曹銀萍，劉玉雪，陳超峰，李明飛，竇益華*

（1.西安石油大學機械工程學院，陜西 西安 710065；2.中國石油新疆油田公司勘探部，新疆 克拉瑪依 834000）

油氣井壓裂改造時，隨著壓裂液的注入，井下套管所處的壓力、溫度改變，并使套管承受附加軸向力，經(jīng)常會導致套管出現(xiàn)變形、彎曲、斷裂等問題[1]，影響正常的壓裂作業(yè)和后續(xù)油氣開采。而常規(guī)的套管力學分析方法難以準確描述壓裂套管在三維井眼中的工作狀態(tài)，難以準確分析套管的軸向載荷[2-5]。1983年，Johnsiek提出對微元管柱進行受力分析，考慮管柱的重力、拉力及井眼軌跡等參數(shù)，推導出由滑動摩擦導致的扭矩和拉力公式，從而分析整口井中套管受力情況，提出了預(yù)測管柱拉力及扭矩的軟桿計算模型[6]。1991年，郭恩昌等學者探討了壓裂改造高壓注入流體的溫度梯度和壓力梯度[7]。1995年，李子豐[8]建立了套管柱在三維彎曲井眼中的幾何方程、運動平衡方程和本構(gòu)方程。2005年，黃云[9]在前人研究的基礎(chǔ)上，考慮自重、摩阻、井斜角、井眼彎曲、溫度效應(yīng)、臌脹效應(yīng)等因素，通過三維彎曲井眼的幾何描述，建立了三維彎曲井眼中壓裂套管的力學模型，分析了壓裂套管的變形量。2007年，竇益華等[10]學者考慮井身結(jié)構(gòu)、載荷、溫度效應(yīng)等因素，通過研究高溫高壓深井管柱軸向屈曲載荷分析，得到管柱載荷、應(yīng)力、變形計算公式，通過大量實踐得到實用的試油管柱應(yīng)力應(yīng)變計算方法。2008年，杜現(xiàn)飛等[11]學者由井眼軌跡、套管結(jié)構(gòu)，考慮壓裂套管浮容重、內(nèi)外壓、溫度效應(yīng)、臌脹效應(yīng)、摩阻、彎矩等多種載荷，建立了壓裂套管力學模型，進行壓裂套管強度分析和校核。2016年，曹銀萍等[12]學者針對水平井彎曲段套管抗擠強度問題，建立彎曲、剪切、擠壓共同作用下的套管受力分析模型，進行實例計算，并與有限元分析對比分析，推導出井眼曲率與套管抗擠強度的關(guān)系。

針對三維彎曲井眼中壓裂套管的工作特點[13-14]，開展考慮井眼軌跡、套管結(jié)構(gòu)、壓裂施工要求。考慮套管浮容重、管內(nèi)流體壓力、流體摩擦阻力以及溫度載荷作用，建立套管軸向載荷力學模型，計算套管所受軸向力，分析其抗拉強度，為合理選擇壓裂參數(shù)提供依據(jù)。以某口井壓裂施工為例，根據(jù)建立的軸向載荷力學模型分析套管在三維彎曲井眼中的軸向載荷，并計算其所受軸向力和抗拉強度安全系數(shù)。

1 三維彎曲井眼中壓裂套管所受的軸向載荷

在壓裂工況下，套管的軸向載荷分析較為復(fù)雜，主要承受內(nèi)力、浮容重、管內(nèi)流體壓力、流體摩阻、溫度載荷、彎矩等[15]，見圖1。

1） 套管的內(nèi)力[16]

式中：T(h)為套管所受軸向力，kN；Qn(h)為套管主法線方向上的剪切力，kN；Qb(h)為套管主法線方向上的剪切力，kN。

由微分幾何中的曲率、撓率的定義，有：

將式（3） 分別代入式（1）、（2） 中，得：

2） 套管浮容重

式中：q為單位長度套管在空氣中的重量，kN/m；KF為浮力系數(shù)；qm為套管單位長度浮容重，kN/m。

3） 套管內(nèi)流體壓力

因等效分部載荷垂直向下，故由frenet標架定義可表示為：

式中：Pi為套管內(nèi)流體壓力，MPa；Ai為套管內(nèi)截面面積，m2；ρi為套管內(nèi)流體密度，kg/m3。

4） 流體摩擦阻力

受井眼約束的套管工作時，受流體摩擦阻力為：

式中：fλ為內(nèi)外流體產(chǎn)生的摩擦阻力，kN。

其中，壓裂液為牛頓流體，則流體的雷諾數(shù)計算公式為：

式中：ρ0為套管內(nèi)流體密度，kg/m3；Q為壓裂液的平均流速，m3/s；ν為壓裂液粘度Pa·s；D為套管外徑，m；d為套管內(nèi)徑，m。

故，單位套管所受的摩擦阻力可表示為

5） 彎曲力矩

式中：Mb(h)為套管所受扭矩kN·m。

設(shè)圓截面套管的抗彎剛度為EI，曲率與彎矩的關(guān)系式為：

式中：E為套管材料的彈性模量，MPa；I為套管的慣性矩，mm4。

6） 溫度載荷

由于熱脹冷縮原理，套管在井眼內(nèi)受熱力作用長度會發(fā)生變化，而產(chǎn)生套管切線方向的軸向力，故由frenet標架定義可表示為：

式中：qW為溫度效應(yīng)引起的單位套管載荷，kN；β為套管管材的線膨脹系數(shù)（一般取值1.2×10-5），1/℃；ΔT為單位套管的溫度變化，℃；D為套管外徑，m；d為套管內(nèi)徑，m。

2 三維彎曲井眼中壓裂套管軸向載荷力學分析模型

為科學合理地建立套管軸向載荷力學模型，需作適當?shù)暮喕c假設(shè)，根據(jù)力學建模特點，采用如下基本假設(shè)：套管軸線與井眼軌跡軸線重合；井壁是剛性的；套管為均質(zhì)彈性桿，套管單元所受重力、壓力、摩阻力均勻分布；摩擦系數(shù)在某一口井為常數(shù)；套管材料為理想彈塑性材料，均勻變溫。

如圖1所示，在空間直角坐標系Oxyz內(nèi)任取A點為起點、弧長為dh、B為終點的微元段套管，對其進行受力分析，建立了考慮井眼軌跡、浮容重、套管內(nèi)流體壓力、流體摩擦阻力、溫度載荷等共同作用下的壓裂套管軸向載荷力學模型。

通過受力分析，建立套管單元平衡方程：

圖1 套管微元段受力圖

聯(lián)立式（1） ～（20），得、、三個方向上投影的力平衡方程和力矩方程：

式中：Te(h)為套管的有效軸向力，kN。

化簡后，得：

又因κθ、κφ均為很小的幾何量，其乘積為微小量，可忽略，化簡整理得：

式（24）為綜合考慮了井眼軌跡、管柱自重、內(nèi)外流體壓力、溫度載荷，以及流體摩擦阻力作用的壓裂套管軸向載荷模型。采用有限差分法求解，即可得到距套管任意深處的軸向載荷。

由式（24）得到的等效軸向力的抗拉強度安全系數(shù)為：

式中：Fz為套管本身的抗拉強度，kN。

3 三維彎曲井眼中壓裂套管軸向載荷算例分析

如圖2所示為某井深為5183m每隔10m的三維彎曲井眼軌跡擬合圖。以該井壓裂施工為例，進行套管軸向載荷分析。已知套管數(shù)據(jù)如表1所示，儲層溫度為155℃，壓裂時地面泵注壓力為80MPa，泵注排量為10～11m3/min，壓裂液密度為1.07g/cm3。

圖2 某井三維彎曲井眼軌跡擬合圖

表1 某口井套管數(shù)據(jù)

根據(jù)式（1） -（25） 分析得到的井眼軌跡、套管浮容重、內(nèi)外壓值、壓裂液注入后的溫度場變化、壓裂液摩擦阻力以及井眼彎曲產(chǎn)生的彎矩，分析不同井深處套管的軸向力與抗拉安全系數(shù)。如圖3和圖4所示，三維彎曲井眼中套管的最大軸向載荷在井口位置約為2191.648kN；井口套管抗拉強度安全系數(shù)最低，約為1.408，基本滿足壓裂施工要求。

4 結(jié)論

1）壓裂施工作業(yè)會導致套管處于非常復(fù)雜的受力狀態(tài)，而常規(guī)的套管力學分析方法沒有考慮壓裂施工作業(yè)中產(chǎn)生的載荷變化，本文考慮井眼軌跡、套管結(jié)構(gòu)、壓裂施工要求，考慮套管浮容重、管內(nèi)流體壓力、溫度載荷以及流體摩擦阻力作用，建立套管軸向載荷力學模型，計算套管所受軸向力，分析其抗拉強度。

圖3 套管所受軸向力

圖4 套管抗拉強度安全系數(shù)

2）經(jīng)過實例計算得到壓裂套管在井口位置處所受軸向力最大，井口套管抗拉強度安全系數(shù)最低，符合實際工況，計算結(jié)果可用于合理選擇壓裂參數(shù)，預(yù)防套管損壞。