李 華,李德生

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,遼寧 沈陽 110034)

0 引言

非線性Schr?dinger方程(NLS)是非線性光學(xué)、等離子物理等領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)物理模型.對(duì)該方程的數(shù)值研究已經(jīng)取得了豐富的成果[1-5]，如有限差分法、有限體積法、有限元法、離散變分導(dǎo)數(shù)法等.其中離散變分導(dǎo)數(shù)法具有保結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)而日益受到人們的關(guān)注.文獻(xiàn)[6]用離散變分導(dǎo)數(shù)的方法對(duì)NLS方程提出了一個(gè)守恒差分格式，基于此，筆者應(yīng)用[6]的思想，對(duì)帶五次項(xiàng)的非線性Schr?dinger方程[7]

(1)

u(x,0)=u0(x),x∈(0,L),

(2)

u(x,t)=u(x+L,t),t∈(0,T),

(3)

構(gòu)建其保結(jié)構(gòu)的差分格式.其中α<0，β<0，i2=-1,u(x,t)為復(fù)值函數(shù)，u0(x)為已知的復(fù)值函數(shù).該問題的電荷和能量滿足下列關(guān)系:

(4)

(5)

其中Q(t),E(t)分別稱為某時(shí)刻的電荷和能量，Q(0),E(0)分別稱為初始時(shí)刻的電荷和能量，(4)稱為電荷守恒，(5)稱為能量守恒.

1 相關(guān)符號(hào)的定義

本文中使用的記號(hào)如下：

xk=kΔx,tm=mΔt,k=0,1,…,N,m=0,1,…,M.

空間位移算子為

s+k=fk+1,s-k=fk-1,

空間平均算子為

時(shí)間方向相關(guān)算子可以類似定義.本文應(yīng)用的內(nèi)積與范數(shù)定義為

為簡(jiǎn)單起見，當(dāng)p=2時(shí)，我們省略下標(biāo)，并定義umk和Umk分別為u(x,t)在(kΔx,mΔt)處的精確解和數(shù)值解.定義C為正常數(shù)，在不同的地方可以表示不同的值.

求和公式應(yīng)用梯形法則:

2 差分格式的建立

將方程(1)改寫為

(6)

由此，可以定義局部能量函數(shù)G,整體能量函數(shù)J:

(7)

(8)

故定義離散局部能量

(9)

其中下標(biāo)d表示離散，k表示空間方向.

下面求離散變分導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用直接因式分解法，有

其中(c.c)表示前一項(xiàng)的復(fù)共軛，Bc(Um+1k,Umk)表示邊界條件，且有

(10)

因此，可得離散變分導(dǎo)數(shù)

(11)

綜上，可得最終格式為

(12)

3 差分格式所繼承的守恒性質(zhì)

正如在引言中提到的，該方程具有電荷守恒和能量守恒的性質(zhì)，即

電荷守恒證明如下：

(13)

其中邊界項(xiàng)由于周期邊界條件消去了.

能量守恒證明如下：

(14)

其中邊界項(xiàng)亦由于周期邊界條件消去了.

離散情況下，給定的差分格式也具有守恒性質(zhì).

定理1 在離散的周期邊界條件下，差分格式的解Umk滿足

(15)

證明

最后一個(gè)等號(hào)是把離散變分導(dǎo)數(shù)的具體形式代入并用逐段求和公式

即可得出結(jié)論.

類似地，可以證明

(16)

4 解的存在唯一性以及解的估計(jì)

定理2 該差分格式存在唯一解.

顯然，g是連續(xù)的.還可以得到

其中最后兩項(xiàng)為純虛數(shù)，第3項(xiàng)根據(jù)逐段求和公式，我們有

因此這一項(xiàng)也是純虛數(shù).因此，我們可得

下面證明唯一性.

假設(shè)該格式存在2個(gè)解V和W,為了證明唯一性，則只需證V=W.

由Vk的表達(dá)式，易求得

應(yīng)用逐段求和公式，有

根據(jù)實(shí)部和虛部，有

綜上，解的存在唯一性得證.

(17)

5 解的收斂性

這里定義截?cái)嗾`差為Fmk，

(18)

(19)

(20)

接下來證明格式的收斂性，定義數(shù)值解的誤差為

emk=umk-Umk.

(21)

定理4 當(dāng)u∈C2([0,T],C3]時(shí)，存在常數(shù)c,只要1-cΔt>0，就有

(22)

當(dāng)u∈C2([0,T],C5]時(shí)，存在常數(shù)c′,只要1-c′Δt>0，就有

(23)

證明用(18)式減去(12)式，可以得到

(24)

左端變成了

(25)

右端第1項(xiàng)為0.

(24)式右端第2項(xiàng)可以改寫為

(26)

右端第4項(xiàng)

綜上，有

當(dāng)Δt滿足1-cΔt>0時(shí)，

再由引理3和引理4，該格式的收斂性得證.

6 結(jié)論

筆者應(yīng)用離散變分導(dǎo)數(shù)法，構(gòu)建了帶五次項(xiàng)的非線性薛定諤方程的一個(gè)保結(jié)構(gòu)的差分格式，證明了該格式解的存在唯一性，穩(wěn)定性，以及該格式在一定條件下的收斂性.