郭立平，余志祥,2，駱麗茹，齊 欣,2，趙世春,2

(1.西南交通大學土木工程學院，成都 610031；2.陸地交通地質(zhì)災害防治技術國家工程實驗室，成都 611756)

崩塌落石、山體滑坡、泥石流、雪崩等環(huán)境災害廣泛分布于世界各地(加拿大[1]，歐洲[2]，中國[3－6]，美國[7]和印度[8]等)，柔性防護系統(tǒng)作為常用的防災手段，發(fā)揮著重要的安全防護作用[9]。柔性防護網(wǎng)結(jié)構(gòu)是一種復雜的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[10]，由柔性網(wǎng)、支撐構(gòu)件、耗能器[11－12]、高強鋼繩等部件組成，其中，柔性網(wǎng)是柔性防護系統(tǒng)的關鍵受力部件，承受落石的頂壓作用并進行攔截[13－14]。目前，柔性防護系統(tǒng)常用菱形網(wǎng)、雙絞六邊形網(wǎng)、G.T.S網(wǎng)和環(huán)形網(wǎng)等作為攔截單元(圖1)。柔性網(wǎng)一般呈“松散”連接[15]，遭受沖擊時，往往伴隨強烈的接觸、滑移和損傷等非線性特征，致使柔性防護系統(tǒng)的設計變得非常復雜，工程應用容易出現(xiàn)損毀風險[16－18]。

圖1 網(wǎng)片類型Fig.1 Types of different net panels

柔性防護系統(tǒng)主要遭受沖擊作用，網(wǎng)片的大變形是防護系統(tǒng)緩沖能力的重要保證[19]。Tan等[20]研究發(fā)現(xiàn)，與剛性結(jié)構(gòu)相比，相同沖擊能量下，柔性網(wǎng)的大變形使沖擊作用持時延長了4倍~8倍，沖擊力降幅達 50%以上。Yu等[21]研究發(fā)現(xiàn)，在被動柔性防護系統(tǒng)中，環(huán)形網(wǎng)的沖擊變形受鋼絲股數(shù)、邊界約束影響，但變形量相對穩(wěn)定，約占系統(tǒng)變形的30%~40%等[22]。Buzzi等[23]發(fā)現(xiàn)，移除加勁繩可降低防護系統(tǒng)剛度，更有利于柔性網(wǎng)片大變形，可進一步降低鋼柱與支撐繩的內(nèi)力。

網(wǎng)片還是重要的承載與攔截部件。Buzzi等[23]研究發(fā)現(xiàn)，在沖擊能量較低時(35kJ)，菱形網(wǎng)片自身耗散了大部分的沖擊能量。Bertrand等[24－25]進行了2 m×2 m尺寸G.T.S網(wǎng)片試件的準靜態(tài)頂壓試驗，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)片頂破極限承載力與頂頭接觸面積大小(代表落石與網(wǎng)片的接觸尺寸)密切相關。Spadari等[26]和 Mentani等[27]開展了量綱分析及模型試驗，研究了菱形網(wǎng)片、雙絞六邊形網(wǎng)片低沖擊能量作用下的“子彈效應”，發(fā)現(xiàn)即使沖擊能量較低，由于頂壓接觸面積較小，網(wǎng)片的破壞現(xiàn)象依然突出。Castro-Fresno等[28]對菱形網(wǎng)片分別進行了集中力與分布力加載試驗，研究了鋼絲網(wǎng)片的承載力與變形特征，發(fā)現(xiàn)與集中力加載相比，分布力加載時網(wǎng)片的極限變形減小，極限承載力增加至2倍以上。Koo等[29]采用LS-DYNA比較了球體與平板對柔性網(wǎng)片的沖擊動力響應，發(fā)現(xiàn)平板沖擊時，變形量顯著降低。柔性防護系統(tǒng)的災害作用包括單個落石沖擊、碎屑體沖擊、滑坡、雪崩、泥石流等，沖擊作用的分布區(qū)域涵蓋局部單點至整個攔截網(wǎng)面，這使得防護系統(tǒng)的力學行為變得非常復雜，但就網(wǎng)片部件的承載而言，局部沖擊導致的頂破作用是更為不利的。

鑒于柔性網(wǎng)受力的復雜性，很多學者對其力學模型與分析方法展開了研究，但多針對相對簡單的菱形網(wǎng)[30]。實際工程中，環(huán)形網(wǎng)因其大變形和高承載力獲得廣泛使用。環(huán)形網(wǎng)一般由高強鋼絲纏繞不同圈數(shù)形成的網(wǎng)環(huán)套結(jié)制成，鋼絲圈數(shù)、網(wǎng)環(huán)直徑是環(huán)形網(wǎng)片的重要參數(shù)。如圖2所示，其中鋼絲圈數(shù)表示為nw(圖中nw=7)，單環(huán)直徑為d。

圖2 單環(huán)規(guī)格Fig.2 Specification of steel wire ring

由于單元間的接觸滑移影響，環(huán)形網(wǎng)力學行為更加復雜，這引起了學者們的關注，如 Escallón等[31]采用離散梁單元，考慮接觸、滑移、損傷等非線性因素，構(gòu)建了離散化沖擊力學模型，并通過1000 kJ沖擊試驗進行了驗證。這種方法計算精度很高，但參數(shù)繁多，加之建模復雜，影響了其適用性，為此，學者們對簡化計算方法開展了研究。Gentilini等[10]將環(huán)網(wǎng)簡化為Truss單元模型，提高了計算效率，降低了分析難度，但由于將網(wǎng)環(huán)間的滑移邊界簡化為鉸接約束，使得網(wǎng)面剛度增大，計算得到的承載力大大高于實際值。

上述研究對揭示柔性防護系統(tǒng)復雜的非線性力學行為起到了推動作用，但對受力傳力最為復雜的柔性網(wǎng)片單元的研究是不充分的，大多研究僅僅將柔性網(wǎng)單元簡化為沖擊作用的傳力單元，忽視了網(wǎng)片單元自身的受力破壞特征，而這種破壞恰恰是實際較為常見的現(xiàn)象[17]。為此，本文研究了考慮環(huán)形網(wǎng)主要受力破壞特征的解析力學方法，通過8組共 24張環(huán)形網(wǎng)片的擬靜態(tài)頂破試驗，考慮網(wǎng)環(huán)圈數(shù)、網(wǎng)環(huán)直徑、頂壓區(qū)尺寸、傳力路徑、破壞特征等多因素影響，建立了環(huán)形網(wǎng)解析分析方法，并結(jié)合試驗結(jié)果論證了方法的準確性。

1 頂破試驗

1.1 試驗方法

參考瑞士標準[32]，柔性網(wǎng)片頂破試驗采用自行研制的頂壓試驗裝置(圖3)沿網(wǎng)片表面法向施加頂壓荷載，試件采用工程中的常用規(guī)格網(wǎng)片，共8種，網(wǎng)環(huán)圈數(shù)nw=3,nw=4,nw=5,nw=7,nw=9,nw=12,nw=16,nw=19。為保證試驗數(shù)據(jù)的可靠性，每種規(guī)格進行3次破壞性試驗。頂破試驗設備的組成為：1)反力架基座梁，用于約束柔性網(wǎng)片試件；2)卸扣，連接于反力架基座梁上，對稱布置，用于連接網(wǎng)片；3)環(huán)形網(wǎng)片，高強鋼絲編制成環(huán)，由若干網(wǎng)環(huán)相互套接成形；4)球冠形加載頂頭，連接在鉸接板端部，用于對網(wǎng)片傳遞頂壓作用；5)板式鉸接銷，連接頂頭與傳感器；6)拉力傳感器，根據(jù)網(wǎng)片規(guī)格選用，有500 kN、1000 kN及1500 kN三種規(guī)格，精度為 0.3%；7)拉線式位移傳感器，測試并記錄位移行程，量程>1.5 m，精度0.3%。位移與拉力量測值通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)實現(xiàn)同步；8)反力架，內(nèi)部空間 3.15 m ×3.15 m；9)液壓作動器，位移行程2.5 m；10)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。

圖3 頂破試驗裝置Fig.3 Apparatus of punching test

加載時，頂頭預置于網(wǎng)面下，經(jīng)由液壓作動器提供豎直向上準靜態(tài)位移，頂頭緩慢提升后與網(wǎng)面發(fā)生接觸。該過程中當加載頂頭底面與網(wǎng)面等高時，認為試件初始松弛量被消除，此狀態(tài)作為標定初始狀態(tài)。作動器的位移加載速率為7 mm/min。當拉力測試值出現(xiàn)峰值并極速下降時，停止加載。攝像機記錄頂破試驗過程，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)記錄環(huán)形網(wǎng)加載歷程的頂壓力、頂壓位移。

1.2 試驗模型

試件采用環(huán)形網(wǎng)片為正方形，網(wǎng)片尺寸如圖4所示。網(wǎng)片邊長理論值w由式(1)計算。其中，d為單個網(wǎng)環(huán)內(nèi)徑，本文試件均取d=300 mm；ns為環(huán)形網(wǎng)片邊緣的單環(huán)個數(shù)，本文均取ns=7。

試件參數(shù)見表1，以規(guī)格 R07/3.0/300網(wǎng)環(huán)為例說明：R07表示網(wǎng)環(huán)的鋼絲纏繞圈數(shù)nw=7，3.0代表組成網(wǎng)環(huán)的鋼絲直徑為dmin=3.0 mm，300表示單環(huán)內(nèi)徑為d=300 mm。

圖4 試件規(guī)格Fig.4 Parameters of specimen

表1 試驗試件Table 1 Specimen of tests

球冠形加載頂頭置于網(wǎng)面中心，球面半徑為Rs=1.2 m，球冠底部切面為圓形，在水平面投影半徑Rp=0.5 m。球冠包角為2β0，β0由式(2)計算。

1.3 試驗結(jié)果

如圖5所示，試件加載變形過程分別經(jīng)歷了初始狀態(tài)(狀態(tài)I)、拉彎分界狀態(tài)(狀態(tài)II)和頂破極限狀態(tài)(狀態(tài)III)。圖5中與頂頭接觸的網(wǎng)面定義為頂壓區(qū)域Ac，其余網(wǎng)面為傳力區(qū)域At。

初始狀態(tài)(狀態(tài)I)網(wǎng)環(huán)呈圓形，可近似認為處于零應力狀態(tài)。從狀態(tài)I到狀態(tài)II，隨著頂頭提升，網(wǎng)環(huán)由弧形逐漸拉直，主要經(jīng)歷彎曲變形。仔細觀察影像記錄，還發(fā)現(xiàn)網(wǎng)環(huán)拉彎變形的發(fā)展有先后順序，主要表現(xiàn)為：沿頂頭圓周到基座梁垂線方向的網(wǎng)環(huán)最先被拉直，并擴展至網(wǎng)面的對角區(qū)域(圖5)。拉彎分界狀態(tài)(狀態(tài) II)為網(wǎng)環(huán)變形模式從彎曲變形轉(zhuǎn)變?yōu)檩S向拉伸的分界。狀態(tài)II時，網(wǎng)環(huán)彎曲變形充分發(fā)展，幾乎都呈拉直的鋼絲束纖維[33](以下簡稱纖維)，此刻加載頂頭提升位移記為h。由于約束差異，此時網(wǎng)環(huán)變形分別表現(xiàn)為“△”形、“口”形和“ ”形，分別分布于試件底部約束邊緣、頂壓接觸區(qū)域Ac和傳力區(qū)域At。狀態(tài)II以后，網(wǎng)片試件的形狀變化不明顯，但試件整體的漏斗狀變形進一步發(fā)展，與實際工程中網(wǎng)面遭受落石沖擊時的變形非常相似[17]。頂破極限狀態(tài)(狀態(tài)III)時，加載頂頭邊緣位置的網(wǎng)環(huán)鋼絲率先發(fā)生破斷，形成“破斷豁口”(圖6)，此時停止加載，試驗終止。8種規(guī)格共 24張環(huán)形網(wǎng)片試件均表現(xiàn)出一致的破壞模式(圖6)，表明位于頂頭環(huán)周邊緣的網(wǎng)環(huán)單元是拉力傳遞的關鍵部位。

觀察狀態(tài)II和狀態(tài)III(圖5)可知，網(wǎng)面?zhèn)髁^(qū)域At沿著網(wǎng)面徑向形成了若干道呈輻射分布的三角形環(huán)鏈，環(huán)鏈內(nèi)的網(wǎng)環(huán)呈漸變“ ”形，環(huán)鏈底端與加載基座梁相連的網(wǎng)環(huán)為“△”形，環(huán)鏈頂端與頂頭接觸區(qū)域的網(wǎng)環(huán)為近似“口”形。沿頂頭圓周到基座梁垂線為最短傳力路徑，根據(jù)力流分析[34]，可知該路徑上的環(huán)鏈受力最大。同時，狀態(tài)III時沿頂頭徑向，網(wǎng)片拉直形成了輻射狀纖維，這表明網(wǎng)片主要承擔輻射向拉力作用，這為借助力流分析方法對環(huán)網(wǎng)頂破極限狀態(tài)進行解析提供了途徑。

圖7為試件頂壓加載歷程的力-位移關系。環(huán)形網(wǎng)片試件的制造誤差、鋼繩卡扣的壓緊程度、網(wǎng)環(huán)之間套結(jié)位置的差異均會對試驗過程頂破力、頂破位移的測試結(jié)果造成影響，為此，每組試驗采用包含相同規(guī)格網(wǎng)片的3次重復試驗。盡管如此，從試驗結(jié)果來看，3次重復試驗結(jié)果仍呈現(xiàn)較大離散性，統(tǒng)計相對誤差最大約20%。據(jù)圖7可知，力-位移關系表現(xiàn)出明顯的兩階段特征：第1階段(狀態(tài)I至狀態(tài)II)，大部分網(wǎng)環(huán)發(fā)生彎-拉變形，拉力增幅緩慢(約占頂破力10%~20%)、變形增幅明顯(約占總變形量80%~90%)；進入第2階段(狀態(tài)II至狀態(tài)III)，變形小幅增加(約占總變形量10%~20%)，拉力迅速增大(約占頂破力 80%~90%)。直至頂頭提升高度為h+Δh時，拉力達到峰值，頂頭環(huán)周邊緣網(wǎng)環(huán)發(fā)生破斷，到達頂破極限狀態(tài)。圖7中采用豎直分界線近似標記了總變形量 85%位置近似為拉彎分界狀態(tài)，紅線左側(cè)即為第1階段，右側(cè)為第2階段。

圖5 環(huán)形網(wǎng)片頂破試驗與過程Fig.5 Puncture tests of ring net panels and deformation mechanics

圖6 破斷豁口位置Fig.6 Failure position of ring net

圖7 不同圈數(shù)環(huán)形網(wǎng)片頂破力-位移曲線Fig.7 Out-of-plane force-displacement curve of different steel ring net panels

2 環(huán)網(wǎng)頂破承載解析力學模型

2.1 模型假設

1)假定拉彎分界狀態(tài)網(wǎng)片環(huán)繞加載頂頭方向(環(huán)向)和頂頭半徑方向(徑向)纖維受力具有正交性，忽略環(huán)向的纖維影響，第2階段網(wǎng)片受拉承載為連接Ac與At區(qū)域直線纖維內(nèi)力矢量之和，頂頭邊緣纖維的數(shù)量即為力矢量的個數(shù)(圖8)。

2)假設環(huán)網(wǎng)破壞由環(huán)鏈軸向應力發(fā)展程度γN決定，一旦應力最大的纖維軸向應力發(fā)展程度到達極值γN時，網(wǎng)片發(fā)生破壞。

式中：σ為當前軸向應力值；σy為軸拉屈服時的軸向應力值。

3)忽略環(huán)形網(wǎng)片重力影響。

圖8 第2階段受力纖維假定Fig.8 Straight line fiber

2.2 頂壓區(qū)受力分析

根據(jù)假定，拉彎分界狀態(tài)頂壓區(qū)網(wǎng)環(huán)纖維與加載頂頭發(fā)生接觸作用。選取繞過頂頭的纖維中間段作為研究對象(其余分段可視為中間段的延伸)，受力分析如圖9所示。

圖9 頂壓區(qū)網(wǎng)環(huán)受力分析Fig.9 Force analysis on contact area

沿纖維方向兩端受到拉力作用Ts、Tr，與纖維方向垂直的拉力Ti、Tj、Tk、Tl，沿球面法向的正壓力 dN，沿纖維方向的摩擦力μtdN，垂直于纖維方向的摩擦力μrdN。結(jié)合試驗現(xiàn)象，第1階段(狀態(tài)I至狀態(tài)II)，環(huán)形網(wǎng)片面外變形迅速發(fā)展，在上述接觸摩擦作用下環(huán)形網(wǎng)片變形擴展并沿頂頭表面滑動，第2階段(狀態(tài)II至狀態(tài)III)，環(huán)形網(wǎng)片頂壓區(qū)纖維段不再沿拉力垂直方向發(fā)生明顯滑動，認為此時主要承受沿纖維走向軸向拉力Ts、Tr、沿球面法向的正壓力集度 dN、沿纖維長度方向的摩擦力μtdN，因此可將該區(qū)域網(wǎng)片的受力進一步簡化為二維模型(圖10)。圖中T1和T2分別為頂壓區(qū)左右側(cè)纖維的拉力合力，由對稱性T1=T2，β0為1/2頂頭的球面包角。取任意角度β處(β≤β0)的一個纖維微段分析，微端包角為dβ，β處拉力值為T，β+dβ處拉力值增大至T+dT，沿微段長度Rsdβ上受到的法向接觸力為dN，切向摩擦力為μdN(μ=μt)為纖維與剛性頂壓區(qū)域之間的摩擦力)。

圖10 頂壓區(qū)域受力纖維Fig.10 2-D computational model of loading area

對纖維微段受力進行正交分解，法向η軸、切向ξ軸平衡方程如式(4)：

忽略高階無窮小量dTdβ，由式(4)得：

進一步整理得式(6)：

在β=0~β0區(qū)間內(nèi)兩邊積分，得式(7)：

式中，T(β)為任意角度β位置處纖維的軸向拉力(圖11)。T0為β=β0位置處纖維軸向拉力。隨著β的增大，T(β)不斷增大，當β=β0時，纖維軸向拉力達到最大(式(8))：

可知環(huán)形網(wǎng)片頂壓區(qū)域Ac邊緣纖維拉力最大，是網(wǎng)片的薄弱區(qū)域，這也與試驗現(xiàn)象(圖6)一致。

圖11 頂壓區(qū)域纖維軸力分布Fig.11 2-D computational model of loading area

2.3 傳力區(qū)環(huán)鏈受力分析

第2階段受力時，網(wǎng)片試件沿最短傳力路徑上的網(wǎng)環(huán)在三角形輪廓內(nèi)由若干個“ ”形網(wǎng)環(huán)串聯(lián)形成環(huán)鏈，如圖12所示。圖10(b)中，O點為網(wǎng)片的幾何中心；ai表示三角形環(huán)鏈沿斜邊輪廓上的分段長度；li為環(huán)鏈沿最短傳力路徑方向上的空間斜長；bi為相應垂直方向的分段長度(i=1,2,3…n)；n為最短傳力路徑上區(qū)格分段，對特定環(huán)形網(wǎng)片，邊緣單環(huán)個數(shù)為ns(圖4)，則n=ns–1；θ為最短傳力路徑上三角形輪廓1/2最小內(nèi)角；根據(jù)假定，第2階段軸向力尚未發(fā)展，即網(wǎng)環(huán)軸向應變?yōu)榱悖瓘澐纸鐮顟B(tài)三角形環(huán)鏈中各區(qū)格周長應相等，據(jù)此可建立求解θ的方程組(式(9))：

圖12 環(huán)形網(wǎng)片拉彎分界狀態(tài)變形特征(階段1: z=h)Fig.12 Feature triangle in ring net panel (Stage 1: z=h)

式中，q為中間變量，由于θ>0，q≠1，經(jīng)化簡整理得：

通過式(10)解得θ，結(jié)合圖12(b)，進一步得到lsum：

2.4 應力特征分析

頂破極限狀態(tài)下環(huán)形網(wǎng)片特征位置的應力分布特征及發(fā)展程度對頂破力、頂破位移計算有重要影響。鑒于擬靜態(tài)頂破試驗過程中各個網(wǎng)環(huán)均經(jīng)歷非線性變形，從文獻[35－36]來看，目前尚無有效手段直接測試網(wǎng)環(huán)內(nèi)的鋼絲(直徑2.2 mm~3.0 mm)的應力-應變。為考慮頂破極限狀態(tài)網(wǎng)環(huán)內(nèi)軸向應力分布及發(fā)展程度，借鑒已經(jīng)試驗驗證的環(huán)形網(wǎng)片有限元模擬方法[16,37]，以R7/300/3.0規(guī)格為例，分析了最短傳力路徑的應力分布特征(圖13)。

如圖13所示，最短傳力路徑上網(wǎng)環(huán)有效應力明顯發(fā)展，網(wǎng)片破斷豁口出現(xiàn)在加載頂頭邊緣，與試驗結(jié)果一致。選取了最短傳力路徑上接近頂壓區(qū)網(wǎng)環(huán)的8個特征點(P1-1~P4-2)，統(tǒng)計了截面軸力、彎矩、軸向應力、軸向應變及軸向應力發(fā)展程度(表2)。表2可以看出，趨于頂破極限時，盡管網(wǎng)環(huán)套結(jié)位置由于拉彎組合作用最先進入屈服并發(fā)生破壞，拉直段網(wǎng)環(huán)以軸拉為主，截面軸力值為29 kN~35 kN，軸向應力小于彈性極限606 MPa~701 MPa，軸向應力發(fā)展程度λN與環(huán)鏈試驗結(jié)果[37]一致 0.36~0.40，彎矩值處于 19.5 N·m~24.0 N·m。軸向應力發(fā)展程度決定了頂破力的大小，環(huán)繞頂壓區(qū)邊緣拉直的網(wǎng)環(huán)內(nèi)力矢量之和在豎直方向的分量形成了面外頂破力。通過環(huán)鏈試驗[37]，可以更為直接地測得套接網(wǎng)環(huán)發(fā)生破壞時的軸向應力發(fā)展程度，圖14給出了環(huán)鏈試驗、FEM模型獲得的軸向力發(fā)展程度結(jié)果，可見有限元(FEM)應力分析結(jié)果與環(huán)鏈試驗結(jié)果一致，通過線性擬合(擬合優(yōu)度0.8525)得γN的參考值為：

圖13 頂壓區(qū)網(wǎng)片應力特征Fig.13 Stress feature of the net panel in contact area

圖14 軸向力發(fā)展程度參考取值γNFig.14 Axial force factor (γN)in ring chains

表2 環(huán)形網(wǎng)片特征位置應力分布Table 2 Stress distribution of the feature points on the net panel

2.5 計算模型

選用笛卡爾坐標系(xyz)作為計算模型的基準坐標系。以試件拉彎分界狀態(tài)(狀態(tài) II)建立環(huán)形網(wǎng)片的計算模型如圖15所示，圖15(a)為模型俯視圖，圖15(b)為主視圖、左視圖，L為頂壓區(qū)域邊緣與約束邊界間的最小距離；h為加載頂頭的邊緣提升高度，其余符號含義同前。

當試件處于拉彎臨界狀態(tài)時，頂頭接觸區(qū)域內(nèi)的網(wǎng)環(huán)變形至近似正方形，其邊長為：

傳力區(qū)域由網(wǎng)環(huán)拉直形成的纖維與頂壓區(qū)邊緣的交點編號為u[1],u[2]…u[i]…u[m]，與之對應，邊界(z=0)處約束點編號為d[1],d[2]…d[i]…d[m]，m表示1/8模型中最大交點個數(shù)(圖15(a)紅色纖維)，m可由式(14)計算。

式中，round為取整函數(shù)。

結(jié)合2.3節(jié)分析結(jié)果，通過式(11)得到lsum，由圖15(b)可進一步得到L關于lsum的表達式：

由于鋼絲圈數(shù)及鋼絲直徑對套接位置處網(wǎng)環(huán)的曲率影響對于L的計算不可忽略，因此式(15)中引入函數(shù)f(nw,dmin)近似估算其影響值，并取f(nw,dmin)=nwdmin。據(jù)此可進一步得到拉彎分界狀態(tài)加載頂頭上升高度如式：

通過上述分析，拉彎分界狀態(tài)頂壓區(qū)域(1/8模型)邊緣上部連接各點坐標可表示為：

其中，i=1,2,…m。傳力區(qū)域下部各約束點位置均勻分布，其坐標為：

圖15 模型尺寸(拉彎分界狀態(tài))Fig.15 Geometric parameters of analytical model

記狀態(tài)II(z=h)時刻，任一纖維的長度為d[i]，用向量表示第i個纖維在xyz坐標系中的相對位置如：

則狀態(tài)III(z=h+Δh)時刻，第i個纖維可由向量表示為：

其中，Δh為待求量(圖5)，第i個環(huán)向分布纖維產(chǎn)生的軸向應變?yōu)椋?/p>

為確定最大軸向應變對應的i值，將式(21)對i求偏導：

其中：

纖維的失效應變εf由軸向力發(fā)展程度γN確定，可由式(24)計算：

其中，γN由式(12)計算。

聯(lián)立式(17)~式(24)，得到狀態(tài)II至狀態(tài)III過程中環(huán)形網(wǎng)片面外變形增量Δh：

由此確定了式(20)中的未知參數(shù)Δh。此時，頂破極限狀態(tài)(z=h+Δh)下沿環(huán)向分布的第i個纖維力矢量可表示為式(26)：

為方便表示，引出標量Ci：

頂破極限狀態(tài)(z=h+Δh)頂破位移計算：

3 算例驗證

基于本文提出的計算方法，編制了用于求解不同規(guī)格環(huán)形網(wǎng)片承載力及變形的python程序，計算流程如圖16所示。頂破力、頂破位移計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比如表3所示，其中，為不同3次試驗頂破力平均值，F(xiàn)m為本文模型頂破力計算值，δ(F)為頂破力計算與試驗結(jié)果相對誤差。同樣，為3次試驗頂破位移平均值，Sm為模型頂破力值的計算結(jié)果，δ(S)為頂破位移計算與試驗結(jié)果相對誤差。表中頂破力與頂破位移計算結(jié)果與試驗結(jié)果相對誤差均在15%以下，對比其他柔性網(wǎng)相關文獻，計算結(jié)果相對誤差可達5%~40%(Grassl[38]的數(shù)值模型誤差為6.06%~19.23%，Cui等[39]的解析模型誤差為14.2%~16.5%，Hambleton等[34]的解析模型誤差為10%~40%)。由于環(huán)形網(wǎng)片制造、安裝過程存在誤差、試驗結(jié)果離散性較大，進一步提高柔性網(wǎng)片的計算精度具有較大難度，作為系統(tǒng)選型與設計用途，認為目前的精度可滿足工程需求。

表3 頂破力、頂破位移計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比Table 3 Comparison between the calculation results and test results of maximum force and deflection

圖16 計算流程Fig.16 Calculation flow chart of the model

4 結(jié)論

(1)網(wǎng)片遭受頂破作用時，主要遭受加載頂頭的頂壓作用與傳力區(qū)的拉力作用，24張環(huán)形網(wǎng)片擬靜態(tài)頂破試驗均表現(xiàn)出相似的破壞模式，頂壓區(qū)域邊緣位置是環(huán)形網(wǎng)片最先破壞的薄弱環(huán)節(jié)。網(wǎng)環(huán)圈數(shù)、網(wǎng)環(huán)直徑、頂壓區(qū)尺寸為影響環(huán)形網(wǎng)片承載能力、變形能力的關鍵因素。

(2)根據(jù)試驗結(jié)果開展了力流分析，建立了環(huán)形網(wǎng)片頂破力學行為的解析計算方法，推導了考慮圈數(shù)、頂壓區(qū)尺寸、網(wǎng)環(huán)直徑影響下的頂破力、頂破位移計算公式，計算結(jié)果與試驗結(jié)果相對誤差小于15%，驗證了該方法的可靠性，可為柔性防護結(jié)構(gòu)方案中環(huán)形網(wǎng)片的選型與設計提供參考。

限于試驗條件，模型并未考慮環(huán)形網(wǎng)片長寬比、邊界條件變化等不同的情形，需要進一步開展研究。