柳文清，陳清婉

(閩南科技學(xué)院通識教育學(xué)院，福建 泉州 362300)

0 引 言

對于捕食-食餌模型，國內(nèi)外已有許多研究，并且取得了許多有意義的成果.如解的整體存在性、穩(wěn)定性、唯一性；解的局部和全局分歧及周期解等[1-4].在許多生態(tài)系統(tǒng)中，種群為獲得賴以生存的食物和棲息環(huán)境，必然會向種群密度低的地方遷移，由于疾病的擴(kuò)散、生物入侵等因素，也會導(dǎo)致種群不同程度的擴(kuò)散.另外，種群之間的相互作用，例如種群之間的相互吸引、相互排斥，捕食者追逐獵物等也會導(dǎo)致種群擴(kuò)散.基于以上背景，文獻(xiàn)[5]首次提出如下具有交錯擴(kuò)散的種群競爭模型：

其中：d1、d2分別是u、v的擴(kuò)散率；a11、a22是自擴(kuò)散系數(shù)，表示種內(nèi)生物競爭或避免擁擠所形成的擴(kuò)散；a12>0、a21>0是交錯擴(kuò)散系數(shù)，表示競爭者種群之間相互作用形成的擴(kuò)散.文獻(xiàn)[6-15]進(jìn)一步研究了兩種群交錯擴(kuò)散捕食-食餌模型和互惠模型.但是帶B-D功能性反應(yīng)函數(shù)的交錯擴(kuò)散模型的研究很少見.本文考慮具有B-D功能性反應(yīng)函數(shù)的交錯擴(kuò)散模型：

(1)

其中:u、v分別表示食餌和捕食者密度，邊界條件表示系統(tǒng)是封閉的;r表示食餌內(nèi)稟增長率;k表示環(huán)境容納量;s為捕食者死亡率;p、q分別表示捕獲率和食餌轉(zhuǎn)化率;a、b表示捕食對食餌的飽和作用以及捕食者之間的相互作用.

本文的主要目的是研究系統(tǒng)(1)中交錯擴(kuò)散系數(shù)a21對系統(tǒng)的影響.為此，先分別討論系統(tǒng)(1)的唯一正平衡點在a21=0時的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性，證明了a21充分大時，正平衡點的不穩(wěn)定性及交錯擴(kuò)散系數(shù)充分大時系統(tǒng)(1)非常數(shù)正平衡解的存在性.

通過簡單計算，系統(tǒng)(1)存在唯一邊界平衡點E1(k，0)，并且當(dāng)滿足條件

(H1)(q-sa)u*-s>0

時，存在唯一的非常數(shù)正平衡點E*(u*，v*)，其中：

1 交錯擴(kuò)散引起的Turing不穩(wěn)定性

記Ω上的算子Δ在齊次Neuuman邊界條件下的特征值序列為0=μ0≤μ1≤…≤μk≤…，U=(u，v)T，

于是系統(tǒng)(1)在平衡點E*(u*，v*)處的線性化問題為

Ut=ΦU(E*)ΔU+FU(E*)U.

對于i∈*，設(shè)λ是矩陣

-μiΦU(E*)+FU(E*)

(2)

的特征值，計算可得

由此得矩陣(2)的特征方程為

det[λI+μiΦU(E*)-FU(E*)]=λ2+Aiλ+Bi，i∈*，

(3)

通過計算可得

Ai=μiA11+μiA22-B11-B22，
Bi=(μiA11-B11) (μiA22-B22)- (μiA12-B12) (μiA21-B21),i∈*.

下面先證明a21=0時平衡點E*的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性，再證明a21足夠大時的不穩(wěn)定性，以此說明交錯擴(kuò)散系數(shù)a21可引起Turing不穩(wěn)定性.記

顯然R2>1時，R1>1.

引理1當(dāng)a21=0且R1>1時，系統(tǒng)(1)的平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.

證明：當(dāng)R1>1時，有

從而Ai>0，Bi>0，此時特征方程的根均有負(fù)實部，故系統(tǒng)(1)當(dāng)a21=0且R1>1時的平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.證畢.

定理1當(dāng)a21=0且R2>1時，系統(tǒng)(1)的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.

證明:構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

2 非常數(shù)正平衡解的存在性

考慮系統(tǒng)(1)所對應(yīng)的橢圓方程組

(4)

這表明

下面證明u，v的下界.因為φ1(x)滿足方程

而且

(5)

由于

再結(jié)合式(5)可得

(6)

同理存在正常數(shù)M5>0使得

(7)

(8)

F(D，U)=U-(I-Δ)-1{[ΦU(U)]-1[F(U)+U·ΦUU(U)U]+U}=0，

DUF(D，E*)=I-(I-Δ)-1{[ΦU(E*)]-1[FU(E*)+I]}.

記H(μi)=det{μiI-[ΦU(E*)]-1FU(E*)}(i∈*).由Leray-Schander定理，有以下引理:

引理3若對所有正整數(shù)i都有H(μi)≠0，則

由于det[ΦU(E*)]-1>0，故只需考慮det{μi[ΦU(E*)]-FU(E*)}的符號來判斷H(μi)的符號.

定理3若

且存在某個奇數(shù)i∈*，有則存在正常數(shù)C*，當(dāng)a21>C*時，系統(tǒng)(4)至少有一個非常數(shù)正平衡解.

證明:利用反證法.假設(shè)結(jié)論不成立.對t∈[0，1]，定義Φ(t，U)=((d1+a11u)u，(d2+a21u+a22v)v)T.考慮如下方程

(9)

另一方面，當(dāng)t=0時，由引理1的證明過程可知，當(dāng)R1>1時，對所有μi≥0，H(μi)<0.故此時deg(F(D，·)，E*)=(-1)0=1.由Leray-Schander度的同倫不變性可得矛盾.這說明系統(tǒng)(4)至少有一個不同于E*的解.證畢.