繆龍　陳龍　趙瑜　鮑宏偉

摘要：文中研究了有限p－可解群中二極大子群的相關(guān)性質(zhì)。采用極小階反例的方法，并結(jié)合極大子群的指數(shù)，得出p－可解群中強二極大子群的判別條件，同時還探討了弱二極大子群本身的性質(zhì)。從而揭示了二極大子群對p－可解群結(jié)構(gòu)的重要影響。

關(guān)鍵詞：p－可解群;極大子群;二極大子群;CAP－子群

中圖分類號：O152.1

DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2020－02－012

On second maximal subgroups of p－solvable groups

MIAO LongCHEN LongZHAO Yu BAO Hongwei3

Abstract： In this paper， the properties of second maximal subgroups in finite p－solvable groups have been studied. By using the method of counterexample of minimal order and combining with the indices of maximal subgroups， the criterion of strong second maximal subgroups in p－solvable groups has been obtained and further the properties of weak second maximal subgroups have been discussed. Hence the influences of second maximal subgroups on the structure of p－solvable groups have been revealed.

Key words： p－solvable group; maximal subgroup; second maximal subgroup; CAP－subgroup

眾所周知，二極大子群是有限群論中最基本的概念之一，許多學(xué)者已對其作了很多研究［1-7］。二極大子群可以分為強二極大子群和弱二極大子群兩種類型，具體可參考下文定義4。特別地，1980 年，Plfy和Pudlak在文獻［1］中證明了可解群G中包含強二極大子群的極大子群個數(shù)為1+q（其中q為素數(shù)方冪）。隨后，F(xiàn)eit和Lucchini分別在文獻［2］和［5］ 中證明了群G為非可解群時上述結(jié)果不成立。1995 年，F(xiàn)lavell 在文獻［8］中給出了群G中包含強二極大子群的極大子群個數(shù)的上界。2019年，孟沆洋和郭秀云在文獻［9］中討論了可解WSM－群的性質(zhì)。另一方面，Gaschütz在文獻 ［10］中提出了子群覆蓋遠離的性質(zhì)（簡稱CAP－性質(zhì)），是對子群正規(guī)性的一個有意義的推廣。隨后，許多學(xué)者利用子群的CAP性質(zhì)研究了有限群的結(jié)構(gòu)［11-14］。作為上述工作的繼續(xù)，本文將研究具有CAP性質(zhì)的二極大子群對p－可解群構(gòu)造的影響。

文中所考慮的群均是有限的，M<[KG-*2／3]·G表示子群M 是群G 的極大子群，群G的極小正規(guī)子群L記作L·[TXX-] G，max（G，H）表示群G中所有包含子群H 的極大子群的集合，HG=∩[DD（X]g∈G[DD）]Hg表示包含于子群H 的群G 的極大正規(guī)子群。未涉及的概念和符號參見文獻［15］。

參考文獻：

［1］PLFY P P，PUDLAK P.Congruence lattices of finite algebras and intervals in subgroup lattices of finite groups ［J］. Algebra Universalis， 1980，11（1）：22－27.

［2］FEIT W. An interval in the subgroup lattice of a finite group which is isomorphic to M7 ［J］. Algebra Universalis， 1983， 17（1）：220－221.

［3］ PLFY P P. On Feit′s examples of intervals in subgroup lattices［J］. Journal of Algebra， 1988， 116（2）： 471－479.

［4］KHLER P. M7 as an interval in a subgroup lattice［J］. Algebra Universalis， 1983， 17（1）：263－266.

［5］LUCCHINI A. On imprimitive groups with small degree［J］. Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova， 1991， 86： 131－142.

［6］LUCCHINI A. Intervals in subgroup lattices of finite groups［J］. Communications in Algebra， 1994， 22（2）： 529－549.

［7］LUCCHINI A. Representation of certain lattices as intervals in subgroup lattices［J］. Journal of Algebra， 1994， 164（1）： 85－90.

［8］FLAVELL P. Overgroups of second maximal subgroups［J］. Archiv Der Mathematik， 1995， 64（4）： 277－282.

［9］MENG H Y， GUO X Y. Weak second maximal subgroups in solvable groups［J］. Journal of Algebra， 2019， 517（1）： 112－118.

［10］GASCHTZ W. Praefrattini gruppen ［J］. Archiv Der Mathematik， 1962， 13（12）： 418－426.

［11］TOMKINSON M J. Cover－avoidance properties in finite soluble groups［J］. Canadian Mathematical Bulletin， 1976， 19（2）： 213－216.

［12］EZQUERRO L M. A contribution to the theory of finite supersoluble groups［J］. Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova， 1993， 89： 161－170.

［13］GUO X Y， SHUM K P. Cover－avoidance properties and the structure of finite groups［J］. Journal of Pure and Applied Algebra， 2003， 181（2／3）： 297－308.

［14］LIU J J， LI S R， SHEN Z C， et al. Finite groups with some CAP－subgroups［J］. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics， 2011， 42（3）： 145－156.

［15］郭文彬. 群類論［M］. 北京：科學(xué)出版社， 1997.

［16］LIU X L， DING N Q. On chief factors of finite groups［J］. Journal of Pure and Applied Algebra， 2007， 210（3）： 789－796.

［17］BALLESTER－BOLINCHES A， EZQUERRO L M. Classes of Finite Groups［M］.Amsterdam： Springer， 2006.

［18］徐明曜. 有限群導(dǎo)引（上）II［M］.北京：科學(xué)出版社， 1999.

［19］BRAY H G， DESKINS W E， JOHNSON D， 等. 冪零與可解之間［M］. 張遠達， 文志雄， 朱德高， 等譯. 武漢：武漢大學(xué)出版社， 1988.

（編 輯 張 歡）

收稿日期：2020－01－10

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（11871062）;江蘇省自然科學(xué)基金資助項目（BK20181451）

作者簡介：繆龍，男，江蘇揚州人，教授，博士生導(dǎo)師，從事群論研究。