孫瑞芳，張曉龍，梁文凱，謝曉全

(昆明理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，云南 昆明 650000)

氣壓傳動(dòng)具有簡(jiǎn)單快速和安全可靠等特點(diǎn)[1]。氣壓位置控制系統(tǒng)一直以來(lái)都是氣動(dòng)技術(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容[2]。隨著工業(yè)自動(dòng)化的發(fā)展，氣動(dòng)技術(shù)在生產(chǎn)自動(dòng)化的各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用日漸廣泛，氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性的優(yōu)化也日益重要。

PID控制的算法簡(jiǎn)單，且具有魯棒性好和可靠性高等特點(diǎn)[3]，在過(guò)程控制和運(yùn)動(dòng)控制中得到廣泛應(yīng)用，在建立精確數(shù)學(xué)模型的確定性控制系統(tǒng)方面尤為適用[4]。但在生產(chǎn)實(shí)踐中，往往很多問(wèn)題使用常規(guī)的PID控制器難以達(dá)到實(shí)踐要求。

馮子通等采用不完全微分型PID算法對(duì)電液執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制，得到調(diào)節(jié)速度快、過(guò)程平緩且精度高的效果[5]。強(qiáng)寶民等通過(guò)對(duì)PID的積分項(xiàng)和微分項(xiàng)改進(jìn)，提高了電液比例位置控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性[6]。故本文引入速度反饋，并結(jié)合不完全微分型PID對(duì)氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間、精度及穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

1 氣動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)主要由比例方向閥、氣缸、位移傳感器、A/D和D/A裝置組成[7]。

1.1 氣缸力平衡方程

當(dāng)單作用氣缸處于工作狀態(tài)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，其力平衡方程[8]如下所示

M(d2y)/(dt2)+fdy/dt=p1A1-p2A2-FL-Ff

(1)

式中，M為氣缸活塞和慣性負(fù)載質(zhì)量之和；y為活塞位移；f為粘性阻尼系數(shù)；p1和p2為氣缸兩腔的壓力；A1和A2為氣缸兩腔作用面積；FL為氣缸外負(fù)載力;Ff為包括靜摩擦力和庫(kù)侖摩擦力的氣缸摩擦力。

1.2 比例閥的數(shù)學(xué)模型

通常情況下，閥控缸系統(tǒng)中，比例閥的數(shù)學(xué)模型[9]為

(2)

式中，U0為比例閥的輸入電壓；Kw為傳感器增益；ω0為比例閥的固有頻率；ξ0為比例閥的阻尼比。

1.3 比例閥閥口流量方程

由于氣體經(jīng)過(guò)閥口的過(guò)程較為復(fù)雜，在滿(mǎn)足假設(shè)條件的情況下，可將其過(guò)程視為理想氣體的一維等熵流動(dòng)，運(yùn)用Sanvile流量公式[10]計(jì)算。

一般情況下，當(dāng)氣缸容腔1進(jìn)氣，氣缸容腔2排氣時(shí)，則氣缸容腔1中氣體流動(dòng)狀態(tài)為亞聲速，氣缸容腔2中氣體流動(dòng)狀態(tài)為聲速。考慮在零位附近的小增量Δx，比例閥的氣體質(zhì)量流量方程可線(xiàn)性化得

(3)

1.4 比例閥流量連續(xù)性方程

基于系統(tǒng)氣體假設(shè)，對(duì)于工作腔1，氣缸進(jìn)氣腔和排氣腔的質(zhì)量流量應(yīng)與氣缸容腔內(nèi)質(zhì)量變化保持一致，故其壓力-流量方程[11]如下所示

(4)

理想氣體狀態(tài)方程為

(5)

式中，V1為氣缸容腔1體積；R為氣體常數(shù);T1為氣缸容腔1的溫度。

氣缸容腔1的實(shí)際溫度T1與初始溫度T1s之間滿(mǎn)足絕熱過(guò)程如下

(6)

式中，k=1.4，為絕熱指數(shù)。

式(6)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，帶入式(5)中，可得氣缸容腔1氣體動(dòng)態(tài)過(guò)程表達(dá)式

(7)

同理可得

(8)

1.5 氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)傳遞函數(shù)

將式(3)、式(7)和式(8)改寫(xiě)為增量形式，再進(jìn)行拉氏變換，并聯(lián)立可得

(9)

結(jié)合式(2)，可得氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)總模型方塊圖如圖1所示。

即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(10)

(11)

該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)組成。將其中所用參數(shù)帶入上式中得

用MATLAB繪制該開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Bode圖如下。

由圖可知，該系統(tǒng)幅值特性比相頻特性先交于橫軸，且幅值裕度為22.43 dB，相位裕度為89.12°，故系統(tǒng)是相對(duì)穩(wěn)定的[12]，可滿(mǎn)足生產(chǎn)實(shí)踐要求。

2 控制策略研究

2.1 常規(guī)PID

PID控制器是將偏差的比例、積分和微分通過(guò)線(xiàn)性組合的方式[13]，來(lái)達(dá)到控制被控對(duì)象的目的。圖3為PID控制系統(tǒng)原理框圖。

PID控制器根據(jù)給定量和實(shí)際輸出量之間構(gòu)成控制偏差

e(t)=y0(t)-y(t)

(12)

PID控制規(guī)律和寫(xiě)成傳遞函數(shù)形式為

(13)

(14)

式中，kp為比例系數(shù)；T1為積分時(shí)間常數(shù)，TD為微分時(shí)間常數(shù)。

2.2 不完全微分PID控制算法

比例環(huán)節(jié)是將偏差信號(hào)成比例的向控制系統(tǒng)反應(yīng)以減小誤差、加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度、提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。積分環(huán)節(jié)的存在主要是為了消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差[14]。微分環(huán)節(jié)則可在早期反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)，提前引入有效的修正信號(hào)，達(dá)到及時(shí)的改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的效果，使系統(tǒng)的反應(yīng)速度加快，減少反應(yīng)時(shí)間。

如上圖所示，其傳遞函數(shù)為

(15)

將上式離散化，并取uD(n)寫(xiě)成微分方程，取采樣時(shí)間為T(mén)s，并將其離散化，整理可得

(16)

uD(n)=KD(1-β)(e(n)-e(n-1))+βuD(n-1)

(17)

由上式可見(jiàn)，不完全微分PID控制算法中uD(n)增加了一項(xiàng)βuD(n-1)，但微分系數(shù)由kd下降至(1-β)kd，削弱了微分強(qiáng)度，延長(zhǎng)了微分作用時(shí)間，抗高頻干擾，實(shí)現(xiàn)微分超前調(diào)節(jié)。

2.3 加入速度反饋的不完全微分型PID

軟反饋即反饋校正信號(hào)不直接比例于系統(tǒng)的輸出信號(hào)，而是將輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)相應(yīng)處理加工之后得到的，在反饋校正中應(yīng)用廣泛。速度反饋控制就是將輸出量的速度信號(hào)采用負(fù)反饋形式反饋到輸入端，并與誤差信號(hào)進(jìn)行比較所構(gòu)成的回路。

速度反饋具有良好的平穩(wěn)性與快速性，如果在比例伺服系統(tǒng)中，將速度反饋引入到電液比例閥控缸位置系統(tǒng)中，即在控制系統(tǒng)中引入活塞桿位移的微分[15]，可使系統(tǒng)相位超前，在提高液壓缸的響應(yīng)速度的同時(shí)，增大阻尼增大，減小振蕩及超調(diào)，從而提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

3 仿真分析

瞬態(tài)響應(yīng)能夠直觀(guān)反應(yīng)氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的優(yōu)劣，是判斷其性能的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)。故基于氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)傳遞函數(shù)利用MATLAB對(duì)階躍信號(hào)進(jìn)行仿真，可得到無(wú)校正的系統(tǒng)階躍響應(yīng)(圖5)以及普通PID、不完全微分型PID和引入速度反饋的不完全微分型PID校正的對(duì)于階躍信號(hào)響應(yīng)的對(duì)比圖(圖6)。

如圖5中，在階躍信號(hào)作用下，前期有小幅震蕩，系統(tǒng)2.5 s,才趨于穩(wěn)定，響應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，系統(tǒng)反應(yīng)滯后，穩(wěn)態(tài)誤差過(guò)大。該情況下系統(tǒng)的控制精度達(dá)不到要求，且系統(tǒng)響應(yīng)不夠平穩(wěn)，需要引入適當(dāng)?shù)男Ｕ椒▽?duì)系統(tǒng)進(jìn)行改善，以?xún)?yōu)化其動(dòng)態(tài)特性。

如圖7中，在階躍信號(hào)作用下，通過(guò)引入速度反饋的不完全微分型PID的響應(yīng)曲線(xiàn)比普通PID和不完全微分型PID校正的響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差皆依次遞減，響應(yīng)過(guò)程更加平穩(wěn)。不同校正方法的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差如表1所示。

表1不同校正方法的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差Table 1.System response time and steady-state error of different correction methods

引入速度反饋的不完全微分型PID校正的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線(xiàn)，相對(duì)于無(wú)校正的響應(yīng)曲線(xiàn)，響應(yīng)時(shí)間降低2.1 s，穩(wěn)態(tài)誤差下降0.22 mm，響應(yīng)速度提升、系統(tǒng)精度提高且系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)特性得到很大的改善。

再分別用普通PID、不完全微分型PID和引入速度反饋的不完全微分型PID對(duì)正弦信號(hào)進(jìn)行追蹤，對(duì)比圖如圖8所示。

由圖8～圖10可看出，普通PID對(duì)正弦曲線(xiàn)的追蹤誤差較大；不完全微分型PID的追蹤效果雖明顯加強(qiáng)，但不如引入速度反饋與不完全微分型PID的追蹤曲線(xiàn)與目標(biāo)軌跡更加貼合。故引入速度反饋與不完全微分型PID的控制精度更高也更加穩(wěn)定。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)判斷其穩(wěn)定性，并對(duì)比無(wú)校正、普通PID、不完全微分型PID和引入速度反饋的不完全微分型PID校正的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線(xiàn)和正弦追蹤效果。仿真實(shí)驗(yàn)表明，引入速度反饋的不完全微分型PID校正方法在改善系統(tǒng)響應(yīng)速度、系統(tǒng)精度以及動(dòng)靜態(tài)特性方面有顯著提升。該校正方法為氣動(dòng)比例位置控制系統(tǒng)提供了新思路，也為日后更深層次的優(yōu)化研究，挖掘控制效果更好、更適合該系統(tǒng)的控制策略提供了參考。