顧媛媛

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?角的概念在中職數(shù)學(xué)中是比較難定義的概念之一。在簡單介紹GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的基礎(chǔ)上，借助實(shí)例，使學(xué)生認(rèn)識角的概念的推廣的可能性和必要性，樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，進(jìn)一步深刻理解角的概念，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?GeoGebra;中職數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2020）17-0158-02

角的概念的推廣是中職數(shù)學(xué)中重要的概念之一，本文借助GeoGebra動(dòng)態(tài)軟件，重點(diǎn)講解任意角的概念、正角、負(fù)角、象限角、軸線角以及終邊相同的角的探究，目的在于輔助課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，以適應(yīng)教育現(xiàn)代化的需要。

一、GeoGebra軟件介紹

GeoGebra動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter 設(shè)計(jì)。該軟件將幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）完美融合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題動(dòng)態(tài)化、情景化、形象化。

二、情境引入：基于GeoGebra軟件引入任意角的概念

情境引入：在GeoGebra軟件中創(chuàng)建時(shí)鐘情境，并制作分針旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫，讓學(xué)生觀察分針從左端位置到右端位置共旋轉(zhuǎn)了多少度？若從右端位置旋轉(zhuǎn)了一周半后到達(dá)左端位置，則又旋轉(zhuǎn)了多少度？

設(shè)計(jì)意圖：GeoGeBra動(dòng)畫中通過創(chuàng)設(shè)分針繞著圓心旋轉(zhuǎn)的情境，學(xué)生能直觀感受到以射線繞著端點(diǎn)周而復(fù)始地旋轉(zhuǎn)，深刻體會(huì)“旋轉(zhuǎn)”兩個(gè)字的含義，此過程中形成超過0°～360°的角，而這些角都不在初中研究的角的范圍內(nèi)，由此引出本節(jié)課所要研究的內(nèi)容“任意角”，加深學(xué)生對任意角的概念的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)新知識的興趣。

三、問題探究：基于GeoGebra軟件探究正角、負(fù)角、零角

問題：如果某時(shí)鐘快10分鐘，如何校準(zhǔn)？時(shí)鐘慢了10分鐘，如何校準(zhǔn)？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在GeoGebra軟件中拖動(dòng)滑動(dòng)條分別將分針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°進(jìn)行校準(zhǔn)時(shí)鐘。

追問1：在剛才校準(zhǔn)時(shí)鐘的過程中，出現(xiàn)了兩個(gè)相反的旋轉(zhuǎn)方向，一個(gè)是順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，另一個(gè)是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如何用數(shù)學(xué)的方法將按順時(shí)針、逆時(shí)針兩種相反方向旋轉(zhuǎn)的角加以區(qū)分？

追問2：其實(shí)我們之前也有過類似的經(jīng)驗(yàn)，比如實(shí)數(shù)中我們對互為相反的數(shù)如何區(qū)分的呢？

教師活動(dòng)：根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)數(shù)中我們將互為相反的數(shù)分別規(guī)定為正數(shù)和負(fù)數(shù)加以區(qū)分，引導(dǎo)學(xué)生類比于以往經(jīng)驗(yàn)，規(guī)定逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角為正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角為負(fù)角。時(shí)鐘快10分鐘，校準(zhǔn)時(shí)也稱旋轉(zhuǎn)60°，時(shí)鐘慢10分鐘，校準(zhǔn)時(shí)也稱旋轉(zhuǎn)

-60°，如果一條射線沒有任何旋轉(zhuǎn)，我們也把它稱作一個(gè)角，叫做零角。

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生在GeoGebra軟件中操作分針順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，不僅能讓學(xué)生感受到兩種不同的旋轉(zhuǎn)方向，還能引發(fā)學(xué)生深入分析和思考如何區(qū)分這兩個(gè)大小相同但方向不同的角，從而更深刻地體會(huì)“旋轉(zhuǎn)”兩個(gè)字的含義。類比于實(shí)數(shù)中正負(fù)數(shù)區(qū)分規(guī)則，引導(dǎo)學(xué)生以正角、負(fù)角來區(qū)分不同旋轉(zhuǎn)方向的角，加深學(xué)生對任意角的理解。

四、合作探究：基于GeoGebra軟件探究象限角、軸線角

合作探究1：以時(shí)鐘中的分針為研究對象，請同學(xué)們按照以下步驟將時(shí)鐘從12：15撥回到10：15（12：15→12：05→11：45→11：10→10：15），并記錄每一步驟中分針旋轉(zhuǎn)了多少度。前后左右四人一組相互討論，并畫出這些角。

學(xué)生活動(dòng)：通過分組討論與交流，學(xué)生得出依次旋轉(zhuǎn)是60°，120°，210°，330°這四個(gè)不同的角，并在草稿紙上畫出了這些角（位置各異，方向不同）。

合作探究2：我們研究的角的范圍已經(jīng)從0°～360°范圍內(nèi)推廣到任意角，而這里只是作出四個(gè)角就已是位置各異，方向不同，顯然會(huì)對我們今后的研究帶來不便，那有沒有什么好的辦法將這些角統(tǒng)一表示出來呢？同學(xué)們可以聯(lián)想實(shí)數(shù)中正數(shù)、負(fù)數(shù)和0可以借助數(shù)軸有效地區(qū)分和研究。那在平面中我們可以借助什么數(shù)學(xué)工具研究任意角呢？前后左右四人一組再次相互討論，并分享討論結(jié)果。

學(xué)生活動(dòng)：可以將這些角都統(tǒng)一放到直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究。

教師活動(dòng)：類比于正數(shù)、負(fù)數(shù)和0可以借助數(shù)軸有效地區(qū)分和研究，那我們研究的任意角將可以借助直角坐標(biāo)系來研究，以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系。此時(shí)角的終邊在直角坐標(biāo)系中將落在不同的象限內(nèi)，根據(jù)角的終邊所在的象限位置則稱其為第幾象限角，若角的終邊落在軸線上，則稱其為軸線角。

設(shè)計(jì)意圖：分組討論讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，若角的位置和形狀不統(tǒng)一，將會(huì)對進(jìn)一步研究角帶來更多的麻煩。GeoGebra軟件的動(dòng)畫演示能讓學(xué)生體會(huì)到將角放入直角坐標(biāo)系中的便捷性。

五、尋找規(guī)律：基于GeoGebra軟件探索終邊相同的角的規(guī)律

尋找規(guī)律1：我們?nèi)砸詴r(shí)鐘的分針為研究對象，請同學(xué)們注意觀察：如果分針旋轉(zhuǎn)150°，-210°，870°，-930°后有什么規(guī)律？

學(xué)生活動(dòng)：通過觀察發(fā)現(xiàn)，分針在旋轉(zhuǎn)了以上角后所在的位置都相同，即這些角的終邊都相同。

尋找規(guī)律2：與這些角終邊相同的角還有嗎？它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：這樣的角有無數(shù)個(gè)，它們之間都是相差360°的整數(shù)倍。

教師活動(dòng)：通過剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，與150°角終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，這些角包括150°在內(nèi)可以構(gòu)成集合，用描述法可以寫成β|β=k·360°+150°，k∈Z，由這樣的特殊情況推廣到一般的情況，與α終邊相同的角所構(gòu)成的集合為β|β=k·360°+α，k∈Z。

設(shè)計(jì)意圖：通過GeoGebra軟件中旋轉(zhuǎn)分針的操作，學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，能更直觀地感受到無論是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°的整數(shù)倍后，角的終邊仍然不變。

在角的概念的推廣的探究學(xué)習(xí)過程中，借助信息化元素GeoGebra課件，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，學(xué)生更深刻地理解了任意角的概念、正角、負(fù)角、象限角、軸線角以及終邊相同的角，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的數(shù)學(xué)邏輯思維，進(jìn)而提高課堂效率，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]沈翔.GeoGebra基本操作指南[M].北京：高等教育出版社，2016.

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