王光宇

摘? ?要：FIR與IIR頻率選擇濾波器的設計，被廣泛應用于數(shù)字信號處理領域之中。文章以雷達回波信號的數(shù)字處理為例，首先分別設計FIR，IIR濾波器完成了對信號特定頻率分量的濾除。進而，針對IIR濾波器的非線性相位，基于最優(yōu)化設計全通系統(tǒng)實現(xiàn)了相位補償，并對FIR，IIR濾波器進行了綜合比較。

關鍵詞：無限沖激響應數(shù)字濾波器;有限沖激響應數(shù)字濾波器;全通系統(tǒng);相位補償

根據(jù)沖激響應的長度是否有限，可以將數(shù)字濾波器劃分為無限沖激響應（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器和有限沖激響應（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器。根據(jù)實際要求，合理選擇濾波器的類別，在實現(xiàn)預期效果的同時盡可能降低成本，具有重要現(xiàn)實意義。

1? ? 雷達回波信號的模擬

假設雷達回波信號包含載頻50 MHz，帶寬10 MHz，時寬10 μs的線性調頻脈沖信號和20 MHz，80 MHz的正弦波，即：

2? ? 數(shù)字濾波器設計的基本理論

根據(jù)廣義線性相位系統(tǒng)的充分條件[1]知，h[n]為有限長偶對稱序列，因此FIR數(shù)字濾波器具有線性相位、恒定群延遲，不會造成信號的相位失真。

對于頻率選擇性IIR數(shù)字濾波器的設計，通常是根據(jù)經(jīng)典模擬濾波器原型，采用雙線性變換法[2]實現(xiàn)，且模擬頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的映射關系為：

3.2? 求解最優(yōu)全通補償系統(tǒng)的算法描述

在式（6）所示規(guī)劃問題時，設計不同階數(shù)的全通系統(tǒng)（即在一定范圍內遍歷N的取值），并在每一固定階數(shù)下求解關于損失函數(shù)最小的無約束最優(yōu)化問題，然后權衡系統(tǒng)階數(shù)、極點分布情況對初代最優(yōu)解進行篩選，得到最優(yōu)補償系統(tǒng)設計。具體步驟如下。

Algorithm 1：最優(yōu)相位補償系統(tǒng)設計算法。

Step 1：初始化系統(tǒng)階數(shù)N。

Step 2：在當前N下，初始化系統(tǒng)函數(shù)（對應于式（4））的各階系數(shù){ak|k=1，2，…，N}。

Step 3：計算由當前N、{ak|k=1，2，…， N}決定的補償系統(tǒng)損失函數(shù)FCost，若優(yōu)化算法收斂，輸出系統(tǒng)階數(shù)N、各階系數(shù){ak|k=1，2，…，N}、損失函數(shù)FCost及相關量化指標;否則，基于算法搜索原則，更新各階系數(shù)。

Step 4：重復Step 3，直至算法收斂，記錄相關參數(shù)與結果。

Step 5：更新網(wǎng)絡階數(shù)N，重復Step 2～Step 4，得到多組階數(shù)N下的損失函數(shù)FCost及各階系數(shù){ak|k=1，2，…，N}。

Step 6：結合量化指標及對相位曲線擬合度的直觀判斷，得到最優(yōu)階數(shù)N與最優(yōu)系統(tǒng)各階系數(shù){ak|k=1，2，…，N}，完成最優(yōu)相位補償系統(tǒng)設計。

在實際有限精度計算中，需要對系統(tǒng)頻率響應進行抽樣分析，本次實驗中選取抽樣點數(shù)η=256。

4? ? 設計結果與分析

4.1? 濾波器效果的評價指標

考慮以均方誤差MSE、平均絕對誤差MAE作為量化指標，衡量處理后信號時域波形與線性調頻脈沖時域波形的吻合程度，定義如下：

4.2? 相位補償效果的評價指標

為量化評估全通系統(tǒng)相頻響應與理想補償相位的逼近程度，引入歸一化均方根誤差LNRMS、最大絕對誤差eθmax兩項指標，定義如下：

4.3? 設計結果與分析

表1為Butterworth IIR、Kaiser FIR濾波器的設計結果，圖2繪制了雷達信號經(jīng)兩種濾波器濾波后的幅度譜?？梢?，在相同技術指標下，Butterworth IIR，Kaiser FIR均完成了對原信號中正弦波成分的濾除;由MSE，MAE知，濾波后信號波形與線性調頻脈沖信號逼近良好。由于IIR濾波器采用遞歸結構實現(xiàn)，如不考慮相位的失真效應，在相同技術指標下，設計Butterworth IIR濾波器僅需要8階，而設計Kaiser FIR濾波器需要30階[3]。

表2列出了Butterworth IIR濾波器的最優(yōu)相位補償參數(shù)，對于8階Butterworth IIR濾波器，在不嚴格給定相位誤差限制的前提下，按照3.2節(jié)算法得到的最優(yōu)全通系統(tǒng)需要10階。圖3繪制了Butterworth IIR濾波器相位補償前后的相頻響應與群延遲，通過級聯(lián)全通系統(tǒng)相位補償后，濾波器相位線性程度顯著提高，群延遲的變化幅度減小。通過級聯(lián)全通系統(tǒng)加以相位補償，可以明顯改善信號的相位失真問題，但將大大提高濾波器系統(tǒng)復雜程度[4]。

5? ? 結語

對于頻率選擇性濾波器，IIR濾波器以較低階數(shù)即可獲得可觀的頻選特性，系統(tǒng)結構復雜度低、經(jīng)濟高效。但若要避免信號相位的失真，必須級聯(lián)全通系統(tǒng)加以相位補償，使整個系統(tǒng)的階數(shù)、復雜性、計算工作量大大提高。FIR濾波器本身具有線性相位，但要獲得較高頻選特性，需采用較高階數(shù)進行設計，從而增加結構復雜度與信號延遲。因此，IIR和FIR濾波器各有所長，在實際中應統(tǒng)籌考慮各方面因素進行選擇。

[參考文獻]

[1]PROAKIS J，MANOLAKIS D.Digital signal processing[M].Third edition.London：Pearson Education，2005.

[2]DENG T.Simplified linear-programming method for designing all-pass phase-compensation network[C].Ho Chi Minh City：International Conference on Control，2012.

[3]趙淑清.隨機信號分析[M].3版.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，1996.

[4]DENG T.Minimax design of low-complexity allpass variable fractional-delay digital fifilters[J].IEEE Trans.Circuits Syst.I，2010（8）：2075-2086.