李永華，張 月，石姍姍

（大連交通大學(xué)機(jī)車車輛工程學(xué)院，遼寧大連116028）

在機(jī)械類產(chǎn)品中，進(jìn)行樣本量較大的試驗往往比較昂貴，對產(chǎn)品進(jìn)行跟蹤也不容易獲得大量的失效數(shù)據(jù)?；跇O小子樣的方法評估缺少試驗數(shù)據(jù)的機(jī)械系統(tǒng)具有較好的準(zhǔn)確性，因此，研究基于極小子樣下的機(jī)械系統(tǒng)可靠性評估方法是當(dāng)前解決小樣本事件的有效途徑之一［1］。

目前主要解決小樣本數(shù)據(jù)的分析方法是數(shù)據(jù)樣本擴(kuò)充，比較常用的擴(kuò)容方法有蒙特卡洛法［2-3］、支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）［4-5］和Bootstrap方法［6-7］。蒙特卡洛法原理簡單，但在極小子樣的可靠性評估中誤差比較大［8］。SVM在小樣本數(shù)據(jù)回歸的處理上，能夠利用現(xiàn)有樣本擬合出較為理想的分布特征，克服了其他方法對樣本容量需求大的問題，但其準(zhǔn)確性對參數(shù)較為敏感，參數(shù)的優(yōu)化過程較為繁瑣［9］。Bootstrap方法很好地解決了試驗樣本量n≥10的小子樣可靠性評估問題。但是對于樣本量為n=1～3的極小子樣可靠性評估，Bootstrap法也無能為力。且研究發(fā)現(xiàn)Bootstrap方法在擴(kuò)展樣本的過程中，再生樣本數(shù)據(jù)會向均值集中，使得再生樣本與原樣本有較高的重復(fù)性［10］。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者在極小子樣可靠性評估領(lǐng)域取得了很多研究成果。蔣喜等［11］提出了Bayes結(jié)合虛擬增廣樣本的分析方法，解決極小子樣的可靠性評估問題。馬宇鵬等［12］提出了Bootstrap-支持向量回歸（SVR）-二階累計量（SOC）方法框架和多階矩虛擬樣本容量擴(kuò)充方法，解決小子樣結(jié)構(gòu)機(jī)構(gòu)可靠性分析的問題。將Bootstrap與SVR方法結(jié)合，構(gòu)建出結(jié)構(gòu)機(jī)構(gòu)可靠性極限狀態(tài)函數(shù)，并利用SOC方法計算可靠度指標(biāo)。該方法使用SOC方法進(jìn)行計算雖然一定程度上減少了迭代次數(shù)，但其計算量還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于Bootstrap方法。黃瑋等［13］將虛擬增廣樣本法與Bootstrap方法相結(jié)合，解決了極小子樣下使用Bootstrap方法進(jìn)行評估結(jié)果不夠準(zhǔn)確的問題。但此方法中沒有對Bootstrap方法抽樣結(jié)果集中的問題給予妥善的解決。

本文提出一種基于齒輪箱箱體極小樣本下的可靠性評估方法。針對Bootstrap方法的抽樣過程存在的不足進(jìn)行改進(jìn)，并將虛擬增廣樣本評估方法和四分位差估計法與Bootstrap相結(jié)合用于極小子樣下的齒輪箱箱體可靠性評估，其結(jié)果更接近于真實情況。

1 改進(jìn)Bootstrap法求解性能分布函數(shù)

1.1 虛擬增廣樣本法基本原理

本文主要研究齒輪箱箱體可靠性評估問題，工程試驗得出以下兩條經(jīng)驗［14］：①機(jī)械零部件的疲勞壽命基本服從對數(shù)正態(tài)分布；②該部分總體的標(biāo)準(zhǔn)差大致為0.17。

目前對于小子樣或極小子樣的工程問題，并沒有特別準(zhǔn)確的評估方法。為了較為準(zhǔn)確地對其進(jìn)行評估，本文采用半經(jīng)驗方法來處理上述問題。

假設(shè)原始樣本量n=2運(yùn)用虛擬增廣樣本法增廣至n=10。用參數(shù)表示的增廣后的樣本為［14］

1.2 Bootstrap方法基本原理

Bootstrap方法是基于原始樣本，并對其進(jìn)行重抽樣產(chǎn)生新的樣本，根據(jù)新樣本的分布形式判斷總體的分布特征［15］。其基本原理描述如下：

設(shè)來自總體的原始樣本分布為F(x)。樣本x中的某一統(tǒng)計量為θ(F)（如期望、標(biāo)準(zhǔn)差等），

式中：θ?(F)為θ(F)的估計；Tn為估計誤差。

現(xiàn)從F(x)中重新抽樣得到新的再生樣本X?=(，…，)，再生樣本服從分布函數(shù)F?(x)，實際上F?(x)是F(x)的一個逼近，定義

利用的統(tǒng)計分析逼近Tn，重復(fù)上述抽樣過程，得到每次的，根據(jù)式（2）和式（3）計算得到統(tǒng)計量的可能取值，將該值作為θ(F)的一個樣本點，采用數(shù)理統(tǒng)計分析θ(F)的樣本，求得θ(F)的估計值。

1.3 Bootstrap方法的改進(jìn)與性能分布函數(shù)求解

為解決Bootstrap方法存在的不足，本文提出先對極小子樣采用虛擬樣本增廣法將樣本量由極小子樣增廣至小子樣。再對小子樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，然后分別對每組樣本進(jìn)行重抽樣，克服再生樣本過于集中的問題［16］。具體操作：將增廣后小樣本X=(x1，x2，…，xn)分為n組，每一組有n-1個樣本，每個樣本在增廣樣本的基礎(chǔ)上刪除掉第n-m+1項。如X1=(x1，x2，…，xn-1)，X2=(x1，x2，…，xn-2，xn)，…，Xm=(x1，x2，…，xn-m，xn-m+2，…，xn)，…，Xn=(x2，x3，…，xn)。

按照Fn(x)分布對各分組樣本進(jìn)行抽樣。以X1為例，生成新的樣本為=(，…，)，求得新樣本的均值μ?和標(biāo)準(zhǔn)差S?，按照式如下公式分別求出均值、標(biāo)準(zhǔn)差的誤差逼近值和，進(jìn)而可求得性能參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值，即

對X1到Xn進(jìn)行獨立重復(fù)抽樣后，可求得多組性能參數(shù)的μ?和σ?，取其平均值作為最終結(jié)果，并由此求得參數(shù)的分布函數(shù)。

1.4 四分位差估計法估計標(biāo)準(zhǔn)差

四分位差是上四分位數(shù)（Q3，即位于75%）與下四分位數(shù)（Q1，即位于25%）的差：

Wan等［17］提出利用四分位差來估計樣本的標(biāo)準(zhǔn)差：

該方法不僅運(yùn)用了次序統(tǒng)計量的重要性，也包含了樣本量的信息，更為準(zhǔn)確。

1.5 綜合利用極大似然估計法和四分位差估計法

為進(jìn)一步解決Bootstrap方法再生樣本數(shù)據(jù)會向中間點集中的問題，提出一種綜合估計方法。設(shè)某一樣本數(shù)據(jù)X=(x1，x2，…，xn)，分別利用極大似然估計法、四分位差估計法估計出的標(biāo)準(zhǔn)差估計值σ?L與 σ?I，隨后計算組合標(biāo)準(zhǔn) σ?com［17］：

最終將組合標(biāo)準(zhǔn)差σ?com作為標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計值。

2 極小樣本下可靠性評估流程

基于極小子樣的性能數(shù)據(jù)可靠性分析，其流程分為兩個部分：一是對極小子樣利用虛擬增廣樣本法增廣；二是將增廣后的樣本運(yùn)用改進(jìn)的Bootstrap法進(jìn)行可靠性評估。具體流程如圖1所示。

3 齒輪箱箱體可靠性評估

對于在某線路上運(yùn)行的城軌列車，其齒輪箱箱體分別在列車運(yùn)行累計里程為63 369 km和20 145 km時，出現(xiàn)疲勞裂紋并開始滲油。根據(jù)此故障信息對該批次列車齒輪箱箱體進(jìn)行可靠性的評估。

圖1 改進(jìn)的Bootstrap法可靠性評估流程Fig.1 Improved Bootstrap method reliability assessment flow chart

3.1 半經(jīng)驗方法評估

式中：Y1=lgS1=lg 63369=4.801877；Y2=lgS2=lg20145=4.304 167；α=0.05是給定的危險度。求解得S?low(ban)=25049.9834。

3.2 虛擬增廣樣本法評估

將控制系數(shù)a，b，c按照1.1節(jié)所介紹的虛擬增廣樣本法進(jìn)行增廣控制系數(shù)的取值，如表1所示。增廣結(jié)果如表2所示。

表1 控制系數(shù)取值Tab.1 Control coefficient value

表2 X的增廣樣本Tab.2 Augmented samples of X

將以上4組增廣樣本分別運(yùn)用Bootstrap方法進(jìn)行抽樣，抽樣次數(shù)N=10 000次，得到齒輪箱箱體的壽命均值和標(biāo)準(zhǔn)差的分布，b=4，a=0.007 8，c=0.017 5，這組控制系數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差分布如圖2和圖3所示。

圖2 未分組抽樣均值的直方圖分布Fig.2 Distribution histogram of ungrouped sample means

圖3 未分組抽樣標(biāo)準(zhǔn)差的直方圖分布Fig.3 Distribution histogram of standard deviation of ungrouped sampling

將4組增廣后樣本用傳統(tǒng)的Bootstrap方法評估結(jié)果與半經(jīng)驗法的評估結(jié)果相比，結(jié)果如表3所示。

由表3可知，b=4，a=0.007 8，c=0.017 5這組控制系數(shù)，是與半經(jīng)驗估計方法估計結(jié)果最相近的一組數(shù)據(jù)，故采用b=4，a=0.007 8，c=0.017 5這組控制系數(shù)進(jìn)行改進(jìn)的Bootstrap估計。

表3 4組控制系數(shù)取點結(jié)果比較Tab.3 Comparison of the results of 4 groups of control coefficients

3.3 利用改進(jìn)的Bootstrap方法進(jìn)行評估

將3.2節(jié)中得到的樣本按照1.5節(jié)中介紹的分組方法進(jìn)行分組，分為10組，具體分組結(jié)果如表4所示。對分組后的樣本采用Bootstrap方法抽樣，抽樣次數(shù)N=10 000次，得到均值、標(biāo)準(zhǔn)差的分布如圖4和圖5所示。

表4 改進(jìn)的Bootstrap方法樣本Tab.4 Samples of the improved Bootstrap method

利用正態(tài)分布圖分別對Bootstrap方法和分組后的Bootstrap方法抽樣獲得的樣本進(jìn)行檢驗，均能夠比較好地擬合樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的分布。運(yùn)用最大似然估計法分別將Bootstrap抽樣方法得到的樣本和分組后的Bootstrap抽樣方法得到的樣本進(jìn)行估計，得到置信度為95%時樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計值和均值的估計值。未分組、分組下的均值和方差的比較如表5所示。由表5可知，分組與未分組抽樣下的極大似然估計法獲得的均值的估計值差異較小。但樣本分組抽樣后的標(biāo)準(zhǔn)差估計值與未分組抽樣時的標(biāo)準(zhǔn)差估計值相比略有改善。

圖4 分組抽樣均值的直方圖分布Fig.4 Distribution histogram of grouped sample means

圖5 分組抽樣標(biāo)準(zhǔn)差的直方圖分布Fig.5 Distribution histogram of standard deviation of group sampling

表5 未分組、分組下的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比較Tab.5 Comparison of mean and standard deviation under ungrouped and grouped samples

當(dāng)b=4，a=0.007 8，c=0.017 5時未分組增廣樣本的四分位差估計法估計標(biāo)準(zhǔn)差的值為σ?I=0.1521。分組后樣本的四分位差估計法估計標(biāo)準(zhǔn)差的值為σ?I=0.162。將最大似然估計法得到的標(biāo)準(zhǔn)差估計值與四分位差估計法得到的標(biāo)準(zhǔn)差估計值綜合進(jìn)行考慮，得到最終的標(biāo)準(zhǔn)差估計值，如表6所示。

利用改進(jìn)的Bootstrap方法得到的標(biāo)準(zhǔn)差估計值，與未分組抽樣下綜合利用極大似然估計法和四分位差估計法得到的標(biāo)準(zhǔn)差估計值相比增大了1.44%，與傳統(tǒng)的Bootstrap方法得到的標(biāo)準(zhǔn)差估計值相比增大了3.40%。這是由于分組后的樣本相對分散，與四分位差估計法綜合后進(jìn)一步分散了樣本的分布，更加符合齒輪箱箱體的疲勞壽命的分布。

齒輪箱箱體的疲勞壽命可靠度曲線如圖6所示。

表6 Bootstrap方法改進(jìn)前后均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比較Tab.6Comparison of the mean and standard deviation of the improved Bootstrap method and the classic Bootstrap method

圖6 齒輪箱箱體疲勞壽命可靠度曲線Fig.6 Gearbox case fatigue life reliability curve

由圖6可知：行駛里程在約35 000 km前，改進(jìn)的Bootstrap方法的可靠度評估結(jié)果比傳統(tǒng)的Bootstrap方法的可靠度評估結(jié)果?。欢诩s35 000 km后，改進(jìn)的Bootstrap方法的可靠度評估結(jié)果高于傳統(tǒng)的Bootstrap方法的可靠度評估。

4 結(jié)論

本文運(yùn)用虛擬增廣樣本法和四分位差估計法結(jié)合改進(jìn)的Bootstrap方法，對某列車齒輪箱箱體的疲勞壽命進(jìn)行可靠性評估，得出如下結(jié)論：

（1）通過分析指出了Bootstrap方法在極小子樣評估問題中存在的不足，通過虛擬增廣樣本法對原始樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行增廣，使其能夠符合Bootstrap方法的運(yùn)用條件。

（2）運(yùn)用改進(jìn)后Bootstrap方法對增廣后的樣本進(jìn)行可靠性評估，初步分散了齒輪箱箱體的疲勞壽命分布。綜合利用改進(jìn)的Bootstrap方法和四分位差估計法，進(jìn)一步分散了齒輪箱箱體的疲勞壽命分布。本文方法對極小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性分析較傳統(tǒng)方法更為合理。

（3）在可靠性分析中，僅考慮了齒輪箱箱體產(chǎn)生裂紋并滲油的失效模式，因此，計算結(jié)果仍存在一些誤差，需要在后續(xù)的研究中進(jìn)一步探索。