題(1)是非共振的,因而可以寫成等價的積分形式.

引理3.2[18]假設y∈Y.若u∈C4[0,1]，則邊值問題

在教育閱讀中汲取精神營養(yǎng)。朱永新說：“一個人的精神發(fā)育史就是他的閱讀史。”一個班主任的專業(yè)成長不可能完全靠實踐。尤其對于剛剛上崗的青年班主任，怎樣才能盡快掌握班主任工作的基本方法和技巧，并在工作中提升專業(yè)素養(yǎng)呢？這就離不開閱讀，閱讀是借助外力，站在前人的肩膀上構(gòu)建自己的專業(yè)智慧。

u″″(t)=y(t), 0≤t≤1,

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)+ψ(u(1))=0

有唯一解

其中

且

引理3.3[18]對于任意(t,s)∈[0,1]×[0,1]有

引理3.4若y∈Y,y≥0，則邊值問題

u″″(t)=y(t), 0

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)+ψ(u(1))=0

的唯一解u(t)是非負的,滿足

安全管理機制的構(gòu)建目的在于最大限度降低網(wǎng)絡破壞行為對計算機內(nèi)數(shù)據(jù)資料的影響，同時通過這一管理機制減弱系統(tǒng)內(nèi)部的沖突，提高與外部信息網(wǎng)絡交流的安全性。故而，計算機使用者需要與系統(tǒng)管理員共同實施對計算機的防護工作，才能夠更好地保護網(wǎng)絡信息安全。

其中m=5/42.

分以下三種情況討論.

納入中小板指數(shù)：蘇泊爾、太極股份、榮盛石化、涪陵榨菜、瑞康醫(yī)藥、木林森、凱萊英、深南電路、盈趣科技、華西證券

另一方面,由引理3.3可知

作者還指出，甌語以其獨有的特點，在吳語中占有特殊的地位，因此吸引了眾多語言學家尤其是溫籍語言學家的研究興趣，以鄭張尚芳、溫端政、潘悟云、游汝杰、吳安其等為代表的溫籍語言學家出版了許多高質(zhì)量的學術論著。[2]但是，缺少研究甌越語語匯的論著，這和甌越語語匯的豐富性很不適應。

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)+ku(1)=0

u″″(t)=λa1u(t), 0

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)+a1u(1)=0,

定義算子Tλa1,T1,T2a1:P→Y

（3）原對流部左右側(cè)水冷壁和各個管屏管束的吊桿重新設計，左右側(cè)水冷壁剛性梁相應位置增加筋板進行局部加強。水冷壁吊桿為φ60，管束吊桿為φ50。

(T2a1u)(t)=a1u(1)φ(t),

Tλa1=λa1T1+T2a1.

下文證明算子Tλa1:P→P是全連續(xù)的且Tλa1(P{0})?intP.

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)=0

證明u∈(P{0})意味著u>0.則a1u(1)≥0.進一步,對于u∈(P{0})有

(Tλa1u)″″(t)=λa1u>0,t∈[0,1],

2.2.1 我國群眾體育研究的高產(chǎn)作者分析 表1為我國群眾體育研究的高產(chǎn)作者統(tǒng)計表，從表1中可以發(fā)現(xiàn)，我國群眾體育研究發(fā)文量最多的作者是上海大學的楊小明，然而發(fā)文量也僅為6篇，這說明我國學者對于群眾體育的研究力度還遠遠不夠。

(Tλa1u)(0)=(Tλa1u)′(0)=(Tλa1u)′(1)=0,

(Tλa1u)″′(1)+a1u(1)=0.

“天色已晚，回去吧?！苯洗沽?，楊公子一身白衣在前，我走在他身后，耳邊飄來戲臺上的唱曲“錯！錯！錯！”

ma1u(1)φ(1)≥m(Tλa1u)(1)=

紅色文化作為一種資源，既包括物質(zhì)資源，也包括精神資源。紅色文化的物態(tài)類是指中國共產(chǎn)黨在革命斗爭與建設過程中所形成的革命精神、革命傳統(tǒng)、革命思想等文化的物質(zhì)載體與物態(tài)表現(xiàn)，其表現(xiàn)形式多樣，有在革命戰(zhàn)爭年代為革命事業(yè)浴血奮戰(zhàn)、做出了偉大貢獻，甚至犧牲生命的革命前輩與革命先烈，作為歷史人物，他們的革命事跡也已融入紅色文化；有革命前輩與革命先烈在革命與戰(zhàn)爭年代使用過的物品以及居住、工作過的舊址，這些物品與舊址因其主人也成為紅色文化的重要組成部分；此外，革命與建設年代發(fā)生的重大事件與重要活動等也屬于紅色的范疇。

m‖Tλa1u‖.

因此Tλa1(P{0})?intP.

引理3.6Tλa1:P→P是全連續(xù)的.

證明 對于t∈[0,1],當n→∞時，un(t)→u(t)于P,則

這意味著當n→∞時Tλa1un(t)→Tλa1u(t).由Heine定理,Tλa1是連續(xù)的且在P中一致有界.

當u∈P,t1,t2∈[0,1]時，對任意的ε>0,存在δ>0,使得當|t2-t1|<δ時(不妨令t1

|Tλa1u(t2)-Tλa1u(t1)|=

a1u(1)(φ(t2)-φ(t1))|≤

因此Tλa1是等度連續(xù)的.由Arzela-Ascoli定理可知,Tλa1是全連續(xù)的.

由引理3.5,引理3.6及Kreun-Rutman定理可知,Tλa1有一個正特征值λ1,a1,φ1,a1(t)>0是λ1,a1對應的特征函數(shù). 同理可知,線性特征值問題

u″″(t)=λb1u(t), 0

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)+b1u(1)=0

有一個正特征值λ1,b1,φ1,b1(t)>0是λ1,b1對應的特征函數(shù).

4 主要結(jié)果

定理4.1假設(H1)～(H4)成立.若下列條件之一成立：

則問題(1)至少存在一個正解.

推論4.2假設(H1)～(H4)成立.若下列條件之一成立：

則四階非線性常微分方程邊值問題

u″″=f(t,u(t)), 0

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)+ψ(u(1))=0

(2)

至少存在一個正解.

u″″=f(u(t)), 0

u(0)=u′(0)=u′(1)=u″′(1)+ψ(u(1))=0

(3)

這里

反設u是問題(3)的一個正解.若b

其中

簡單計算可得

φ1,b1(1)u″′(1)-φ1,b1″′(1)u(1)+

即

φ1,b1(1)u(1)(c(φ1,b1(1))-c(u(1)))≥

(4)

若c(φ1,b1(1))-c(u(1))=0,則(4)式左端為0.由c(s)的任意性,這種情況確實可能發(fā)生.得到矛盾！

若a≤b,問題(3)中方程兩端同乘以φ1,a1(t)且在0到1上積分同樣可以得到矛盾.因而問題(3)不存在正解.

D(L)={u∈C4[0,1]:u(0)=u′(0)=u′(1)=

u″′(1)+ψ(u(1))=0}.

由第三節(jié)的證明可知,L-1:Y→X是緊的.

設ζ,ξ∈C([0,1]×[0,∞)),η1,η2∈C[0,∞)使得

f(t,u)=au+ζ(t,u),f(t,u)=bu+ξ(t,u),

ψ(u)=a1u+η1(u),ψ(u)=b1u+η2(u).

現(xiàn)考慮

Lu=λrau+λrζ(t,u)

(5)

是從平凡解u≡0處產(chǎn)生的分歧問題.由引理3.2,問題(5)等價于

A(λ,u)(t).

定義B:X→X

定義F:[0,∞)×X→X，

η1(u(1))φ(t).

則對于λ∈Λ(Λ是有界的)有

‖F(xiàn)(λ,u)‖X=

C1‖ζ(t,u(t))‖X+C2‖η1(u)‖X.

則

即‖F(xiàn)(λ,u)‖X=o(‖u‖X)在Λ中局部一致.

由(H2)和引理3.3可推得若(λ,u)