尹中杰，劉 凱

(大連理工大學航空航天學院，大連 116024)

0 引言

近年來，隨著高超聲速技術(shù)的發(fā)展，以美國為代表的軍事大國正在大力發(fā)展臨近空間高超聲速武器，并相繼完成了一系列的飛行試驗[1-7]，如X-43A、X-51A、HTV-2等，同時還提出了武器化的HSSW、AHW等項目，以及SR-72高超聲速平臺項目。2018年10月，美國陸軍太空與導彈防御司令(SMDC)披露，將與美國空軍、海軍和導彈防御局合作研制一型高超聲速滑翔飛行器，其中美國空軍和陸軍分別計劃在2022年前列裝“高超聲速常規(guī)打擊武器”(HCSW)和“遠程高超聲速武器”(LRHW)。

由于高超武器帶來的威脅，相應的攔截方案研究受到了各國的重視，而預測命中點設(shè)計更是因為計算時間長受到廣泛關(guān)注。預測命中點是攻擊彈、攔截彈同時間到達的一點，預測命中規(guī)劃是指在攔截彈發(fā)射前，通過算法計算出合理的攔截點，并為攔截彈裝訂相應的諸元，使得攔截彈準時精確地飛抵預測命中點的工作。為了完成預測命中點的設(shè)計，國內(nèi)外學者普遍采用基于標準彈道[8-16]的預測命中點規(guī)劃。

基于基本彈道的預測命中點設(shè)計是指攔截方提前通過對所有可以覆蓋的區(qū)域，繪制標準彈道族，并通過調(diào)整攔截彈發(fā)射方位角形成等時間攔截曲面，并結(jié)合攻擊方彈道尋找時間相同、位置重合的相遇點。該計算方法可以針對不同類型的目標飛行器快速有效地尋找準確的預測命中點。

由于需要攔截彈與目標飛行器同一時間到達相同地點，所以解算攔截時間就是問題的關(guān)鍵。李轅等[8]、張建祥等[9]、尤劉球[10]提出了以航程或攔截彈狀態(tài)參數(shù)作為輸入迭代相遇時間的方法。在此基礎(chǔ)上， 張榮升等[11]通過以斜距為輸入進行時間迭代，獲得攔截彈與目標斜距相同的時間點，從而獲得相應的攔截彈彈道。但是高超武器機動性強，彈道形式復雜，預測彈道上可能存在多個斜距相同的點，僅通過斜距無法描述預測命中點的信息，可能導致攔截失敗。而且由于算法原因，標準彈道族要逐一時間、逐一彈道與目標進行位置比對，耗時較多。

隨著攔截任務的明確與優(yōu)化算法的應用，標準彈道族也可以根據(jù)所需的性能指標，進行有針對的設(shè)計。盛永智等[13]首先對攔截任務進行分析，并針對不同戰(zhàn)場情況提出了相應的性能指標。在此基礎(chǔ)上，謝經(jīng)緯等[14]針對不同作戰(zhàn)需求設(shè)計了不同類型的標準彈道族，大體分為考慮攔截時間需求的標準彈道族與考慮效費比的標準彈道族，并根據(jù)防御方探測系統(tǒng)首次捕獲到目標的時間選取針對相應需求的標準彈道族，從而提高攔截效率。但是上述算法均只考慮了當前時刻的預測命中點規(guī)劃問題，并沒有對發(fā)射時間窗口計算問題進行深入研究，具有一定的局限性。

針對以上問題，本文采用建立標準彈道族結(jié)合斜距單調(diào)化與時間搜索算法的方式解決因機動造成的目標飛行器與攔截陣地斜距非線性存在多個斜距相同點，導致獲得錯誤預測命中點的問題。利用攔截彈標準彈道族的物理特性增加判斷條件，降低計算量，解決運算耗時長的問題，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)換的思想設(shè)計發(fā)射時間窗口計算方法，從而快速準確完成預測命中點設(shè)計與發(fā)射時間窗口計算工作。

1 攔截彈動力學建模與問題描述

1.1 質(zhì)點動力學模型

模型考慮地球自轉(zhuǎn)、球形大地假設(shè)，在發(fā)射坐標系下建立攔截彈質(zhì)點動力學模型，根據(jù)攔截彈的特性完成坐標系的轉(zhuǎn)化、受力分析并建立動力學方程。

(1)

(2)

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(5)

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(7)

(8)

h=r-R

(9)

(10)

式中，x、y、z為發(fā)射系x、y、z軸位置，Vx、Vy、Vz為發(fā)射系x、y、z軸速度，θ、σ為發(fā)射系下彈道傾角、彈道偏角，D、L、Z、P分別為阻力、升力、側(cè)向力、推力，Mfv為發(fā)射系與速度坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣，h、r分別為高度、地心距，m為攔截彈質(zhì)量，g0為地表重力加速度，Re為地球半徑，ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度，ωex、ωey、ωez為發(fā)射系下地球自轉(zhuǎn)角速度分量。

1.2 問題描述

預測命中點是預先計算來襲目標和攔截彈的飛行彈道, 確定出瞬時遭遇點, 即預測命中點, 當預測命中點確定后，就導引攔截彈向其接近。

基于此，預測命中點規(guī)劃問題可以描述為：結(jié)合預報彈道與標準彈道族，通過搜索算法尋找滿足時間約束、位置約束的攔截點。并為攔截彈裝訂相應的諸元，確保其準時精確到達攔截點，如圖1所示。

圖1 攔截示意圖Fig.1 Interception schematic

約束條件如下：

x(tf)=xtf
y(tf)=ytf
z(tf)=ztf

(11)

其中，tf為預測飛行時間，xtf、ytf、ztf為預測命中點在發(fā)射坐標系下的位置。

考慮到攔截過程有延遲發(fā)射的需求，需要計算發(fā)射時間窗口。發(fā)射窗口是指在基于當前標準彈道族，即使推遲發(fā)射，依舊存在預測命中點可行解的時間區(qū)間。

基于此，時間窗口計算問題可以描述為：結(jié)合目標預報彈道與標準彈道族，通過搜索算法獲得可發(fā)射攔截彈至預測命中點的延遲時間區(qū)間。

2 預測命中點規(guī)劃

2.1 現(xiàn)有方法的問題

現(xiàn)有方法普遍基于攔截陣地與目標之間的斜距進行時間的迭代，通過假設(shè)目標飛行器與發(fā)射陣地斜距是不斷縮小，選取時間t0，將目標飛行器與發(fā)射陣地斜距ra與攔截彈斜距rd相對比，若ra>rd則t0增加，反之減小，通過迭代的方式獲得ra=rd的時間t1，從而獲得相應的攔截彈彈道。而高超聲速飛行器會因為多種因素，導致距離攔截陣地的斜距不單調(diào)，即彈目距離不斷縮小的假設(shè)不成立。此時基于上述原則的時間迭代方向可能存在錯誤，這使得依靠現(xiàn)有方法解算預測命中點時，存在即使有可行解卻搜索不到的問題。

當目標飛行器基于感知信息發(fā)現(xiàn)攔截陣地，會通過機動遠離攔截陣地，當離開攔截陣地一定距離后再次修正航向。這就導致預測彈道上存在若干斜距相同的點的情況，使得目標飛行器與攔截陣地的斜距時而降低，時而增加。此時如果僅僅考慮斜距ra=rd，依舊采用ra>rd則t0增加，反之減小的迭代原則，可能會導致在時間迭代跳入斜距單調(diào)遞增的區(qū)間后，被提供了錯誤收斂方向，在迭代達到上限后，輸出錯誤的預測命中點，導致攔截失敗，如圖2所示。

圖2 斜距非單調(diào)示意圖Fig.2 Diagonal non-monotonic sketch

除此之外，目標飛行器的打擊目標不在攔截陣地的覆蓋范圍內(nèi)，目標飛行器彈道穿過攔截陣地覆蓋范圍。此時必然存在兩個以上的斜距相同的點，致使斜距不單調(diào)，這同樣會導致預測命中點計算錯誤。

基于以上問題，這里提出了攔截時間區(qū)間的思想，將目標與攔截陣地之間的斜距進行單調(diào)化處理，確保在攔截區(qū)間內(nèi)任意特定斜距只存在唯一解，來解決斜距解算無法收斂到正確解的問題。

2.2 標準彈道族設(shè)計

標準彈道設(shè)計采用目前工程規(guī)劃方法中典型的多級運載火箭上升段指令生成規(guī)律進行設(shè)計。該方法將火箭上升過程分為若干飛行階段，每段設(shè)定固定的程序角變化率指令形式，而這些指令由有限個參數(shù)決定，根據(jù)任務需求預先進行優(yōu)化得到這些參數(shù)及其對應程序指令，裝訂在助推器系統(tǒng)中，上升段飛行過程中利用姿態(tài)控制系統(tǒng)實現(xiàn)程序指令即可。為尋求彈道軌跡的快速生成，將整個上升段分為3段，包括垂直上升段(0-T11)、負攻角轉(zhuǎn)彎段(T11-T12)、重力轉(zhuǎn)彎段(T12-T13)。

(1)垂直上升段

(12)

式中，1/v0為推重比。

(2)負攻角轉(zhuǎn)彎段

在轉(zhuǎn)彎段中，T11到T12為負攻角轉(zhuǎn)彎段，如圖3所示。在之后的大動壓段一般依靠重力的法向分量緩慢的轉(zhuǎn)彎，即重力轉(zhuǎn)彎段(T12～T13)。

圖3 攻角變化規(guī)律曲線Fig.3 Angle of attack variation with time

在負攻角轉(zhuǎn)彎段中，根據(jù)實際要求，攻角變化規(guī)律可以由經(jīng)驗公式給出

α(t)=-αm·sin2f(t)

(13)

(3)重力轉(zhuǎn)彎段

此段內(nèi)程序攻角為0°，攔截彈全程飛行俯仰角近似公式為

(14)

當確定了T11、T12、T13，所選取的攔截彈彈道控制變量就可以確定為助推段負攻角大小和發(fā)射方位角。

由此，以攔截陣地為原點(0，0，0)在最大負攻角區(qū)間αm∈[αmmin,αmmax]中，每隔Δα積分標準彈道，再由tmin開始，將隔條攔截彈道中時間為tmin的點連接，構(gòu)成等時間線，等時間線遵守tmin至tmax每間隔Δt連接一條的原則。由此可以獲得完整的標準彈道族，如圖4所示。

圖4 標準彈道族Fig.4 Standard trajectories collection

2.3 目標飛行器攔截時間段劃分

為解決不同時間、斜距相同的問題，需要對目標飛行器進行攔截區(qū)域劃分，并分段討論。

首先，獲得斜距與時間的關(guān)系，確定一定時間內(nèi)的斜距極值點個數(shù)n與相對應的時間tn，由此將攔截時間分為n+1段，時間段為t∈[ti-1,ti],i∈[0,n+1]，由此確保在規(guī)定時間段內(nèi)，斜距變化是單調(diào)的，不存在斜距相同的可能，如圖5所示。

圖5 目標飛行器與攔截陣地斜距-時間圖Fig.5 Range-time diagram of target vehicle and interception position

2.4 基于搜索算法的預測命中點計算

通過對攔截時間的劃分可以確保在對應的時間段內(nèi)，目標飛行器與攔截陣地的斜距是單調(diào)遞增(遞減)的，可以通過t時刻，目標飛行器的經(jīng)緯度與高度與攔截彈的經(jīng)緯度與高度是否相同來迭代預測命中點時間t與發(fā)射方位角af。但是由于攔截彈的發(fā)射方位角度af∈[0,360]，負攻角α∈[αmin,αmax]，產(chǎn)生的標準彈道族巨大，所以逐一時間、逐一標準彈道進行對比是不現(xiàn)實的，需要利用標準彈道族的物理特性基于新的搜索算法進行預測命中點搜索，提高運算效率。

攔截彈的可控變量有3個，分別是攔截彈的最大負攻角、發(fā)射方位角、飛行時間。最大負攻角與飛行時間共同決定了攔截彈的飛行高度、飛行距離，發(fā)射方位角決定攔截彈的飛行方向。其中飛行方向只與發(fā)射方位角有關(guān)，但是剩余兩項存在耦合現(xiàn)象。

因此，搜索算法可以在標準彈道族中先篩選滿足水平航程的攔截時間區(qū)間[tmin，tmax]，再根據(jù)目標飛行器的飛行高度在攔截時間區(qū)間[tmin，tmax]，及負攻角區(qū)間[αmin,αmax]中搜索滿足高度條件的飛行時間tf及負攻角α，最后利用tf時刻的目標飛行器位置確定發(fā)射方位角af，確定攔截彈的飛行軌跡，從而裝訂發(fā)射諸元。

根據(jù)攔截條件可知，只有全部滿足高度、水平航程、飛行方向條件的攔截彈才具有攔截的能力，缺少任意條件均無法有效攔截。但是一次性完成3個條件的篩選，算法過于復雜，所以可以率先篩選出滿足水平航程的攔截時間區(qū)間作為攔截時間估計區(qū)域，并在后續(xù)步驟中進一步篩選符合高度條件的時間點，確定最大負攻角，最后計算發(fā)射方位角。具體步驟如下：

(1)初步估計時間區(qū)間[tmin，tmax]

根據(jù)攔截彈的物理特性可知，相同時間內(nèi)，最大負攻角最大的攔截彈軌跡水平航程最大，則通過搜索最大負攻角最大的攔截彈道與目標彈道中同一時刻水平航程誤差最小的點，就可以獲得tmin。

假設(shè)初始飛行時間為t1，并通過目標飛行器預報信息計算出該時刻的發(fā)射方位角，同時獲得t1時刻的目標飛行器與攔截陣地的水平距離La1、t1時刻最大負攻角最大的攔截彈水平距離Ld1，誤差為ΔL1；獲得攔截彈攔截窗口終端t3時刻的目標飛行器與攔截陣地的水平距離La3、t3時刻最大負攻角最大的攔截彈水平距離Ld3，誤差為ΔL3；獲得中間時刻t2的目標飛行器與攔截陣地的水平距離La2、t2時刻與最大負攻角最大的攔截彈水平距離Ld2，誤差為ΔL2。

這里分為4種情況，并設(shè)計搜索算法：

① ΔL1>0, ΔL3>0時，說明該時間區(qū)域內(nèi)沒有攔截的可能，搜索結(jié)束。

② ΔL1<0, ΔL2<0時，說明該時間區(qū)域內(nèi)沒有攔截的可能，搜索結(jié)束。

圖6 時間搜索示意圖Fig.6 Time search diagram

確定了tmin，即可利用tmin，縮小tmax的搜索范圍。同理，相同時間內(nèi)，最大負攻角最小的攔截彈軌跡水平航程最小，則通過搜索最大負攻角最小的攔截彈道與目標彈道中同一時刻水平航程誤差最小的點，就可以獲得tmax。

假設(shè)初始飛行時間t1=tmin，并通過目標飛行器預報信息計算出該時刻的發(fā)射方位角，同時獲得t1時刻的目標飛行器與攔截陣地的水平距離La1、t1時刻最大發(fā)射傾角的攔截彈水平距離Ld1，兩者誤差為ΔL1；獲得攔截彈攔截時間區(qū)域終端t3時刻的目標飛行器與攔截陣地的水平距離La3、t3時刻最大負攻角最小的攔截彈水平距離Ld3，兩者誤差為ΔL3；獲得中間時刻t2的目標飛行器與攔截陣地的水平距離La2、t2時刻與最大負攻角最小的攔截彈水平距離Ld2，誤差為ΔL2。并再次利用二分法確定最大值tmax。

(2)標準彈道選取

由于前期的發(fā)射時間估計區(qū)域的確立，根據(jù)t∈[tmin,tmax]的目標飛行器的位置信息確定t時刻相對應的攔截彈發(fā)射方位角af∈[afmin,afmax]，根據(jù)目標飛行器的高度，確定與目標飛行器距離誤差最小的負攻角α，存儲t時刻ΔLt，最后選取t∈[tmin,tmax]中ΔLt最小的彈道作為攔截彈道。

具體流程圖如圖7、圖8所示。

圖7 篩選流程圖Fig.7 Screening flow

2.5 發(fā)射時間窗口計算

由于攔截任務的需要，攔截彈可能需要延時發(fā)射，所以有必要計算出可行的攔截彈延時發(fā)射時間區(qū)間以及相關(guān)諸元。

由于攻擊彈與攔截陣地的斜距可以轉(zhuǎn)化為距離攔截陣地的水平距離與垂直距離，同理攔截彈與攔截陣地的斜距也可以轉(zhuǎn)化為距離攔截陣地的水平距離與垂直距離。以水平距離為橫坐標，垂直距離為縱坐標，不同標準彈道與預報彈道的交點就是可能的預測命中點。由于攻擊彈到達可能的預測命中點的時間t4與攔截彈到達可能的預測命中點的時間t5是已知的，只要滿足t4>t5就認為是可選的預測命中點。通過比較所有的可選預測命中點，得到最大的延遲時間Δt=max(t4-t5)，則獲得攔截時間窗口t∈[0,Δt]，并通過t4時刻的目標位置計算出相對應的發(fā)射方位角af。

3 仿真分析

3.1 仿真輸入

設(shè)目標飛行器初始飛行速度Ma=10，初始為平衡滑翔狀態(tài)，60s～80s只進行縱向機動，80s～120s只進行橫向機動。攔截陣地經(jīng)緯度為(-3.9°，79.8°)，目標飛行器發(fā)現(xiàn)點經(jīng)緯度為(-2.10°，80.58°)，滿足預報精度誤差的預報時間為120s，如圖9所示。

圖8 預測命中點及發(fā)射諸元解算流程圖Fig.8 Flow charts for predicted impact point and launch data calculation

圖9 目標軌跡圖Fig.9 Trajectory diagram

3.2 預測命中點規(guī)劃仿真分析

由于目標飛行器可能存在機動，所以斜距與飛行時間不是簡單的線性關(guān)系，需要對目標預報彈道進行單調(diào)化處理，具體關(guān)系如圖10所示。

圖10 目標飛行器、攔截陣地斜距—時間圖Fig.10 Range-time diagram of target vehicle and interception position

由圖10可見，目標飛行器與攔截陣地斜距先降低后增加，所以發(fā)射窗口被分為兩個區(qū)間，分別為t∈[0,90],t∈[90,120]。

在t∈[0,90]區(qū)間內(nèi)，通過迭代發(fā)現(xiàn)在89s時，發(fā)射方位角為-35.73°，負攻角為-10.26°，預測命中點為(-3.6°，79.7°)，此時采用標稱彈道的攔截彈與目標的預報位置誤差為0.52km，可以通過后續(xù)的末制導環(huán)節(jié)進行修正，認為符合攔截條件，如圖11所示。

圖11 攔截示意圖Fig.11 Interception schematic

在t∈[90,120]區(qū)間內(nèi)，通過迭代沒有發(fā)現(xiàn)滿足當前時刻發(fā)射的攔截點，所以符合命中條件的預測命中點只有一個，為(-3.6°，79.7°)，計算用時0.2s。

3.3 攔截時間窗口計算仿真分析

通過對發(fā)射窗口計算，發(fā)現(xiàn)最大延遲時間為11s，發(fā)射方位角為-82.19°，負攻角為-12.25°,預測命中點(-3.9°，79.4°)，此時采用標稱彈道的攔截彈與目標的預報位置誤差為0.34km，同樣可以通過后續(xù)的末制導環(huán)節(jié)進行修正，計算用時0.3s，如圖12所示。

圖12 最大延遲時間攔截示意圖Fig.12 Maximum delay time interception diagram

針對拋物線彈道延遲發(fā)射諸元如表1所示。

由表1可知，由雷達首次發(fā)現(xiàn)目標的時刻至隨后的11s內(nèi)，隨著攔截高度的降低，最大負攻角幅值變大。同時所有選取的時間節(jié)點均有攔截彈道可以準時飛抵預測命中點，可以認為在0s～11s這個攔截窗口內(nèi)攔截窗口時間連續(xù)，所有的預測命中點均有標準彈道與其相對應。

表1 延時發(fā)射諸元表

4 結(jié)論

本文針對臨近空間高機動飛行器機動能力強，所帶來的彈道中存在多個斜距相同的點，導致基于斜距迭代預測命中點的方法不適用的問題，通過彈道劃分的方法，保證了每個搜索區(qū)間的斜距具有單調(diào)性。在此基礎(chǔ)上利用改進的快速搜索算法，準確有效地完成預測命中點規(guī)劃與發(fā)射時間窗口計算?？紤]高超聲速飛行器預報精度差，所帶來的更新后的預測命中點與原有預測命中點位置偏差較大的問題，未來將開展攔截彈道在線快速糾偏方法的研究，來彌補此方面的不足。