顧僉

隨著現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)的精細(xì)化發(fā)展和計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)的飛速進(jìn)步，有限元方法已經(jīng)非常普遍地應(yīng)用于機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算。在有限元分析中，經(jīng)常會(huì)遇到多個(gè)部件之間的非線性連接。例如，軸承、萬向節(jié)、鉸鏈等連接結(jié)構(gòu)通常具有復(fù)雜的內(nèi)部接觸，如果對(duì)每個(gè)內(nèi)部組件都詳細(xì)建模，就要?jiǎng)澐趾芗?xì)致的網(wǎng)格，耗費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間，因此，在實(shí)際的工程應(yīng)用中，通常會(huì)在模型中對(duì)它們進(jìn)行簡化處理，以此來提高計(jì)算效率。

以軸承為例，目前常用的簡化方式是用多組非線性桿單元或者彈簧單元來模擬軸承中的滾動(dòng)體，將單元屬性設(shè)置為只受壓。由于去除了滾子的實(shí)體網(wǎng)格，滾道與滾子之間也不需要做接觸運(yùn)算，所以這種簡化對(duì)于計(jì)算速度的提升很顯著。但是在這種模擬方式下，如何設(shè)置單元的剛度值，才能準(zhǔn)確體現(xiàn)軸承滾子的真實(shí)剛度，是一個(gè)經(jīng)常讓工程師們感到困擾的問題。

通常來說，用實(shí)驗(yàn)的方式來獲取剛度信息是最準(zhǔn)確的方法。但是對(duì)于一些大尺寸的重載軸承，需要制造專門的工裝來做實(shí)驗(yàn)，成本非常高。而且實(shí)驗(yàn)所得到的結(jié)果，一般是一個(gè)軸承結(jié)構(gòu)的整體剛度，而不是每個(gè)滾子的剛度值，在計(jì)算中要把它反算到每個(gè)滾子上。對(duì)于一條非線性結(jié)果曲線來說，這種反向推導(dǎo)本身就會(huì)包含一些誤差。因此，本文嘗試用有限元方法來計(jì)算和驗(yàn)證軸承滾子的剛度值。

圓柱滾子模擬

本文所使用的有限元計(jì)算軟件為ANSYS 17.2，前處理工具為Hypermesh 14.0。模型默認(rèn)單位體系：毫米（mm）、牛頓（N）、秒（s）、開爾文（K）及由此衍生的其他單位。

首先以一款簡單的圓柱滾子軸承（其模型如圖1所示）為例，該軸承的內(nèi)徑為900mm，滾子直徑為75mm，應(yīng)用于某款直驅(qū)型風(fēng)力發(fā)電機(jī)組，位于主轉(zhuǎn)軸后側(cè)，是尺寸較大、轉(zhuǎn)速偏低的重載軸承。

由于本文研究的是單個(gè)滾子的剛度，因此在有限元建模時(shí)，只劃分單個(gè)滾子的實(shí)體單元模型：將軸承內(nèi)外圈按照截面形狀展平，在滾子與滾道之間建立標(biāo)準(zhǔn)接觸，取摩擦系數(shù)為0.06，將接觸位置附近的單元細(xì)化。

在實(shí)體單元有限元模型（圖2）中，對(duì)內(nèi)圈滾道內(nèi)表面所有節(jié)點(diǎn)約束Y方向位移，內(nèi)外圈單側(cè)截?cái)嗝嫠泄?jié)點(diǎn)約束X方向位移，單側(cè)端面約束Z方向位移。在此約束條件下，內(nèi)圈沒有剛體位移自由度，外圈有整體沿Y方向上下移動(dòng)的自由度。對(duì)滾子兩端面中心點(diǎn)約束X方向自由度，側(cè)邊中點(diǎn)約束Z方向自由度，用于模擬軸承保持架對(duì)滾子的整體限位作用。滾子在YZ平面內(nèi)不能整體平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，但是滾子本身的彈性變形不受限制。

加載時(shí)對(duì)外圈滾道外表面所有節(jié)點(diǎn)施加強(qiáng)制的均勻位移，分析滾子受壓時(shí)產(chǎn)生的反力?？偽灰?mm，分十步均勻加載。

圖3顯示了最終分析步下，滾子與滾道之間的接觸狀態(tài)和接觸應(yīng)力。由于本模型未考慮工藝倒角和滾子修形，所以在端面邊緣處出現(xiàn)了應(yīng)力集中現(xiàn)象，不過該局部并不影響整體剛度結(jié)果。如果要精確計(jì)算滾子和滾道的接觸應(yīng)力，那么還是建議把倒角和修形因素全部加入有限元模型。

有限元計(jì)算結(jié)果與根據(jù)ISO/TS 16281―2008標(biāo)準(zhǔn)提供的公式計(jì)算的理論結(jié)果如圖4所示，由圖可以看到，兩條曲線數(shù)值比較相近。這證明在整體剛度的計(jì)算上，實(shí)體單元的有限元模型與解析算法的結(jié)論基本一致。

得到位移與反力的關(guān)系曲線后，就可以用簡化的方式來模擬軸承滾子。具體的方法是把一個(gè)滾子簡化為一排非線性彈簧單元（例如，ANSYS軟件中的Combin39單元），這些單元必須平行、均布（圖5）。將彈簧單元的拉伸剛度設(shè)為0，壓縮剛度按圖4中的計(jì)算結(jié)果均分設(shè)置，注意位于兩端的單元?jiǎng)偠戎狄O(shè)置成中間單元?jiǎng)偠戎档囊话搿?/p>

由簡化后的有限元模型（圖5）可知，在網(wǎng)格數(shù)量上，該模型比實(shí)體滾子有限元模型要少得多。而且去除了接觸計(jì)算，模型的計(jì)算速度極大提升。在本文的算例中，使用同一臺(tái)計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，實(shí)體滾子接觸模型的計(jì)算時(shí)間大約是1小時(shí)7分鐘，簡化模型只有3秒。

然而在統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果后發(fā)現(xiàn)彈簧單元產(chǎn)生的反力比預(yù)想值低40%左右，這是由于在設(shè)置彈簧剛度時(shí)，使用的是整個(gè)系統(tǒng)的位移與反力關(guān)系（圖4中的藍(lán)色曲線），軸承內(nèi)外圈的彈性變形并沒有被分離出去。用這種模型模擬軸承計(jì)算顯然會(huì)造成太大的誤差，因此必須對(duì)彈簧單元的剛度值進(jìn)行修正。

修正前后的剛度結(jié)果如圖6所示，由圖可以看到，修正的效果是非常明顯的。但是，需要特別注意的是，由于各型號(hào)軸承的內(nèi)外圈厚度與滾子直徑比例不同，修正系數(shù)公式（1）不能直接用于其他軸承模擬。在模擬其他型號(hào)軸承時(shí)，需要建立一個(gè)對(duì)應(yīng)的單滾子模型重新試算，以確定公式（1）中的線性放大系數(shù)和冪指數(shù)，或者采用其他的數(shù)學(xué)模型對(duì)剛度值進(jìn)行修正，以計(jì)算結(jié)果的位移與反力曲線判斷精度。

以上是關(guān)于圓柱滾子軸承的簡化模擬方式，類似圓柱形狀的滾子也可以用這種方法，比如錐角不超過30度的錐滾子軸承和鼓形滾子的調(diào)心軸承。不過球形滾子的軸承顯然不能用這種方式來簡化，下面就討論一下球形滾子的有限元簡化模擬方式。

球形滾子模擬

本文使用的球形滾子軸承模型（圖7），直徑約3m，滾子直徑60mm，應(yīng)用于某款風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的偏航系統(tǒng)。

圖8顯示了以實(shí)體單元模擬滾球的局部有限元模型，其中的接觸設(shè)置與上一算例完全一致。與圓柱滾子軸承不同，滾珠軸承除徑向力外，還可以承受一定的軸向力和彎矩，因此在加載方式上，本算例分別采用了徑向位移和軸向位移兩種載荷。圖9顯示了兩個(gè)方向上最終載荷步下滾子與滾道之間的接觸壓力，整體剛度計(jì)算結(jié)果如圖10所示。

從位移與反力曲線可以看到，對(duì)于單個(gè)球形滾子，徑向剛度大概是軸向剛度的2倍左右。由于各個(gè)型號(hào)的球滾子軸承在設(shè)計(jì)時(shí)預(yù)留的接觸角不同，滾道形狀差異較大，因此，剛度計(jì)算公式并不統(tǒng)一，只能按照實(shí)際的接觸位置進(jìn)行建模計(jì)算。

對(duì)于球形滾子的簡化模擬，同樣是用一組非線性彈簧單元來代替實(shí)體滾子，這些單元全部穿過球心，在接觸位置與滾道共節(jié)點(diǎn)（圖11）。根據(jù)球形結(jié)構(gòu)的幾何特性，將彈簧剛度的初始值設(shè)置為徑向總剛度值除以彈簧份數(shù)后所得數(shù)值的兩倍。

簡化后的模型，計(jì)算時(shí)間同樣是秒級(jí)的，大幅度提高了計(jì)算效率。但是和圓柱滾子的算例一樣，將球形滾子簡化成彈簧后，同樣會(huì)造成壓力過于集中，需要修正剛度。

經(jīng)過試算，針對(duì)徑向剛度進(jìn)行修正，得到修正公式（2），修正后的整體剛度結(jié)果如圖12所示。從結(jié)果中可以看到，針對(duì)徑向結(jié)果進(jìn)行修正的剛度值，在軸向剛度上的擬合結(jié)果并不是特別精確，和實(shí)體模型結(jié)果大約有5%的差異。

從數(shù)值中可以看出，公式（2）與公式（1）的修正系數(shù)差距非常大，這說明圓柱滾子和球形滾子簡化后，在整體剛度表現(xiàn)上有較大的差別。如果不進(jìn)行試算的話，不能直接套用其他類型軸承的修正公式。

全軸承模擬

通過上面的方法，得到單個(gè)滾子的簡化模型和適合的剛度設(shè)置值之后，就可以進(jìn)行全軸承的模擬了。在建模計(jì)算中，盡量保持內(nèi)外圈實(shí)體網(wǎng)格與試算模型的網(wǎng)格一致。或者反過來說，先建立應(yīng)用于計(jì)算的全軸承簡化模型，然后用同樣的截面網(wǎng)格來拉伸試算模型，這樣能盡量保證試算數(shù)據(jù)的有效性。

在建模過程中還要注意一點(diǎn)，彈簧單元的復(fù)制份數(shù)一定要和實(shí)際滾子數(shù)對(duì)應(yīng)，也就是說內(nèi)外圈的環(huán)向掃掠網(wǎng)格數(shù)，必須是滾子個(gè)數(shù)的整數(shù)倍，否則無法做成共節(jié)點(diǎn)。圖13顯示了本文第一個(gè)算例的全軸承簡化模型，該軸承的滾子數(shù)量是37個(gè)。

建立好軸承整體模型之后，就可以將它裝配到組件結(jié)構(gòu)的有限元模型中，進(jìn)行計(jì)算分析。運(yùn)用這種簡化方式，可以極大程度地減小模型規(guī)模，提高計(jì)算效率，但是有以下幾點(diǎn)使用限制：

（1）利用彈簧單元簡化模擬軸承滾子，滾道的實(shí)體單元與彈簧單元之間是共享節(jié)點(diǎn)的，一旦內(nèi)圈和外圈發(fā)生較大的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，就會(huì)導(dǎo)致彈簧單元傾斜，無法正確計(jì)算反力。因此，內(nèi)外圈軸承所連接的部件，必須用直接或間接的方式約束相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度。而且在后處理過程中，要檢查彈簧單元首尾節(jié)點(diǎn)的環(huán)向相對(duì)位移，當(dāng)位移超過滾子直徑一定比例時(shí)，反力結(jié)果不再可信。這一比例可由分析人員根據(jù)計(jì)算結(jié)果的精確度要求自行設(shè)定。

（2）本文介紹的軸承滾子簡化方式，可以用于靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)下軸承剛度、反力、滾子承載分布等方面的有限元計(jì)算，但是不適用于動(dòng)態(tài)或瞬態(tài)計(jì)算。計(jì)算結(jié)果中的滾子和滾道應(yīng)力也是不真實(shí)的，不能直接用于軸承本身的強(qiáng)度分析。

（3）試算中的變形范圍設(shè)置，取決于軸承應(yīng)用環(huán)境的實(shí)際載荷。本文算例中使用的都是1mm，在實(shí)體接觸壓力結(jié)果中，局部壓應(yīng)力達(dá)到6800MPa，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過軸承滾子的承受范圍，在設(shè)計(jì)工況中不可能應(yīng)用這么大的載荷。因此，在針對(duì)實(shí)際工程問題時(shí)，可以先對(duì)載荷工況做一個(gè)大致的判斷，然后設(shè)定合理的變形范圍進(jìn)行剛度擬合，以得到更精確的結(jié)果。

總結(jié)與展望

本文通過兩個(gè)不同形式的軸承算例，論述了一種用于有限元計(jì)算的簡化建模方式。該方式利用彈簧單元代替實(shí)體滾子，可以極大地簡化模型規(guī)模，提高計(jì)算效率。為了得到與實(shí)體單元計(jì)算相近的軸承剛度，文中對(duì)彈簧單元?jiǎng)偠冗M(jìn)行了修正。修正后的軸承整體剛度，與實(shí)體模型的結(jié)果差距不超過5%，符合大部分工程計(jì)算的精度要求。

但是在采用該方式簡化計(jì)算之前，還是需要先建立單個(gè)滾子的實(shí)體單元局部模型和對(duì)應(yīng)的簡化單元局部模型進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，以確定彈簧剛度值和修正系數(shù)。因此，如果能通過一系列不同尺寸軸承的計(jì)算，設(shè)計(jì)一個(gè)通用的計(jì)算公式，將使這一簡化方法更加方便實(shí)用。另外，本文中使用的剛度修正系數(shù)公式，在修正精度上并不是非常高，需要通過進(jìn)一步的探索和嘗試，找到一種更適合的數(shù)學(xué)模型。

（作者單位：北京鑒衡認(rèn)證中心有限公司）