姜陶然，華秀峰，李 濤

(南京信息工程大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇 南京 210044)

近年來，隨著計算機(jī)、工程控制、人工智能和自動駕駛等技術(shù)的迅猛發(fā)展，無人機(jī)(unmanned aerial vehicle, UAV)[1]的飛行控制技術(shù)取得了極大的進(jìn)步，飛行安全性和可靠性大大增加，進(jìn)而推動了無人機(jī)在各個領(lǐng)域的應(yīng)用。多旋翼無人機(jī)具有維護(hù)成本低、飛行靈活等優(yōu)點，已經(jīng)在低空偵查、軍事打擊等軍用領(lǐng)域，以及電力巡檢、短途運(yùn)輸、航拍等民用領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[2-5]。然而，隨著多旋翼無人機(jī)執(zhí)行的任務(wù)越來越多樣化，其結(jié)構(gòu)也越來越復(fù)雜，這些都會增加無人機(jī)發(fā)生故障的概率，甚至?xí)斐蓢?yán)重的人員財產(chǎn)損失[6-8]，因此對多旋翼無人機(jī)進(jìn)行容錯控制，保證無人機(jī)在發(fā)生故障情況下的安全性和飛行穩(wěn)定性，具有重要的現(xiàn)實意義[9-10]。

近些年，對于多旋翼無人機(jī)在發(fā)生故障情況下的容錯控制已經(jīng)有了很多研究成果。文獻(xiàn)[11]構(gòu)建了一種具有未知輸入解耦功能的故障診斷模塊，并與主動容錯方法相結(jié)合，實現(xiàn)對無人機(jī)的容錯控制。文獻(xiàn)[12]將自適應(yīng)故障診斷方案與自適應(yīng)Backstepping控制方法相結(jié)合，實現(xiàn)對無人機(jī)的容錯控制。為了實現(xiàn)故障情況下無人機(jī)的穩(wěn)定，文獻(xiàn)[13]提出了基于降維滑模觀測器的故障補(bǔ)償控制方法。文獻(xiàn)[9]設(shè)計了基于觀測器的反步縱向控制方法，并將其用于帶有執(zhí)行器故障的基于載波的無人機(jī)系統(tǒng)。上述容錯控制方法都具有很好的容錯控制效果，但它們均需要先設(shè)計故障診斷模塊，利用故障重構(gòu)信息再進(jìn)行控制器的設(shè)計。然而在實際應(yīng)用中，增加觀測器模塊設(shè)計也加大了整個系統(tǒng)的復(fù)雜度，為系統(tǒng)設(shè)計帶來了困難，并且無人機(jī)系統(tǒng)在狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換后有可能不滿足觀測器匹配條件[14]，會給觀測器的實際應(yīng)用帶來困難。上述這些問題都會對容錯控制的效果產(chǎn)生很大影響。

本文基于自適應(yīng)滑模技術(shù)，提出一種不依賴故障診斷模塊的容錯控制方法。首先建立了能統(tǒng)一描述無人機(jī)電機(jī)卡死和失效兩種故障類型的動力學(xué)模型，降低了針對不同類型故障進(jìn)行不同處理的復(fù)雜度；然后在自適應(yīng)滑模控制器中設(shè)計自適應(yīng)機(jī)制，在線估計故障信號，取代用于故障重構(gòu)的觀測器，從而降低整個容錯系統(tǒng)設(shè)計的難度，保證無人機(jī)在發(fā)生執(zhí)行器故障的情況下穩(wěn)定飛行。

1 問題描述

為了方便描述，對文中出現(xiàn)的符號進(jìn)行解釋。P∈m×n表示矩陣P為m×n階的矩陣，代表實數(shù)域，“-1”表示標(biāo)量的倒數(shù)和矩陣的逆矩陣，?(t)的歐幾里得范數(shù)由‖? (t)‖表示。

1.1 無人機(jī)數(shù)學(xué)模型

六旋翼無人機(jī)系統(tǒng)比較復(fù)雜，具有很強(qiáng)的非線性以及軸間耦合，為了便于分析，作出如下合理假設(shè)：1)六旋翼無人機(jī)機(jī)體為剛體，并且滿足機(jī)體結(jié)構(gòu)軸對稱；2)無人機(jī)的質(zhì)心與飛行中心重合；3)無人機(jī)的飛行姿態(tài)角不會發(fā)生大角度突變。

以圖1所示的無人機(jī)為研究對象，定義機(jī)體坐標(biāo)系和地理坐標(biāo)系，對無人機(jī)的結(jié)構(gòu)及飛行原理進(jìn)行分析。

如圖1所示，obxbybzb為六旋翼無人機(jī)的機(jī)體坐標(biāo)系，坐標(biāo)系原點ob為六旋翼無人機(jī)質(zhì)心，也即無人機(jī)的飛行中心，在機(jī)體坐標(biāo)系中，obxb軸正方向為機(jī)頭方向，在無人機(jī)左右對稱面內(nèi)；obzb軸與obxb軸垂直，正方向指向機(jī)體下方，同樣也位于無人機(jī)左右對稱面內(nèi)；obyb軸與obxbzb構(gòu)成的平面垂直。對于低空飛行的六旋翼無人機(jī)來說，地面是靜止不動的，在地面上選擇一點og為原點建立地理坐標(biāo)系ogxgygzg，ogxg軸位于地面的水平面，ogyg軸也位于地面水平面且垂直于ogxg軸，ogzg軸垂直于平面ogxgyg并指向正下方。地理坐標(biāo)系ogxgygzg為無人機(jī)飛行的參考慣性坐標(biāo)系。

為了便于分析，對圖1中的六旋翼無人機(jī)的機(jī)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化，簡化后的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 六旋翼無人機(jī)簡化結(jié)構(gòu)圖

圖中，黑色實線代表六旋翼無人機(jī)機(jī)體、力臂等剛性結(jié)構(gòu)，1～6分別表示無人機(jī)的6個執(zhí)行機(jī)構(gòu)，對應(yīng)的弧形箭頭表示各個旋翼的旋轉(zhuǎn)方向。l1為2和5號電機(jī)與機(jī)體連接點O之間的距離；l2為1和4號電機(jī)與機(jī)體連接點M(1和4號電機(jī)的力臂)之間的距離；l3為連接點O和M之間的距離；α為1和4號電機(jī)力臂與OM延長線的銳夾角。由于無人機(jī)結(jié)構(gòu)對稱，因此3和6號電機(jī)力臂長度也為l2，力臂與ON延長線的銳夾角也為α。

由文獻(xiàn)[15]可知，根據(jù)牛頓-歐拉方程，六旋翼無人機(jī)的動力學(xué)模型可以建立為：

(1)

式中：σ=[φ,θ,ψ]T∈3×1，為六旋翼無人機(jī)的姿態(tài)角向量，φ,θ,ψ分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角；Ω=[p,q,r]T∈3×1，為機(jī)體坐標(biāo)系中無人機(jī)的角速度向量，p,q,r分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航角速度；J=diag{Jx,Jy,Jz}，為六旋翼無人機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，Jx,Jy,Jz分別為各個通道的轉(zhuǎn)動慣量；d∈3×1，為無人機(jī)飛行過程中所受到的外部干擾；Da=[Da1,Da2,Da3]T∈3×1，Da1,Da2,Da3分別為d在滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航三個通道影響效果權(quán)重；L∈3×3，為滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航通道的等效力臂，由六旋翼無人機(jī)的機(jī)體結(jié)構(gòu)所決定；τc∈3×3，為機(jī)體在滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航通道所受到的等效力；W∈3×3,為繞三軸角速度向量與歐拉角向量的轉(zhuǎn)換矩陣。W的表達(dá)式為：

(2)

由假設(shè)3)可知，無人機(jī)在飛行過程中沒有大角度的突變，因此可以將矩陣W近似為單位矩陣，代入式(1)得到：

(3)

由圖2中力臂長度以及力臂與機(jī)體夾角可得：

(4)

式中：b為升力系數(shù)；c為反扭矩系數(shù)。

τc與六旋翼無人機(jī)每個電機(jī)產(chǎn)生升力的關(guān)系為：

τc=Su

(5)

式中：u=[f1,f2,f3,…,f6]T∈6×1，為無人機(jī)旋翼電機(jī)產(chǎn)生的升力矩陣，元素為第i個電機(jī)產(chǎn)生的升力大小，ωi為第i個電機(jī)旋翼的轉(zhuǎn)速；S∈3×3，為各個電機(jī)產(chǎn)生的升力對六旋翼無人機(jī)姿態(tài)角的影響因子，根據(jù)圖2中力臂長度以及力臂與機(jī)體夾角關(guān)系，可得到S為：

(6)

把式(4)～(6)代入式(3)，可得：

(7)

式中：λ=c/b。

1.2 執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障模型

1.1節(jié)建立了正常情況下的六旋翼無人機(jī)的數(shù)學(xué)模型。但是如果無人機(jī)某一電機(jī)發(fā)生故障，其轉(zhuǎn)速將會立即下降，遠(yuǎn)小于正常值，直接導(dǎo)致無人機(jī)飛控系統(tǒng)的不穩(wěn)定。本節(jié)研究六旋翼無人機(jī)發(fā)生執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障時的情況，所研究的故障分為電機(jī)卡死和電機(jī)失效兩種類型。

1)假設(shè)第i號電機(jī)發(fā)生卡死故障，其轉(zhuǎn)速輸出可以表示為：

(8)

式中：Δωi為第i號電機(jī)發(fā)生卡死故障后的電機(jī)轉(zhuǎn)速。如果Δωi=0，表示第i號電機(jī)完全卡死，則其輸出升力Δfi為：

(9)

2)假設(shè)第i號電機(jī)發(fā)生失效故障，其轉(zhuǎn)速輸出可以表示為：

(10)

(11)

綜合式(8)和式(11)，定義故障電機(jī)模型如下：

(12)

(13)

式(13)表示同一電機(jī)在某一時刻只能發(fā)生一種類型的故障，這也符合現(xiàn)實情況，則發(fā)生執(zhí)行器故障的六旋翼無人機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)模型可以統(tǒng)一構(gòu)造為：

(14)

2 自適應(yīng)滑模容錯控制器設(shè)計

本節(jié)將設(shè)計六旋翼無人機(jī)自適應(yīng)滑模容錯控制器，使發(fā)生電機(jī)故障的無人機(jī)依舊能保持飛行姿態(tài)的穩(wěn)定。為了保證所設(shè)計的自適應(yīng)滑?？刂破髂軌蜻_(dá)到預(yù)期的控制效果，作如下假設(shè)：1)六旋翼無人機(jī)動力學(xué)方程的系統(tǒng)狀態(tài)是可觀測的；2)對于所有類型的故障，都滿足秩條件rank(LSρ)=rank(LS)。假設(shè)2是為了保證系統(tǒng)具備執(zhí)行器控制冗余的特點，在執(zhí)行器發(fā)生故障的容錯控制中，具備控制冗余往往是必要的，特別是針對執(zhí)行器卡死或者完全失效故障，滿足冗余假設(shè)條件十分重要。本文的六旋翼無人機(jī)滿足此條件。

本文控制器的設(shè)計思路是，基于自適應(yīng)滑模技術(shù)構(gòu)建滑模函數(shù)，實現(xiàn)姿態(tài)角跟蹤到期望值；在控制律設(shè)計中運(yùn)用自適應(yīng)模塊，在線對故障信息進(jìn)行估計，在無人機(jī)的飛行受到外界干擾的影響下，實現(xiàn)容錯控制。

對發(fā)生執(zhí)行器故障的六旋翼無人機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)模型式(14)構(gòu)建誤差向量eσ：

eσ=σ-σd

(15)

式中：σd為六旋翼無人機(jī)姿態(tài)角的期望值。然后設(shè)計積分滑模函數(shù)sσ如下：

(16)

式中：sσ=[sσ1,sσ2,sσ3]T；c1,c2>0，為積分滑模函數(shù)的參數(shù)；τ為時間間隔。然后，對積分滑模函數(shù)式(16)求導(dǎo)可得：

(17)

把式(14)代入式(17)，可得

(18)

構(gòu)建自適應(yīng)滑模容錯控制律如下：

u=-(LS)TJW-1Γsign(sσ)

(19)

其中，Γ的具體表達(dá)式為：

(20)

(21)

(22)

對于失效故障失效率的處理，給出如下引理：

引理1 對于行滿秩的矩陣LS，存在正標(biāo)量μ，對于所有的ρ，都滿足不等式LSρ(LS)T≥μLS(LS)T。

基于引理1，給出如下定理：

定理1，對于六旋翼無人機(jī)系統(tǒng)式(14)，在滿足假設(shè)1)和2)的條件下，滑模函數(shù)、自適應(yīng)滑?？刂坡?、自適應(yīng)律分別由式(16)、(19)和(21)給出，則在有電機(jī)卡死、失效故障和外界干擾的影響下，仍能保證無人機(jī)閉環(huán)容錯系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證明：

針對六旋翼無人機(jī)容錯系統(tǒng)(14)，構(gòu)建Lyapunov函數(shù):

(23)

顯然，Lyapunov函數(shù)大于0。對式(23)求導(dǎo)可得：

(24)

然后把式(14)代入到式(24)可得：

(25)

將自適應(yīng)滑?？刂坡?19)代入式(25)中，可得：

(26)

由引理1可得：

(27)

(28)

將式(21)、(22)代入式(28)，可得

(29)

3 數(shù)值仿真

圖3 3號電機(jī)卡死故障無人機(jī)姿態(tài)角容錯控制圖

圖4 6號電機(jī)失效故障無人機(jī)姿態(tài)角容錯控制圖

從圖可以看出，本文設(shè)計的自適應(yīng)滑?？刂坡赡軌蚴篃o人機(jī)姿態(tài)角由初始狀態(tài)收斂于穩(wěn)定位置。在第30 s發(fā)生電機(jī)失效故障后，雖然無人機(jī)的姿態(tài)角發(fā)生了變化，但自適應(yīng)滑模控制器能在發(fā)生故障后幾秒鐘內(nèi)使無人機(jī)姿態(tài)角趨于穩(wěn)定，實現(xiàn)容錯控制。

4 結(jié)束語

針對基于觀測器的主動容錯方法需要設(shè)計故障診斷模塊而增大系統(tǒng)設(shè)計難度的問題，本文提出一種不依賴故障診斷模塊的自適應(yīng)滑模容錯控制方法。由于電機(jī)卡死和失效故障的發(fā)生原因不同，傳統(tǒng)的主動容錯控制方法對于不同的故障類型采用不同的處理方法，在實際應(yīng)用中需要先進(jìn)行故障類型的識別，比較繁瑣，而本文建立的能統(tǒng)一描述無人機(jī)電機(jī)卡死和失效兩種故障類型的數(shù)學(xué)模型，降低了針對不同類型故障進(jìn)行不同處理的復(fù)雜度。為了在線估計故障信號，傳統(tǒng)的主動容錯方法需要在無人機(jī)系統(tǒng)外額外設(shè)計觀測器系統(tǒng)，會使整個系統(tǒng)變得更加復(fù)雜，本文在自適應(yīng)滑模控制器中設(shè)計自適應(yīng)機(jī)制在線估計故障和干擾信息，不需要額外設(shè)計觀測器，也不需要考慮觀測器匹配等條件，因而降低了整個容錯系統(tǒng)設(shè)計的難度。數(shù)值仿真結(jié)果驗證了本文設(shè)計的控制算法的有效性。