牛瑞利，王國(guó)虎

（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，鄭州 451100）

0 引言

輪系是由一系列相互嚙合的齒輪來(lái)滿(mǎn)足工作要求，是一種常見(jiàn)且經(jīng)典的傳動(dòng)裝置，輪系具有大傳動(dòng)比的傳動(dòng)、遠(yuǎn)距離的兩軸傳動(dòng)和換向傳動(dòng)、分支傳動(dòng)以及運(yùn)動(dòng)的合成和分解等特點(diǎn)。學(xué)者們雖然針對(duì)齒輪開(kāi)展了諸多研究（見(jiàn)文獻(xiàn)［1-6］），然而都是針對(duì)圓形齒輪開(kāi)展的；由于非標(biāo)齒輪通常是按企業(yè)的要求而量身設(shè)計(jì)、定制的，針對(duì)某火炮轉(zhuǎn)動(dòng)裝置的需求，由于功能的限制，傳統(tǒng)的圓形齒輪已經(jīng)無(wú)法滿(mǎn)足使用要求，因此，基于其工作特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一套非圓齒輪的傳動(dòng)系統(tǒng)裝置。以非圓齒輪系統(tǒng)為研究對(duì)象，首先使用Solidworks 軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，然后建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行理論推導(dǎo)和分析；最后利用Adams 仿真分析，得到其運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)力學(xué)性能曲線，為以后的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 非圓齒輪工作原理

非圓齒輪系統(tǒng)主要有太陽(yáng)輪、行星輪和固定輪組成。其結(jié)構(gòu)原理圖如圖1 所示。

圖1 非圓齒輪系統(tǒng)組成

由圖1 可知，在電機(jī)的轉(zhuǎn)速作用下，太陽(yáng)輪隨之轉(zhuǎn)動(dòng)；為了轉(zhuǎn)動(dòng)裝置的效率，設(shè)計(jì)了6 個(gè)行星輪與太陽(yáng)輪和固定輪嚙合。在太陽(yáng)輪、行星輪以及固定輪的聯(lián)合作用下，行星輪實(shí)現(xiàn)變軸線的嚙合運(yùn)動(dòng)。

2 數(shù)學(xué)模型的建立

建立非圓齒輪系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)可以分為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型和平移-扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)模型［7］。由于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型為考慮齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)軸和軸承的影響，不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)齒輪系統(tǒng)的結(jié)果。為了方便對(duì)模型進(jìn)行描述，以太陽(yáng)輪的中心為原點(diǎn)建立笛卡爾坐標(biāo)系，系統(tǒng)的坐標(biāo)系隨著行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。非圓齒輪輪系各構(gòu)件如圖2 所示。

圖2 非圓齒輪輪系各構(gòu)件組成

為方便對(duì)非圓齒輪輪系進(jìn)行描述，選取ui（i=c，r，s，1，2，…，N）、θi（i=c，r，s，1，2，…，N）以及ri（i=c，r，s，1，2，…，N）分別表示固定輪、太陽(yáng)輪以及行星輪的位移、角位移和基圓半徑。系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)可以表示為：

非圓齒輪系統(tǒng)是由6 個(gè)行星輪組成的，鑒于方法一樣，在此對(duì)一個(gè)行星輪和太陽(yáng)輪以及固定輪組成的系統(tǒng)進(jìn)行分析。利用拉格朗日方程對(duì)非圓齒輪系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)，可以得到以下方程組。

式中：mr為太陽(yáng)輪的質(zhì)量，ωc為太陽(yáng)輪的角速度，F(xiàn)m為齒輪間的嚙合力，為第n 個(gè)行星輪中心和行星架中心連線與xc正方向的夾角，；Jr為太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，cru和crz為第n 個(gè)行星輪與太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈的嚙合阻尼，kru和krz為第n 個(gè)行星輪與太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈的嚙合剛度。

由于齒輪之間存在間隙，非圓齒輪系統(tǒng)之間存在相對(duì)位移，即彈性變形量。在行星架隨動(dòng)坐標(biāo)系下，考慮嚙合誤差的構(gòu)件間相對(duì)位移可表示為：

si（i=1，2）為第n 個(gè)行星輪與太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈在各自嚙合線方向的相對(duì)位移，si（i=3，4，5，6）為行星輪與行星架在xc、yc、zc和uc方向的相對(duì)位移，si（i=7，8）為行星輪與行星架在xn和yn方向的相對(duì)位移。

3 動(dòng)力學(xué)模型的建立

3.1 模型的建立

建立動(dòng)力學(xué)模型的方法可分為兩類(lèi)：一種是使用Adams 自身建模功能對(duì)其建立模型，主要用來(lái)對(duì)簡(jiǎn)單模型或者標(biāo)準(zhǔn)件（如齒輪、軸承）進(jìn)行建模；另一類(lèi)方法是利用三維建模軟件（如SolidWorks/UG等）進(jìn)行建立模型，然后保存為中間格式將其導(dǎo)入Adams，再使用修復(fù)功能將失真較大的零件進(jìn)行修整，最后得到動(dòng)力學(xué)模型。本文為了能夠準(zhǔn)確得到非圓齒輪的結(jié)構(gòu)，采用第2 類(lèi)方法對(duì)非圓齒輪系統(tǒng)建模，最終完成對(duì)非圓齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模。

3.2 約束與驅(qū)動(dòng)的添加

在完成動(dòng)力學(xué)建模后，需要對(duì)模型進(jìn)行添加約束和驅(qū)動(dòng)，為了方便對(duì)模型進(jìn)行仿真，對(duì)模型進(jìn)行以下的簡(jiǎn)化和假設(shè)［8-9］：1）將電機(jī)的轉(zhuǎn)速換成輸入傳動(dòng)系統(tǒng)時(shí)的轉(zhuǎn)速，減速器的減速過(guò)程忽略；2）忽略模型的尺寸公差和安裝誤差，且所有齒輪作為剛體考慮［10］。

按照實(shí)際情況對(duì)模型進(jìn)行添加材料和約束，即在齒輪與齒輪之間添加接觸約束，其中固定輪添加固定約束，其余齒輪均與大地之間添加旋轉(zhuǎn)副；然后將換算好的轉(zhuǎn)速添加至太陽(yáng)輪上。

在Adams 中，根據(jù)Impact 函數(shù)來(lái)計(jì)算兩個(gè)構(gòu)件之間的接觸力時(shí)，接觸力由兩部分組成：一個(gè)是由兩個(gè)構(gòu)件之間的相互切入而產(chǎn)生的彈性力；另一個(gè)是由相對(duì)速度產(chǎn)生的阻尼力［11-14］。表達(dá)式如下：

式中：K 為Hertz 接觸剛度，δ 為滲透量，dmax為允許的最大穿透深度，cmax為當(dāng)達(dá)到最大穿透深度時(shí)的最大阻尼值為接觸點(diǎn)的法向相對(duì)速度。

4 仿真與結(jié)果

非圓齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)性能對(duì)某火炮的轉(zhuǎn)動(dòng)裝置有著重要的影響，由齒輪嚙合相關(guān)知識(shí)可知齒輪之間存在間隙，因此，需要考察非圓齒輪系統(tǒng)在空載時(shí)行星輪的速度和角速度曲線變化。

由圖3 和表1 可知，非圓齒輪之間的間隙對(duì)行星輪速度影響最大的是X 軸方向，其范圍是±450 mm/s左右，主要原因由于X 軸是非圓齒輪嚙合傳動(dòng)動(dòng)力前進(jìn)的方向，影響最小的是齒輪旋轉(zhuǎn)的軸線Z向，最大值為157.9 mm/s，說(shuō)明齒輪系統(tǒng)存在振動(dòng)。

圖3 行星輪的速度曲線

圖4 行星輪的角度速度曲線

表1 行星輪的速度

由于非圓齒輪系統(tǒng)存在振動(dòng)，齒輪在嚙合的過(guò)程中，行星輪在徑向和周向方向的速度均不為零。圖4 和表2 的數(shù)據(jù)可知在齒輪傳動(dòng)動(dòng)力時(shí)，Z 向的角速度波動(dòng)最小，主要原因是因?yàn)樾行禽喸谔?yáng)輪和固定輪的相關(guān)配合，行星輪在嚙合力的作用下繞著太陽(yáng)輪運(yùn)動(dòng)。

表2 行星輪的角度速度

齒輪傳動(dòng)主要依靠的是齒輪之間的嚙合力，行星輪與太陽(yáng)輪之間的嚙合力如圖5 和表3 所示。

圖5 行星輪與太陽(yáng)輪的嚙合力

圖6 行星輪與固定輪的嚙合力

表3 行星輪與太陽(yáng)輪的嚙合力

由圖5 和表3 可知，行星輪與太陽(yáng)輪的最大嚙合力為245.9 N，整體是在±100 N 左右波動(dòng)；其中在周向方向的接觸力要略大于徑向的作用力。行星輪最終在周向和徑向的聯(lián)合作用力下，實(shí)現(xiàn)圓周運(yùn)動(dòng)。

表4 行星輪與固定輪的嚙合力

由圖6 和表4 可知，行星輪與固定輪之間的最大嚙合力為364.5 N，其發(fā)生在0.64 s，此時(shí)在徑向上的接觸力為199.4 N。相比行星輪與太陽(yáng)輪之間的接觸小要略大，造成這一現(xiàn)象的主要原因是由于行星輪所受重力造成的，為了減小其嚙合力，可以在齒輪之間增加潤(rùn)滑油，進(jìn)而減小摩擦力。

綜上所述，在滿(mǎn)足火炮轉(zhuǎn)動(dòng)裝置非圓齒輪系統(tǒng)的性能的前提下，適當(dāng)在齒輪之間增加潤(rùn)滑裝置可以有效降低齒輪之間的摩擦力，同時(shí)也可以提高非圓齒輪系統(tǒng)的性能。

5 結(jié)論

基于某火炮轉(zhuǎn)動(dòng)裝置的性能需求，設(shè)計(jì)了非圓齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)；根據(jù)非圓齒輪系統(tǒng)的原理進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模分析和動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)，得到了其運(yùn)動(dòng)方程；運(yùn)用Adams 動(dòng)力學(xué)軟件對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)性能仿真驗(yàn)證，得到了其動(dòng)力學(xué)曲線。

基于仿真結(jié)果可知，行星輪與太陽(yáng)輪之間的接觸力要比行星輪與固定輪之間的接觸力要小，適當(dāng)在齒輪之間增加潤(rùn)滑裝置可以提高非圓齒輪系統(tǒng)的性能。

通過(guò)對(duì)非圓齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的研究，不僅得到了非圓齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)力學(xué)曲線，而且對(duì)以后的非圓齒輪結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。