夏鵬程

（北京科勒有限公司研發(fā)部，北京 101500）

羅茨泵、羅茨真空泵是應用比較廣泛的設備，羅茨泵屬于容積泵[1]，理論上羅茨轉子轉動一圈液體通過的體積是一定的，由于具有這個特征也產生了羅茨流量計[2]。目前羅茨轉子用于家庭用水的定量裝置（例如定量龍頭）剛剛起步，具體設計原理是：利用市政供水水力驅動羅茨轉子轉動，羅茨轉子轉動帶動計數機構，同時聯(lián)動機械運動機構實現排出一定量水后自動關閉閥門的純機械定量裝置。傳統(tǒng)應用領域的羅茨流量計只用于計數不會驅動閥門機構，不同于羅茨流量計，定量裝置的設計更重要的是水力轉換效率，水力轉換效率與轉子設計的徑距比直接相關，徑距比越大，水力轉換效率越高。通過對圓弧漸開線進行徑距比和嚙合分析，創(chuàng)造出更大徑距比的新型的轉子類型。

1 徑距比的實際意義

如圖1 所示，圖示為雙葉輪羅茨轉子嚙合的橫截面，凸起部分稱為葉峰，凹入部分為葉谷，當2 個葉輪同步轉動時，葉峰與葉谷相嚙合，相當于2 個轉子的節(jié)圓做純滾動。葉輪外徑與兩葉輪中心距的比值稱為葉輪的徑距比k。根據圖1嚙合示意圖可知：

式（1）中：R1為葉輪半徑；R為葉輪節(jié)圓半徑。

當有水壓P加載時，水壓作用在轉動軸O和O1組成的平面上，水壓作用在兩葉輪上的力F為：

式（2）中：P為水的壓強；h為轉子的高度。

可知葉輪的徑距比越大，水壓作用在葉輪上的力越大，壓力勢能轉換為轉子動能效率越高，通俗地講就是轉子越容易驅動。

圖1 雙葉輪羅茨轉子嚙合示意圖

2 嚙合分析

羅茨轉子常用的葉型有圓弧漸開線型、圓弧型和擺線型[3]。選取漸開線型作為研究對象，進一步探討徑距比。

如圖2 所示，圖示為圓弧漸開線型[4]羅茨轉子嚙合的橫截面，為漸開線，轉子轉動在F、E點間的漸開線上嚙合，轉子頭和腰為圓弧線，圓弧相等，且不參與嚙合，轉子轉動從A點到E點轉動了45°，轉子轉動從A點到F點也是轉動了45°，A點在節(jié)圓直徑上。線段為圓弧半徑，圓弧的中心在D點上，根據圓弧漸開線型葉輪嚙合的原理，D點必須在節(jié)圓上，同時線段和線段在一條直線上。

圖2 圓弧漸開線型羅茨轉子嚙合示意圖

根據漸開線的定義，漸開線展開長度等于漸開線在基圓上滾過的弧長，所以轉子轉動從A點到E點轉動了45°，其漸開線展開長度增加為：

式（3）中：r為漸開線基圓半徑；為漸開線展開到E點的展開長度；線段為漸開線展開到A點的展開長度。

由圖2 可知，漸開線展開到E點的展開長度為:

將式（5）、式（4）代入式（3），可得：

由圖2 可知轉子直徑2R1為：

式（7）中：R為葉輪節(jié)圓半徑；r為漸開線基圓半徑。已知漸開線函數:

式（8）中：α為葉輪嚙合壓力角。

將式（8）代入式（7），可得：

根據式（1）可知徑距比k為：

根據公式（10）可知，徑距比只跟α有關，α越小徑距比越大。

進一步分析，如圖2 所示，轉子轉動在F、E點間的漸開線上嚙合，實際上是漸開線展開從F點展開到E點的過程。F點的極限位置為漸開線展開的起始點。

以F點作為漸開線展開的起始點，由漸開線的定義，漸開線從F點展開45°到A點，漸開線展開長度為基圓45°圓弧線長度，列等式：

由圖2 可知：

由式（11）、式（12）可得：

聯(lián)合式（13）和（8）求解可得：

式（13）解函數可得α=38.146°，所以以F點作為漸開線展開的起始點是完全嚙合的極限位置，38.146°是葉輪嚙合的極限壓力角。

另外E點作為參與嚙合的漸開線終點，越接近轉子頂點圓弧段越小，如圖2 所示，為零就超出了圓弧型漸開線羅茨轉子的定義，因此E 點達到轉子頂點是也是極限位置。

由式（6）、式（8）可得：

可知α=90°時，= 0

所以圓弧型漸開線羅茨轉子的壓力角不能達到90°。38.146°是完全嚙合和不完全嚙合的臨界壓力角，當壓力角α大于38.146°小于90°時為完全嚙合，大于0°小于38.146°時，為不完全嚙合。

傳統(tǒng)漸開線圓弧型羅茨轉子是按照完全嚙合設計的，當α為 38.146°時，根據公式（10）得到徑距比k為 1.618。1.618為傳統(tǒng)漸開線圓弧型羅茨轉子的最大徑距比。

3 推導與創(chuàng)新

前面推算已知嚙合壓力角α越小，徑距比越大，完全嚙合的最大徑距比k為1.618，但是根據公式（10）可知，徑距比k可以大于1.618，當k大于1.618 時將出現不完全嚙合，經過進一步研究，對于不完全嚙合可以經過改進實現完全嚙合。

如圖3 所示為不完全嚙合，兩葉輪同步轉動45°的嚙合點為A、A1，A、A1重合。左邊葉輪轉動從A到E（右邊葉輪轉動從A1到E1） 為45°，葉輪轉動從A到F（右邊葉輪轉動從A1到F1） 為θ，θ不足 45°。左邊葉輪轉動從AF嚙合在右邊葉輪的A1E1上，或者右邊葉輪轉動A1F1嚙合在左邊葉輪AE上，由于θ不足45°，A1E1（AE）只有一部分與AF（A1F1）完全嚙合，超出AF（A1F1）的部分為不完全嚙合。對于不完全嚙合部分進行分析，重建嚙合曲線。具體如下：內凹圓弧和AF（A1F1）保持不變，進行分析可知AE部分不能嚙合部分即是F1點不能與AE重合，重建F1點在左邊葉輪上的擺動曲線，代替AE段和頂圓的部分曲線。

圖3 不完全嚙合圖解

如圖4 建立坐標系，根據轉子嚙合角速度一致，那么右邊轉子繞左邊轉子轉動角度θ，同時自轉角度也是θ，相當于右邊轉子在坐標系中繞O1點轉動了2θ。根據這些條件可知，

式（16）、式（17）、式（18）、式（19）中：θ為變量 ；b和θ1為定值，b為線段的長度，θ1為線段與右邊轉子直角坐標軸的夾角。

圖4 曲線推導示意圖

F1點的X坐標值如下：

F1點的Y坐標值如下：

建立笛卡爾坐標方程，

式（20）、式（21）中：θ為變量，θ范圍 0～（45-θ1）；b和θ1為定值，取值由F1點在右邊葉輪的位置決定。

式（20）、式（21）就是左邊葉輪與F1點嚙合的曲線方程，也就是F1點在左邊葉輪上形成的擺動曲線。

根據曲線方程重建轉子輪廓，如圖5 所示，以1/4 的轉子截面為例，左邊轉子輪廓為KL，右邊轉子的輪廓為K1L1。

圖5 新型羅茨轉子輪廓圖

KF和HL為相同圓弧線，在轉動過程中分別與H1L1和K1F1重合；GH為F1點的擺線，FG為漸開線，與漸開線F1G1嚙合，相對應G1H1為點F的擺線，G1H1輪廓與GH相同，FG輪廓與F1G1相同，這樣就形成了完全嚙合的轉子葉型。

新型的轉子徑距比k大于1.618，由于雙轉子機構還需要旋轉軸支撐，所以理論上徑距比k不能達到2，選取1.618 ～2的徑距比壓力勢能轉換為轉子動能效率比傳統(tǒng)轉子更高，轉子更容易驅動，輸出動能驅動聯(lián)動機械運動機構和閥門機構更容易運轉。

4 結論

新型羅茨轉子是在傳統(tǒng)圓弧型漸開線羅茨轉子的基礎上發(fā)展的，新型羅茨轉子能提供更大的徑距比，利用新型羅茨轉子設計的定量裝置，計量精度基本與圓弧漸開線型羅茨轉子相同，但是驅動力更大，能很好地帶動相關機構運行。羅茨轉子作為動力輸出目前還是空白，大徑距比的羅茨轉子將加速其應用。