歐小平

1634年，法國(guó)有一個(gè)叫帕斯卡的12歲男孩，他的父親是一位受人尊敬的數(shù)學(xué)家。但他父親錯(cuò)誤地認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)帕斯卡的身心健康有害，所以，他把家里所有的數(shù)學(xué)書(shū)都藏起來(lái)，不讓帕斯卡看，甚至不允許他的朋友在帕斯卡面前談?wù)摂?shù)學(xué)。父親只讓帕斯卡讀很多古典文學(xué)書(shū)籍，希望帕斯卡能學(xué)好文學(xué)。

可“有意栽花花不開(kāi)，無(wú)心插柳柳成蔭”，帕斯卡父親的這些做法，反而激發(fā)了帕斯卡對(duì)數(shù)學(xué)強(qiáng)烈的好奇感和探究的興趣。他開(kāi)始偷偷地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

有一天，他問(wèn)父親：“幾何學(xué)是什么？”他父親只是簡(jiǎn)單地回答說(shuō)：“幾何學(xué)是教人們畫(huà)出正確而又美麗的圖畫(huà)的學(xué)科?！庇谑桥了箍弥酃P，在地上畫(huà)了各種幾何形狀。畫(huà)著畫(huà)著，12歲的帕斯卡突然發(fā)現(xiàn)，不論是大的三角形，還是小的三角形，抑或是不同形狀的三角形，它們的內(nèi)角和總是180°。為了證明“任意三角形的內(nèi)角之和為180°”這一規(guī)律，年僅12歲的帕斯卡用更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S證明了：一個(gè)任何形狀的銳角三角形都可以沿著它的高分為兩個(gè)直角三角形，而兩個(gè)直角三角形內(nèi)角的角度之和為180°+180°=360°，但由于其中的兩個(gè)直角正好組合成了一條直線，因此任意三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為360°-90°-90°=180°。用同樣的方法可以證明出鈍角三角形的三個(gè)內(nèi)角之和也是180°。

當(dāng)帕斯卡把這個(gè)發(fā)現(xiàn)告訴父親時(shí)，父親非常興奮，主動(dòng)把所有的數(shù)學(xué)藏書(shū)都拿出來(lái)給帕斯卡看。在父親的精心教育下，帕斯卡很早就掌握了歐幾里得幾何學(xué)。他甚至獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了歐幾里得幾何學(xué)中的前32個(gè)定理，并且順序是正確的。后來(lái)，帕斯卡通過(guò)不斷地學(xué)習(xí)和探索，終于成為一名世界聞名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家。

數(shù)學(xué)家帕斯卡讓我們?yōu)橹痼@，他年紀(jì)輕輕就能夠發(fā)現(xiàn)如此重要的規(guī)律。美籍華裔數(shù)學(xué)家陳省身也讓我們驕傲和引以為豪。他是當(dāng)代著名的數(shù)學(xué)家，非常關(guān)心祖國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被譽(yù)為“中國(guó)年輕數(shù)學(xué)學(xué)子的總教練”。

1980年，陳省身教授在北京大學(xué)的一次演講中語(yǔ)驚四座：“人們常說(shuō)三角形內(nèi)角之和等于180°，但那是不對(duì)的！”大家都感到非常愕然。究竟怎么回事？任意三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于180°，這不是連小學(xué)生都已經(jīng)知道了的數(shù)學(xué)常識(shí)嗎？陳省身教授面對(duì)大家的疑問(wèn)，給了我們一個(gè)非常精辟的解答：“說(shuō)三角形的內(nèi)角和是180°是錯(cuò)誤的，不是說(shuō)這個(gè)事實(shí)是錯(cuò)誤的，而是說(shuō)這種看待問(wèn)題的方式是錯(cuò)誤的。我們應(yīng)該說(shuō)三角形的外角和是360°。”

如果我們把目光僅僅盯住內(nèi)角，那就只能看到三角形三個(gè)內(nèi)角之和是180°，四邊形的四個(gè)內(nèi)角之和是360°，五邊形的五個(gè)內(nèi)角之和是540°……n條邊的多邊形內(nèi)角之和是（n-2）×180°。

但是，如果我們來(lái)研究一下多邊形的外角和，情況又會(huì)怎么樣呢？通過(guò)研究，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形的外角之和是360°，四邊形的外角之和是360°，五邊形的外角之和也是360°……任意n條邊的多邊形的外角之和都是360°。這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的結(jié)論，它概述了各種情況。用一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)代替與n有關(guān)的計(jì)算公式，得到了一個(gè)更一般的規(guī)律。

想象一只螞蟻圍繞多邊形的邊界繞圈子爬行，每次經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，它的方向都會(huì)改變一次，而且改變的角度正好是頂點(diǎn)地方的外角。當(dāng)螞蟻爬完一圈又回到原點(diǎn)，方向和出發(fā)時(shí)是一樣的，而角度變化的總和正好是360°。

這樣看問(wèn)題，不僅可以直觀地解釋多邊形外角之和等于360°的一般規(guī)律，而且可以立即將我們的目光引向更廣闊的世界。

一條凸的閉曲線——卵形線，它沒(méi)有內(nèi)角也沒(méi)有外角。但當(dāng)一只螞蟻在卯形線上爬行時(shí)，爬行方向會(huì)不時(shí)地改變，爬完一圈，角度變化之和是360°。

“外角和為360°”，此規(guī)則適用于閉合曲線！只是在表述的時(shí)候要用“方向改變量之和”來(lái)代替多邊形中的“外角和”的說(shuō)法罷了。

數(shù)學(xué)家波萊爾說(shuō)：“數(shù)學(xué)家的目的往往是尋求一般的解，他喜歡用幾個(gè)一般的公式來(lái)解決許多特殊的問(wèn)題?！奔磸墓餐?、眾所周知的事實(shí)出發(fā)，逐步深化和普及，挖掘出廣泛適用的深刻規(guī)律。從這里，我們不難看出數(shù)學(xué)家透徹敏銳的眼光，以及數(shù)學(xué)家對(duì)真理窮追不舍、孜孜以求的執(zhí)著精神。