劉文迪 程軍 孫業(yè)偉

摘要：壓縮感知最吸引人的地方在于它直接在采樣的前端能夠以相對于傳統(tǒng)更加低的采樣率采集信號。當(dāng)然這是由于我們掌握了信息的稀疏屬性，所以當(dāng)我們知道關(guān)于信號的更多先知條件時(shí)，那么更加詳細(xì)的采取信息的效率，也就有可能增加。本文綜述了壓縮感知基本原理，介紹了信號稀疏表示、理論應(yīng)用和未來展望等內(nèi)容以及壓縮感知理論研究現(xiàn)狀和在相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：壓縮感知;稀疏表示;理論應(yīng)用;未來展望

引言

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，社會各領(lǐng)域所需要的信息也逐步增加，信息的采取就是模擬信息源和數(shù)字信息之間的聯(lián)系。傳統(tǒng)的奈奎斯特采取的信息采樣的方法指出，為了準(zhǔn)確原始的恢復(fù)原始信息，采樣的頻率大于等于信號頻率的兩倍。通過這種方法采集的信息設(shè)計(jì)，完全可以代表原始信息所要表達(dá)的信號，但是采集的信息量過于繁重，這就導(dǎo)致在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)據(jù)的儲存和傳輸需要更多的成本和空間，同時(shí)在處理數(shù)據(jù)的過程中，也有可能造成數(shù)據(jù)的丟失，造成信息的巨大浪費(fèi)。此外，它將帶來巨大的困難和挑戰(zhàn)的收集和處理大量的數(shù)據(jù)和相應(yīng)的硬件設(shè)備，這些困難是當(dāng)前信息技術(shù)領(lǐng)域的最主要的同時(shí)，也是未來發(fā)展的方向，所以，為了減少主要信息的保留和不必要信息的儲存，一種新的信息壓縮技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生——壓縮感知技術(shù)。

壓縮感知技術(shù)，簡單說來就是如果信息具有一定的可壓縮性，或者具有一定的吸收程度，那么就可以通過特定的線性關(guān)系，將信息從高維度投影到低維度上，減少數(shù)據(jù)的采集量，同時(shí)還能夠表達(dá)主要數(shù)據(jù)的信息。令y=Ax， 其中y∈R（m），A∈R（m*n） 是線性測量矩陣，稀疏恢復(fù)的主要任務(wù)是通過觀測數(shù)據(jù)y和A 來恢復(fù)未知數(shù)據(jù)x。顯然該方程組具有許多的不穩(wěn)定因素，也就是方程有許多解。通常假設(shè)x 是稀疏的，并假設(shè)測量矩陣具有一些良好的性質(zhì)，則這時(shí)候該線性方程組具有唯一解。壓縮感知理論問題的研究涵蓋了許多基礎(chǔ)學(xué)科，應(yīng)用范圍也很廣泛，因此得到了科學(xué)界的普遍關(guān)注和研究，在短短的時(shí)間內(nèi)，得到了較快的發(fā)展。壓縮感知與圖像處理的結(jié)合目前還在發(fā)展階段，技術(shù)發(fā)展都還在研究當(dāng)中，且有待改進(jìn)，將兩者結(jié)合并改進(jìn)，不僅對壓縮感知，對圖像處理也有更深入的發(fā)展，對社會和人們的需求也能一定程度的滿足。

一、壓縮感知理論框架

壓縮感知技術(shù)是數(shù)據(jù)在編碼解碼方面的重大創(chuàng)新，傳統(tǒng)的信息采集和編解碼的過程如圖一所示：編碼始端先對數(shù)據(jù)進(jìn)行采取，然后再進(jìn)行轉(zhuǎn)變，將其中重要數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮和編碼，最后將編碼的數(shù)據(jù)進(jìn)行儲存和運(yùn)輸，最后在進(jìn)行信號的解碼，就可得到原始信息。解碼的終端只是編碼的逆過程;將接收的信息進(jìn)行分解和轉(zhuǎn)化，得到原始壓縮的數(shù)據(jù)。

傳統(tǒng)的編碼還存在一些不足的地方：1）傳統(tǒng)編碼的信號，要求信號的帶寬是信號采取速率的兩倍。這要求軟件承受的帶寬需要更大的承受能力;2） 在信號壓縮過程中，壓縮的信息大部分被丟棄，導(dǎo)致信息在壓縮過程中產(chǎn)生大量的浪費(fèi)。壓縮感知技術(shù)的實(shí)現(xiàn)，就與傳統(tǒng)的編碼有所不同，他以遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)的速率對信息進(jìn)行自主的測量和編注。并且信息都包含著很少的主要信息。解碼過程并不僅僅是編碼的反過程，這使得采取的信息并不單單是信號本身，而是信息投影到低維的投影值。見圖二，在傳統(tǒng)理論上看來，每一個(gè)測量值都對應(yīng)著一個(gè)組合的函數(shù)，也就是測量值都包含一定的信息。解碼過程不是簡單的逆過程，它是一種盲源分離中求逆的方法過程，利用信息可壓縮中的重新構(gòu)造的方法在概率方面實(shí)現(xiàn)信息的重構(gòu)或者是一定誤差下的近似構(gòu)造，這樣就使得解碼所需的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)方法的樣本數(shù)量。

二、信號的稀疏表示

由于壓縮感知技術(shù)對可壓縮的數(shù)據(jù)具有適應(yīng)性，為了達(dá)到數(shù)據(jù)的簡化，可以把處理數(shù)據(jù)的模型簡化：信息的數(shù)量為N的離散實(shí)值信號為x，記為x（n），其中n屬于{1，2，……N}。由實(shí)值信號理論知識可知x可以通過一組Φ的轉(zhuǎn)置={Φ1，Φ2，…Φm…Φn}的線性組合的辦法來表述。所以x=∑Φkαk（k從1到n），αk=

三、理論應(yīng)用

壓縮理論技術(shù)不僅帶來了信息采取的理論革新，同時(shí)還具有廣闊的應(yīng)用前景，其中包括壓縮技術(shù)成像，壓縮編碼醫(yī)學(xué)圖像，軍事方面，天文方面、建筑方面等有待取得了很大的成功

3.1 單像素相機(jī)

美國萊斯大學(xué)成功設(shè)計(jì)了一款基于壓縮感知的單像素相機(jī)，這是在取代傳統(tǒng)相機(jī)的實(shí)踐中的重大突破。相機(jī)的關(guān)鍵部件是DMD，它由大量細(xì)菌大小的鏡頭組成。在整個(gè)系統(tǒng)中，物體的圖像由第一個(gè)透鏡打在DMD上，圖像再由第二個(gè)透鏡將圖片聚焦在一個(gè)像素的傳感器上，再由DMD反射的圖形形成光學(xué)信息，在拍攝過程中DMD上的每一個(gè)鏡頭通過形成的明暗矩陣快速轉(zhuǎn)化成偽隨機(jī)碼的形式，形成每個(gè)變化的像素模型。最后，結(jié)合信號和偽隨機(jī)碼得到目標(biāo)的圖像。

3.2 線性編碼

在編碼方面，壓縮感知提供了一個(gè)新的方法，讓傳送的信息交錯(cuò)的傳送進(jìn)去，這使得輸入的信號，如果有一部分丟失或損害，仍然可以恢復(fù)大部分的原始信息，例如，如果將一個(gè)線性編碼的2000比特的信息輸入到一個(gè)4000比特的信息流中，那么如果有200萬被損害，甚至更多被損壞，那么原始信息仍然可以完美的重現(xiàn)

3.3 磁共振成像（MRI）

在醫(yī)學(xué)方面，人們通過對人體病情狀況進(jìn)行測量，然后輸入電腦，成為數(shù)據(jù)圖像，由于測量的數(shù)據(jù)量比較大，在整個(gè)過程中，如果壓縮處理時(shí)間過長，對病人的病情會有所耽擱，壓縮感知技術(shù)剛好提出了新的方法，加速了信息傳輸?shù)倪^程，能夠在短時(shí)間內(nèi)完成信息圖的轉(zhuǎn)化，在相同的處理時(shí)間內(nèi)，可以快速得到更好的圖像分情況。

3.4 天文學(xué)

在天文學(xué)方面，許多星球有多種多樣的頻率信息，使他們在不同的領(lǐng)域內(nèi)有著稀疏，不同的可壓縮的數(shù)據(jù)，在許多因素方面，比如天氣溫度，氣候濕度等方面嚴(yán)重?fù)p失原始數(shù)據(jù)的信息。壓縮感知技術(shù)仍然通過部分重要的原始設(shè)計(jì)，可以準(zhǔn)確的恢復(fù)原始信號，來重現(xiàn)星球的原狀

四、壓縮感知技術(shù)未來展望，

文章敘述了壓縮感知，從理論到實(shí)際應(yīng)用的過程，壓縮感知技術(shù)對大規(guī)模數(shù)據(jù)和可壓縮的數(shù)據(jù)處理具有很重要的意義。隨著科技的發(fā)展，壓縮感知技術(shù)正處于蓬勃發(fā)展時(shí)期，除此之外，還有很多問題等待人們及時(shí)攻克。例如，第一，轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)的測量矩陣問題;第二，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)快速壓縮，恢復(fù)質(zhì)量效率等理論基礎(chǔ)，增強(qiáng)可實(shí)施性;第三，如何快速實(shí)現(xiàn)壓縮數(shù)據(jù)在硬件和軟件上的實(shí)施過程;第四，壓縮數(shù)據(jù)進(jìn)行傳輸，儲存，壓縮等器械問題.

隨著現(xiàn)如今科技的發(fā)展，在未來發(fā)展中在我個(gè)人看來，在這些方面我們應(yīng)該進(jìn)一步的研究，第一，在信息數(shù)據(jù)的吸收方面，信息從高維到低維有著密切相關(guān)性研究，如果我們能將其引入信息表示，將可能得到的不錯(cuò)的結(jié)果，第二，在數(shù)據(jù)觀察方便，目前大多采用線性的觀察方法，如果考慮到在實(shí)際中去除噪聲的方法，并且引入一些非線性的實(shí)施，可能得到較好的成果，第三，在優(yōu)化數(shù)據(jù)壓縮方便，如果能夠?qū)⑿盘栃畔⒌南闰?yàn)條件和稀疏性綜合考慮，則有望取得更好的效果，推動壓縮感知技術(shù)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]萬莎，徐彪，段洪濤.壓縮感知技術(shù)綜述[J].中國無線電，2013（02）

[2]蔡云，石瑩.框架表示下的壓縮感知問題研究[J].科技資訊，2019，17（28

[3]周鵬，孟晉.基于分塊壓縮感知算法的圖像重構(gòu)技術(shù)[J].九江職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2019（03）

[4]唐歡歡. 基于不同稀疏表示的壓縮感知地震數(shù)據(jù)重建效果分析[C]. 中國石油學(xué)會石油物探專業(yè)委員會、中國地球物理學(xué)會勘探地球物理委員會.中國石油學(xué)會2019年物探技術(shù)研討會論文集.中國石油學(xué)會石油物探專業(yè)委員會、中國地球物理學(xué)會勘探地球物理委員會：石油地球物理勘探編輯部，2019：266-268.

[5]邸志欣. 基于壓縮感知的地震勘探非規(guī)則數(shù)據(jù)采集處理實(shí)踐[C]. 中國石油學(xué)會石油物探專業(yè)委員會、中國地球物理學(xué)會勘探地球物理委員會.中國石油學(xué)會2019年物探技術(shù)研討會論文集.中國石油學(xué)會石油物探專業(yè)委員會、中國地球物理學(xué)會勘探地球物理委員會：石油地球物理勘探編輯部，2019：1056-1059.

[6]武迪. 基于小波模極大值稀疏表示的壓縮感知斷層增強(qiáng)重建方法[C]. 中國石油學(xué)會石油物探專業(yè)委員會、中國地球物理學(xué)會勘探地球物理委員會.中國石油學(xué)會2019年物探技術(shù)研討會論文集.中國石油學(xué)會石油物探專業(yè)委員會、中國地球物理學(xué)會勘探地球物理委員會：石油地球物理勘探編輯部，2019：1277-1280

[7]Emmanuel Candès and Justin Romberg.??? Quantitative??? robust uncertainty principles and?? optimally sparse decompositions. Foundations of Comput. Math.，6（2），pp. 227-254， April 2006..

[8]魏子然，張建林，徐智勇，劉永.一種基于單像素相機(jī)的壓縮感知圖像重建優(yōu)化算法[J].半導(dǎo)體光電，2019，40（03）

[9]吳江月. 基于去噪功能的壓縮感知算法在圖像處理中的應(yīng)用[D].安徽理工大學(xué)，2019.

[10]孫潤潤. 壓縮感知重構(gòu)算法的改進(jìn)及研究[D].安徽理工大學(xué)，2019.

[11]吳自文，邱曉東，陳理想.關(guān)聯(lián)成像技術(shù)的研究現(xiàn)狀及展望[J/OL].激光與光電子學(xué)進(jìn)展：1-27[2019-12-29].

[12]王雅涵. 面向圖像壓縮感知的深度學(xué)習(xí)重建算法研究[D]

[13]朱曉秀，胡文華，郭寶鋒.基于壓縮感知的ISAR成像技術(shù)綜述[J].飛航導(dǎo)彈，2018（03）：84-89

[14]焦李成，楊淑媛，劉芳，侯彪.壓縮感知回顧與展望[J].電子學(xué)報(bào)，2011，39（07）

[15]邵文澤，韋志輝.壓縮感知基本理論：回顧與展望[J].中國圖象圖形學(xué)報(bào)，2012，17（01）

[16]劉鍇，陳財(cái)忠，溫喜喜，王劍，曾蒙蘇.壓縮感知聯(lián)合并行成像在肝臟多動脈期增強(qiáng)磁共振成像中的應(yīng)用[J].放射學(xué)實(shí)踐，2019，34（11）：1182-1185

[17]周明陽，郭良浩，閆超.改進(jìn)的貝葉斯壓縮感知目標(biāo)方位估計(jì)[J].聲學(xué)學(xué)報(bào)，2019，44（06）

[18]夏朝禹，高瑜翔，黃坤超，余杰，謝建峰，閆鴻.基于組合濾波的壓縮感知穿墻雷達(dá)雜波抑制[J].電訊技術(shù)，2019，59（10）

[19]國強(qiáng)，趙瑩.基于時(shí)反-壓縮感知的淺海目標(biāo)DOA估計(jì)算法[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2019，51（11）

[20]石躍祥，杜祎.基于壓縮感知的彩色圖像奇異值水印算法[J].計(jì)算機(jī)仿真，2019，36（10）

[21]田子建，賀方圓.一種基于分布式壓縮感知的礦井目標(biāo)指紋數(shù)據(jù)庫建立方法[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2019.