房聰

摘要：目前為止對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可控性的研究大都集中在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)上，本文研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可控性，將系統(tǒng)中的狀態(tài)變量定義到邊上，節(jié)點(diǎn)中的交換矩陣對(duì)應(yīng)入邊狀態(tài)變量與出邊狀態(tài)變量之間的耦合關(guān)系，探究在網(wǎng)絡(luò)邊動(dòng)態(tài)系統(tǒng)下的可控性研究。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);邊動(dòng)態(tài);可控性

中圖分類號(hào)：O157.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2020）02-0077-01

0 引言

近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)被廣泛的使用在了社會(huì)、生物、技術(shù)和金融等等系統(tǒng)中。如何控制復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)稱為了一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題。根據(jù)控制理論，指通過有效輸入，使得系統(tǒng)在一個(gè)有限時(shí)間內(nèi)可以從任意給定的初始狀態(tài)到達(dá)期望的最終狀態(tài)，當(dāng)對(duì)于給定的輸入，能夠?qū)崿F(xiàn)這一控制目標(biāo)，我們稱系統(tǒng)為可控的[1]。

現(xiàn)有的大多數(shù)研究都集中在研究節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)上。但是，在許多現(xiàn)實(shí)世界中的網(wǎng)絡(luò)，邊緣動(dòng)態(tài)也很重要。例如，在城市交通網(wǎng)絡(luò)中，邊緣代表通過信息傳輸信息的物理連接（例如公路和鐵路）節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)（例如交叉路口）通過相應(yīng)的邊緣接收和發(fā)送火車與它連接。Nepusz和Vicsek通過點(diǎn)邊互換的方法，將原來網(wǎng)絡(luò)中的狀態(tài)變量定義到邊上，利用Liu等人的方法研究了動(dòng)力學(xué)作用在邊上的網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控問題，發(fā)現(xiàn)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊動(dòng)態(tài)系統(tǒng)下的可控性與點(diǎn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可控性有本質(zhì)的差別[2]，然后龐等擴(kuò)展了有向和無向的邊緣可控性。引起了很多人來探索復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的邊緣可控性[3]。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)可控性

通過交換機(jī)動(dòng)態(tài)來描述網(wǎng)絡(luò)的邊動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，將含有N個(gè)節(jié)點(diǎn)和M條邊的有向圖記為G（V，E），將狀態(tài)向量x=（x1，x2，…xM）T對(duì)應(yīng)有向圖G的邊集，其中每一個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)有向圖中的一條邊。對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中的任意節(jié)點(diǎn)v，其出邊狀態(tài)受到入邊狀態(tài)、自身阻尼和外部輸入的影響，所以有：

（1）

其中yv+和yv-分別為節(jié)點(diǎn)v的出邊狀態(tài)向量和入邊狀態(tài)向量。Sv為交換矩陣，其行數(shù)和列數(shù)分別等于節(jié)點(diǎn)的出度kv+和入度kv-。τv為作用于出邊狀態(tài)上的阻尼項(xiàng)，表示兩向量對(duì)應(yīng)元素相乘。當(dāng)σv=1時(shí)，出邊狀態(tài)會(huì)受到外部輸入uv影響，此時(shí)稱節(jié)點(diǎn)v為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)。交換機(jī)動(dòng)態(tài)中節(jié)點(diǎn)如同交換機(jī)設(shè)備，接收來自入邊的信號(hào)再將其加工并轉(zhuǎn)發(fā)到出邊上，加工和轉(zhuǎn)發(fā)過程由節(jié)點(diǎn)內(nèi)部的交換矩陣表示。公式（1）可以改寫為一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)：

=（W-T）x+Hu? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

其中，W為狀態(tài)矩陣，是有向圖G的線圖L（G）的鄰接矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，線圖L（G）中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)其原圖G中的邊，線圖L（G）中的邊對(duì)應(yīng)原圖G中邊的指向關(guān)系。T為阻尼矩陣，為對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素上為對(duì)應(yīng)每條邊的阻尼項(xiàng)。

網(wǎng)絡(luò)邊動(dòng)態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可控所需驅(qū)動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量和位置是由節(jié)點(diǎn)的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定的。具體來說，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)分為發(fā)散點(diǎn)（kv+>kv-）、收斂點(diǎn)（kv+

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊動(dòng)態(tài)嚴(yán)格可控性

根據(jù)嚴(yán)格可控性[4]，為了使邊動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可控所需要的最少驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)由其線圖的鄰接矩陣的特征根的最大幾何重?cái)?shù)決定的，即有：

ND=maxi{（μ（λi ）}? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

其中λi為狀態(tài)矩陣W的特征值，（λi）為特征值的幾何重?cái)?shù)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N足夠大時(shí)，且網(wǎng)絡(luò)中無自環(huán)或有少量自環(huán)時(shí)，其狀態(tài)矩陣W的特征均值的期望約等于0，也就是說，其鄰接矩陣具有最大的幾何重?cái)?shù)。所以，為了使系統(tǒng)到達(dá)結(jié)構(gòu)可控所需要的最少驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為：

ND=max{1，M-rank（W）}? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

外部輸入通過驅(qū)動(dòng)點(diǎn)來影響它的部分或者全部出邊的狀態(tài)，所以網(wǎng)絡(luò)邊動(dòng)態(tài)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)邊的起點(diǎn)為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)，驅(qū)動(dòng)邊的數(shù)目為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)的出邊數(shù)量減去入邊數(shù)量。為了使邊動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可控所需要的最少驅(qū)動(dòng)邊的數(shù)量為：

（5）

其中節(jié)點(diǎn)i為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)，C為網(wǎng)絡(luò)中連通分支的數(shù)量。

3 結(jié)語

控制復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為是復(fù)雜科學(xué)的前沿問題，同時(shí)也是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的最終目標(biāo)。當(dāng)前對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可控性的研究大都集中于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊動(dòng)態(tài)系統(tǒng)同樣重要，可以代表許多現(xiàn)實(shí)生活中的網(wǎng)絡(luò)，通過對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊動(dòng)態(tài)可控性的研究，可以極大的豐富控制理論，并為以后的實(shí)際工程應(yīng)用做下鋪墊。

參考文獻(xiàn)

[1] 袁正中.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的控制研究[D].北京：北京師范大學(xué)，2014.

[2] Nepusz，Tamás，Vicsek，Tamás.Controlling edge dynamics in complex networks[J].Nature Physics，2012，8（7）：568-573.

[3] Pang S P，Hao F，Wang W X.Robustness of controlling edge dynamics in complex networks against node failure[J].Physical Review E，2016，94（5）：052310.

[4] Ching-Tai Lin.Structural controllability[J].IEEE.TRANS.AUTOMATIC Control， 974，19（3）：201-208.

Review of? Research on Dynamic Controllability of? Complex Network Edges

FANG Cong

（College of? Electrical Engineering and Automation， Qilu University of? Technology， Jinan? Shandong? 250353）

Abstract：Most of the research on controllability of complex networks has focused on the dynamic systems of complex network points. This paper studies the controllability of dynamic systems on the edges of complex networks. The state variables in the system are defined on the edges， and the switching matrix in the nodes corresponds to Coupling relationship between in-edge state variables and out-edge state variables， exploring the controllability research under the network-side dynamic system

Key words：complex network; edge dynamic; controllability