鄧志穎，朱 軍

(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310018)

0 引 言

近年來，對(duì)線性?？赜成涞难芯咳〉昧嗽S多重要結(jié)論，并應(yīng)用到量子信息等前沿領(lǐng)域。文獻(xiàn)[1]梳理了有關(guān)受控關(guān)系和線性?？赜成涞难芯砍晒皯?yīng)用領(lǐng)域。文獻(xiàn)[2-3]給出了Rn空間中線性?？赜成涞亩x，并刻畫了映射對(duì)應(yīng)的矩陣形式。文獻(xiàn)[4]將該映射對(duì)應(yīng)的矩陣形式推廣到矩陣空間Mn×m上，并給出以矩陣為研究對(duì)象的線性保控映射的形式。文獻(xiàn)[5]提出行/列受控的概念，并刻畫關(guān)于行受控和列受控的線性保映射和強(qiáng)線性保映射。文獻(xiàn)[6]從局部入手，討論了Rn空間中一點(diǎn)處線性保控映射的特征。本文針對(duì)R3空間中一組輪換點(diǎn)處右?？氐木€性映射進(jìn)行研究，證明了該映射為線性?？赜成洹?/p>

1 若干定義與引理

定義2[1]若存在一個(gè)n階置換矩陣P使得x=Py，則稱x與y是等價(jià)的，其中x,y∈Rn。

定義3[3]設(shè)Φ∶Rn→Rn是一線性映射。若對(duì)任意x,y∈Rn，xy，均有Φ(x)Φ(y)成立，則稱Φ是一個(gè)線性保控映射。

定義4[6]設(shè)Φ∶Rn→Rn是一線性映射，非零向量y0∈Rn。若對(duì)任意x∈Rn，xy0，均有Φ(x)Φ(y0)成立，則稱Φ在點(diǎn)y0處右?？?。

引理1[1]若xy，yx，則x與y是等價(jià)的，其中x,y∈Rn。

引理2[2]設(shè)Φ∶Rn→Rn是一線性映射，則映射Φ是線性保控映射當(dāng)且僅當(dāng)以下其中之一成立：

(1)存在a∈Rn，使得對(duì)任意x∈Rn都有Φ(x)=tr(x)a；

(2)存在α(α≠0)，β∈R，P∈Pn，使得對(duì)任意x∈Rn都有Φ(x)=αPx+βtr(x)e，其中，Pn為全體n階置換矩陣構(gòu)成的集合，e=(1,1,…,1)T。

2 主要結(jié)論

定理設(shè)Φ∶R3→R3是一個(gè)線性映射，若Φ在各分量不相等的輪換點(diǎn)右保控，則Φ為線性?？赜成洹?/p>

證明設(shè)α1=(x1,x2,x3)T,α2=(x2,x3,x1)T,α3=(x3,x1,x2)T是R3中的一組輪換點(diǎn)，x1,x2,x3互不相等且x1+x2+x3≠0。因此，α1,α2,α3中必然存在一個(gè)升序或降序排列的點(diǎn)，不妨設(shè)α1降序排列，即x1>x2>x3。

設(shè)線性映射Φ在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下對(duì)應(yīng)的矩陣為T，βi(i=1,…,6)為等價(jià)于像Tα1的點(diǎn)，其中β1=(y1,y2,y3)T,β2=(y2,y3,y1)T,β3=(y3,y1,y2)T,β4=(y1,y3,y2)T,β5=(y3,y2,y1)T，β6=(y2,y1,y3)T，不妨設(shè)y1≥y2≥y3。

設(shè)點(diǎn)α1,α2,α3在映射Φ作用下的像集為D，則D={Φ(α1),Φ(α2),Φ(α3)}。記集合D的基數(shù)為|D|，則|D|的取值為1，2或3。由Φ在各分量不相等的輪換點(diǎn)右保控及引理1可知，像Φ(αi)(i=1,2,3)相互等價(jià)。

(2)若|D|=2，則Tαi(i=1,2,3)中有2個(gè)點(diǎn)重合，不妨假設(shè)Tα1=β1,Tα2=Tα3=β2。下面證明，存在不受Tα1控制的點(diǎn)Tα5，故不存在映射Φ使得各分量不相等的輪換點(diǎn)右?？亍?/p>

設(shè)Tα5(3)為Tα5的第3個(gè)分量，考慮Tα5(3)與y1的差，計(jì)算可得：

對(duì)于其它2個(gè)點(diǎn)重合的情形，可類似證明不存在滿足定理要求的映射。

(3)若|D|=3，則Tαi(i=1,2,3)互不相等。接下來證明，Tα1,Tα2,Tα3互為輪換，映射Φ為線性?？赜成?。

對(duì)于y1=y2>y3的情形，βi(i=1,…,6)退化為3個(gè)互為輪換的點(diǎn)，即β1=β6,β2=β4，β3=β5，因此不妨設(shè)Tα1=β1,Tα2=β2,Tα3=β3。

設(shè)Tα5(3)為Tα5的第3個(gè)分量，考慮Tα5(3)與y1的差，計(jì)算可得：

因?yàn)門α5(3)>y1，故Tα5不受Tα1控制，此時(shí)映射Φ不是輪換點(diǎn)右?？赜成?。

對(duì)于y1>y2=y3以及對(duì)應(yīng)的輪換情形，可類似證明。

對(duì)于y1>y2>y3的情形，Tα1,Tα2,Tα3中至少有2個(gè)點(diǎn)互為輪換，不妨假設(shè)Tα1,Tα2互為輪換，考慮Tα1=β1,Tα2=β2。此時(shí)，Tα3有4種情形：

設(shè)Tα4=(z1,z2,z3)T，因?yàn)門α4βi(i=1,2,3)，所以y1≥z1≥y3，y1≥z2≥y3，y1≥z3≥y3。因?yàn)楣蔾≤0；又因此k≥0(其中，所以k=0。故z1=y1，z2=y3，z3=y1+y2+y3-(z1+z2)=y2，即Tα4=(y1,y3,y2)T=β4。同理可得Tα5=β5，Tα6=β6。

對(duì)于其它像為輪換點(diǎn)的情形，均可驗(yàn)證映射Φ為線性?？赜成?。

②若Tα3=β5，用反證法證明這樣的映射不存在。假設(shè)映射Φ:(α1,α2,α3)→(β1,β2,β5)存在，其中β1=Tα1,β2=Tα2,β5=Tα3。下面證明，存在不受Tα1控制的點(diǎn)Tα5使其矛盾。

設(shè)Τα5(3)為Τα5的第3個(gè)分量，考慮Tα5(3)與y1的差，計(jì)算可得：

因?yàn)閤1>x2>x3，y1>y2>y3，所以Tα5(3)-y1>0，即Tα5(3)>y1，故Tα5不受Tα1控制。

③若Tα3=β6，仿照第②種情形，假設(shè)映射Φ:(α1,α2,α3)→(β1,β2,β6)存在，其中β1=Tα1,β2=Tα2,β6=Tα3。下面證明，存在不受Tα1控制的點(diǎn)Tα6使其矛盾。

設(shè)Tα6(3)為Tα6的第3個(gè)分量，考慮Tα6(3)與y3的差，計(jì)算可得：

因?yàn)門α6(3)-y3<0，即Tα6(3)

④若Tα3=β4，仿照第②種情形，假設(shè)映射Φ:(α1,α2,α3)→(β1,β2,β4)存在，其中β1=Tα1，β2=Tα2,β4=Tα3。下面證明，存在不受Tα1控制的點(diǎn)Tα6使其矛盾。

設(shè)Tα6(1)為Tα6的第一個(gè)分量，考慮Tα6(1)與y1的差，計(jì)算可得：

因?yàn)門α6(1)-y1>0，即Tα6(1)>y1，故點(diǎn)Tα6不受點(diǎn)Tα1控制。

綜上所述，若線性映射Φ在R3中各分量不相等的輪換點(diǎn)處右?？?，則映射Φ為線性?？赜成?。證畢。

3 結(jié)束語

本文沿用文獻(xiàn)[6]對(duì)一點(diǎn)處右?？鼐€性映射的定義，對(duì)R3中各分量不相等的輪換點(diǎn)處右保控的線性映射進(jìn)行研究，證明了該映射為線性?？赜成?。但是，本文僅討論各分量不相等的點(diǎn)，沒有考慮分量相等的點(diǎn)，今后將展開相關(guān)研究。此外，還可以考慮將定理推廣到n維歐式空間，研究輪換點(diǎn)右?？鼐€性映射與線性保控映射的關(guān)系。