余芝軒

(黃岡職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 黃岡 438002)

1 引言

隨著社會(huì)的發(fā)展與進(jìn)步，新技術(shù)、新材料、新方法不斷出現(xiàn)，人類(lèi)在社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)中所面臨的工程日益復(fù)雜，越來(lái)越多的數(shù)值計(jì)算方法正在被人們所提出、接受以及研究。對(duì)于每一種數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算精度、計(jì)算效率以及適用范圍往往都是研究的重點(diǎn)。

計(jì)算機(jī)結(jié)合比例邊界有限元法是由John.P.Wolf 和Chongmin Song提出的一種結(jié)合了邊界元和有限元諸多優(yōu)點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算方法[1]。目前已有學(xué)者對(duì)此種方法進(jìn)行了較為深入的研究，在工程領(lǐng)域進(jìn)行了應(yīng)用，并且和傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，對(duì)于某些工程實(shí)際問(wèn)題，相比較于邊界元和有限元，此種方法可以顯著地減少計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算精度[2-3]。

2 比例邊界有限元法的理論基礎(chǔ)

對(duì)于二維彈性靜力學(xué)來(lái)說(shuō)，應(yīng)力{σ(x,y)}和體積力{p(x,y)}在域內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)滿足如下關(guān)系：

[L]T{σ(x,y)}={p(x,y)}

(1)

這里[L]是線性微分算子。

應(yīng)變{ε(x,y)}和位移{u(x,y)}的表達(dá)式如下：

{ε(x,y)}=[L]{u(x,y)}

(2)

而應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系表達(dá)式如下：

{σ(x,y)}=[D]{ε(x,y)}

(3)

其中[D]是彈性矩陣。

圖1 比例邊界有限元坐標(biāo)系統(tǒng)

在推導(dǎo)比例邊界有限元方程時(shí)，需在比例中心(x0,y0)建立相應(yīng)的坐標(biāo)系。比例中心可以在對(duì)所有邊界可見(jiàn)的前提下放在域內(nèi)任意位置[4]。比例邊界元的坐標(biāo)系統(tǒng)包括徑向坐標(biāo)ξ和環(huán)向坐標(biāo)s。徑向坐標(biāo)規(guī)定，在比例中心處ξ=0，在邊界上ξ=1，域內(nèi)其他地方取0<ξ<1；環(huán)向坐標(biāo)指沿著邊界逆時(shí)針?lè)较虻木嚯x。

笛卡爾坐標(biāo)下的點(diǎn)(x,y)可以由ξ和s表示為：

x=x0+ξxs(s)=x0+ξ[N(s)]{x}y=y0+ξys(s)=y0+ξ[N(s)]{y}

(4)

運(yùn)用雅克比矩陣變化，可得：

(5)

其中，雅克比矩陣

(6)

在ξ=1的邊界上，式(6)的[J(ξ,s)]將變成[J(s)]，且[J(s)]只與邊界上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，矩陣形式為：

(7)

即

[J(s)]=x(s)y(s)s-y(s)x(s)s

(8)

結(jié)合式(5)和(6)，可得：

(9)

其中，

|J(ξ,s)|=x(s)ξy(s)s-y(s)ξx(s)s=ξ[x(s)y(s)s-y(s)x(s)s]=ξ|J(s)|

(10)

將式(10)帶入式(9)，可得：

(11)

對(duì)于二維的線彈性問(wèn)題，

(12)

將式(11)代入(12)，可得：

(13)

其中，令

(14)

(15)

將式(14)和(15)代入(13)，可得：

(16)

同時(shí)，令

[B1(s)]=[b1(s)][N(s)],[B2(s)]=[b2(s)][N(s)]s

(17)

采用如下的虛功原理表達(dá)式進(jìn)行相應(yīng)的變化和推導(dǎo)：

(18)

對(duì)式(17)進(jìn)行相應(yīng)的積分和運(yùn)算，可得到比例邊界有限元下關(guān)于{uh(ξ)}ξξ、{uh(ξ)}ξ、{uh(ξ)}以及系數(shù)[E0]、[E1]、[E2]的Euler-Cauchy位移平衡微分方程，并可得到相應(yīng)解為

{uh(ξ)}=c1ξ-λ1{φ1}+c2ξ-λ2{φ2}+…+ciξ-λi{φi}

(19)

其中，ci代表的是每一種獨(dú)立的位移模式對(duì)于方程解的加權(quán)系數(shù)，-λi則表示了對(duì)于徑向坐標(biāo)的比例因子。

通過(guò)對(duì)方程自由度數(shù)的翻倍，可構(gòu)建一個(gè)關(guān)于不同模態(tài)下的位移以及節(jié)點(diǎn)力的特征方程并進(jìn)行求解。

對(duì)于式(19)中的ci，一般通過(guò)在邊界上(ξ=1)的方程{c}=[Φ1]-1{uh}來(lái)求得。并最終可以得到位移和應(yīng)力的表達(dá)式分別為：

(20)

(21)

3 比例邊界有限元法研究進(jìn)展

比例邊界有限元法(SBFEM)是一種基于計(jì)算機(jī)有限元方法，并且結(jié)合了有限元和邊界元諸多優(yōu)點(diǎn)的較為新型的數(shù)值方法。相比較于邊界元，比例邊界有限元同樣只需要在邊界上進(jìn)行離散，但它針對(duì)邊界元無(wú)法生成對(duì)稱剛度矩陣的問(wèn)題做出了相應(yīng)改進(jìn)。目前，已有研究和工程實(shí)踐表明，比例邊界有限元對(duì)于解決應(yīng)力奇異性問(wèn)題以及無(wú)限域問(wèn)題，相對(duì)于傳統(tǒng)的有限元方法來(lái)說(shuō)具有很大的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于應(yīng)力奇異性問(wèn)題，比例邊界有限元法不需要進(jìn)行額外的處理。在無(wú)限域問(wèn)題上，由于SBFEM只需在邊界上進(jìn)行離散，從而可以在處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)通過(guò)更少的自由度數(shù)來(lái)提高計(jì)算效率，減少計(jì)算時(shí)間[5]。Hauke Gravenkamp、Carolin Birk和Chongmin Song在2015年對(duì)彈性導(dǎo)波在帶有缺陷的無(wú)限域板中的傳播進(jìn)行了模擬，并在建模效率和計(jì)算精度這兩方面將模擬結(jié)果與傳統(tǒng)有限元在同等條件下的模擬結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，在精度相同的情況下，比例邊界有限元的建模效率可以提高兩到三倍。

圖2 比例邊界有限元關(guān)系圖

除此之外，比例邊界有限元在裂縫問(wèn)題的處理上也有獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)，其可以通過(guò)將比例中心設(shè)置在裂尖上來(lái)解決應(yīng)力奇異性的問(wèn)題。而且裂縫位置的變化以及裂縫深度的改變也僅需要進(jìn)行少量的網(wǎng)格重劃分即可完成，相比較于有限元法來(lái)說(shuō)大大減少了工作量。Hauke Gravenkamp、Jens Prager、Albert A.Saputra和Chongmin Song對(duì)Lamb波在帶有裂縫板中的傳播進(jìn)行了模擬，并在自由度數(shù)(DOF)、誤差(Deviation)和運(yùn)行時(shí)間(CPU)這三個(gè)方面對(duì)SBFEM與傳統(tǒng)有限元的模擬結(jié)果進(jìn)行了綜合比較，結(jié)果表明在誤差率一致的情況下，比例邊界有限元的自由度數(shù)僅有傳統(tǒng)有限元法的5.88%，運(yùn)行時(shí)間僅有傳統(tǒng)有限元法的1.50%。從以上工程實(shí)例可以得知，在裂縫問(wèn)題的模擬以及計(jì)算過(guò)程中，比例邊界有限元的計(jì)算效率相比較于傳統(tǒng)有限元法有了較為明顯的提升。

正是由于比例邊界有限元法(SBFEM)在各種工程實(shí)際問(wèn)題中得到了不斷的應(yīng)用并且相比較于傳統(tǒng)有限元方法在某些方面有了較為明顯的進(jìn)步，所以近年來(lái)，比例邊界有限元法得到了越來(lái)越廣泛的認(rèn)可、研究、應(yīng)用以及發(fā)展。

比例邊界有限元最初是用來(lái)計(jì)算無(wú)邊界介質(zhì)的動(dòng)力剛度矩陣，然后Chongmin Song和J.P.Wolf又用此方法對(duì)多項(xiàng)異性材料進(jìn)行裂縫分析[6]。隨后，在此前工作的基礎(chǔ)之上，J.P.Wolf和A.J.Deeks對(duì)比例邊界有限元的原理以及坐標(biāo)變化做了系統(tǒng)的闡述，即推導(dǎo)了從笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)到徑向、環(huán)向坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)變，且進(jìn)一步擴(kuò)寬了其適用范圍。隨后Chongmin Song對(duì)靜力學(xué)問(wèn)題又提出了一種新的矩陣函數(shù)計(jì)算方法，并表明此種計(jì)算方法具有更高的計(jì)算精度[5]。大連理工大學(xué)的林皋院士和他的博士生杜建國(guó)將比例邊界有限元應(yīng)用于計(jì)算壩面動(dòng)水壓力，通過(guò)對(duì)二維以及三維的動(dòng)水壓力進(jìn)行計(jì)算，并且和有限元的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，比例邊界有限元可以在提高計(jì)算效率、減少工作量的同時(shí)減小計(jì)算誤差[7]。Hauke Gravenkamp和Albert A.Saputra等人首次將比例邊界有限元應(yīng)用于模擬蘭姆波在帶裂縫板中的傳播，結(jié)果表明對(duì)于裂縫問(wèn)題，比例邊界有限元在計(jì)算誤差減小、計(jì)算時(shí)間大幅度縮減的同時(shí)，計(jì)算模型仍然具有比有限元少的自由度數(shù)[8]。之后，Hauke Gravenkamp和Carolin Birk等人繼續(xù)模擬了彈性導(dǎo)波在任意邊界的帶缺陷條形板中的傳播并推導(dǎo)出了動(dòng)力剛度矩陣[9]。Ean Tat Ooi和Chongmin Song等人又提出一種基于比例邊界的多邊形網(wǎng)格劃分方法，和以往的研究對(duì)象均是線彈性材料不同，此方法對(duì)彈塑性材料進(jìn)行了模擬、分析，從而大大擴(kuò)寬了比例邊界有限元方法在未來(lái)的應(yīng)用領(lǐng)域[10]。此后，陳燈紅和戴上秋等用比例邊界有限元做了土體-結(jié)構(gòu)交互作用的動(dòng)態(tài)斷裂分析，并且得出了相對(duì)于傳統(tǒng)方法更加準(zhǔn)確和有效的計(jì)算結(jié)果[11]。

4 總結(jié)

本文針對(duì)目前一種較新型的數(shù)值計(jì)算方法——比例邊界有限元法(SBFEM)，對(duì)其理論基礎(chǔ)、坐標(biāo)變化等方面做了推導(dǎo)，對(duì)比例中心的選取及適用范圍做了詳細(xì)的闡述。目前已有研究以及相應(yīng)的工程算例在計(jì)算精度、計(jì)算效率等方面將SBFEM和傳統(tǒng)的有限元方法進(jìn)行了比較。計(jì)算結(jié)果表明由于SBFEM僅在邊界上進(jìn)行離散，具有降低維度、減少自由度的特點(diǎn)，故可以在提高計(jì)算效率的同時(shí)減小計(jì)算誤差。

隨著研究的深入，比例邊界有限元法在解決應(yīng)力奇異性、無(wú)限域以及裂縫問(wèn)題上已不斷地顯示出良好的適應(yīng)性、便利性和快捷性。相信隨著研究的不斷深入與在工程領(lǐng)域的不斷應(yīng)用，結(jié)合計(jì)算機(jī)比例邊界有限元法會(huì)在今后得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。