管小冬
“整數(shù)四則混合運算”是在學(xué)生掌握整數(shù)四則運算的基礎(chǔ)上,解決綜合算式中運算順序的問題。教材安排這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí),一方面是因為解決問題時,由分步走向綜合,是思維發(fā)展的必然追求。列綜合算式既簡化了計算過程,提高計算效率,又進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生分析與綜合能力的提高。另一方面,綜合算式的出現(xiàn),也推動著我們進(jìn)一步展開對運算律的研究,進(jìn)而又促進(jìn)了運算能力的提升。
然而,實際教學(xué)中,學(xué)生對“先乘除、后加減”這一運算順序的未教先知,教師對運算順序這一數(shù)學(xué)規(guī)定的粗淺理解,往往使不少教師忽視、淡化對這一教學(xué)內(nèi)容的思考與設(shè)計。那么,如何深入理解“運算順序的數(shù)學(xué)規(guī)定”并據(jù)此展開教學(xué)呢?以下是我在觀摩、學(xué)習(xí)后的一些粗淺想法,供大家參考。
一位教師執(zhí)教蘇教版三年級下冊《混合運算》一課。
課始,教師出示兩道混合運算:1.34-18+52;2.12×6÷9。
學(xué)生計算后,教師總結(jié):加、減是低級運算,乘、除是高級運算。在只含有同一級運算的算式中,要從左往右依次計算。
教師繼續(xù)出示:20+5×3。
師:這道題又該怎么算呢?
生:先算乘法,再算加法。
師:有不同意見嗎?(學(xué)生都表示沒有)也就是在一道算式中,如果既有加法,又有乘法,要先算(乘法),再算(加法)。咦,你們是怎么知道的?
生:爸爸媽媽告訴我的。
生:從書上看到的。
……
師:你們真善于學(xué)習(xí)!不過,我們學(xué)習(xí)計算,最終目的是為了解決實際問題。下面,讓我們借助實際問題來看看,為什么先算乘法再算加法。
教師出示教材情境圖:
學(xué)生根據(jù)題意列式解答,隨后將分步列式合并為綜合算式:5×3+20 或 20+5×3。
師:要求一共用去多少元,就要先求什么?再求什么?
生:先求3本筆記本要多少元,再求一共用去多少元。
師:也就是要先算(乘法),再算(加法)。想想,可以先算加法,后算乘法嗎?
生:不可以。
師:真好!根據(jù)事理,數(shù)學(xué)中規(guī)定在既有乘法又有加法的算式中,我們要先算乘法,再算加法。
整數(shù)四則混合運算的計算順序是“先乘除,后加減,有括號要先算括號里的”。教學(xué)中,我們?nèi)绾我龑?dǎo)學(xué)生理解這一看似簡單的“數(shù)學(xué)規(guī)定”呢?以上教學(xué)片斷恰可視為近幾年中對這一問題的典型處理方式。即通過創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生基于解決問題的需要理解為什么“先乘除,后加減”。在一次教研活動中,這樣的設(shè)計就因“從數(shù)學(xué)規(guī)定的簡單告知轉(zhuǎn)為有意義的深度理解”而得到了不少聽課者的稱贊。然而,深入思考后,我以為這樣的設(shè)計仍有值得推敲之處。
如上述片斷中所言,“學(xué)習(xí)計算,最終目的是為了解決實際問題”。但將“先乘除,后加減”這一數(shù)學(xué)規(guī)定的原由片面地解釋為解決問題的需要,顯然是不太妥當(dāng)?shù)?。試想,如果上述情境中,提出的問題改為“小軍買3本筆記本和3個講義夾,一共用去多少元?”而有學(xué)生的解法是:先算1本筆記本和1個講義夾多少元,再算3本筆記本和3個講義夾共多少元。即先算5+7=12(元),再算12×3=36(元)。那么,根據(jù)事理,此處由分步轉(zhuǎn)向綜合得到的算式“5+7×3”豈不是要“先加減,后乘除”?但實際上,根據(jù)運算順序的規(guī)定,此處要“先加再乘”我們必須給加法添上括號才行。由此,我們應(yīng)該明白,解決問題時,先算什么,再算什么,是由問題中數(shù)量間的關(guān)系而定,此時的先與后指向的是解決問題的步驟,而非運算順序,兩者不可混為一談。
再者,雖然我們未必知道“歷史上何時在何種情況下開始使用綜合算式(混合運算)”,但這并不妨礙我們理解綜合算式產(chǎn)生及獲得廣泛使用的原因。即,一方面,由分步走向綜合,源于我們對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系認(rèn)識的不斷提高,更是數(shù)學(xué)簡潔性表達(dá)的必然追求;另一方面,綜合算式的出現(xiàn),讓我們將具體計算從實際問題中抽象出來,進(jìn)而去研究如何使更合理簡潔地進(jìn)行計算成為可能。
如此,正如我們說“數(shù)學(xué)源于生活而高于生活”一樣,四則運算、運算順序及運算律等與運算相關(guān)的數(shù)學(xué)規(guī)定,也是“源于生活而高于生活”的。
那么,如何理解“先乘除,后加減”這一數(shù)學(xué)規(guī)定呢?我以為,還得回溯我們對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識過程,回到四則運算的意義上來。
我們知道,加法是“將兩個或者兩個以上的數(shù)、量合起來,變成一個數(shù)、量的計算”,減法是加法的逆運算。隨著認(rèn)識水平的提高,在“求幾個相同加數(shù)的和”時,我們又將這樣的算式進(jìn)行了簡化,產(chǎn)生了乘法。作為乘法逆運算的除法也因之而生。正因為乘法是“求幾個相同加數(shù)和的簡便運算”,我們才規(guī)定“加減法是低級運算,乘除法是高級運算”,當(dāng)“一個算式中既有乘除,又有加減時,應(yīng)先乘除,后加減”。
以上述片斷中的問題為例,求“3本筆記本和1個書包一共多少元?”是將3本筆記本和1個書包的錢數(shù)合起來,即5+5+5+20或20+5+5+5,而其中3個5相加又可簡潔地表示為5×3,表示的是3本筆記本一共的錢數(shù)。如此算式又變?yōu)?×3+20 或者 20+5×3,都應(yīng)該先乘后加。
再以筆者前面提出的問題“小軍買3本筆記本和3個講義夾,一共用去多少元?”為例,用加法表示為5+5+5+7+7+7,其中3個5相加與3個7相加分別可簡潔表示為5×3與7×3,進(jìn)而算式變?yōu)?5×3+7×3,同理,也是先乘后加。而隨著認(rèn)識的不斷提高,我們又發(fā)現(xiàn)這個問題還可以先算“1本筆記本和1個講義夾多少元,再算3本筆記本和3個講義夾共多少元”,即先算5+7=12,再算 12+12+12=36,而第二步又可簡潔表示為12×3。如此就又有了當(dāng)這兩個分步算式合并為“5+7×3”時,基于數(shù)量關(guān)系要先加后乘的需求,與之前基于運算意義規(guī)定的“先乘后加”相悖。為此,我們又引入括號改變運算順序,既使混合運算能契合問題解決的需求,又確保了數(shù)學(xué)規(guī)定的統(tǒng)一性與運算結(jié)果的唯一性。如此,我們可進(jìn)一步理解,乘法分配律表示成 a×c+b×c=(a+b)×c,而非反過來,正是基于認(rèn)識的不斷提高與數(shù)學(xué)的逐步發(fā)展。
在深入理解“運算順序的數(shù)學(xué)規(guī)定”的基礎(chǔ)上,再參考《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(下稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)論及“零指數(shù)”教學(xué)方案的設(shè)計時的要求:“教學(xué)目標(biāo)不僅要包括了解零指數(shù)冪的‘規(guī)定’、會進(jìn)行簡單計算,還要包括感受這個‘規(guī)定’的合理性,并且在這個過程中學(xué)會數(shù)學(xué)思考、感悟理性精神。”我對如何展開這部分內(nèi)容的教學(xué)形成了以下幾點認(rèn)識。
在四則混合運算的教學(xué)中,根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的具體要求及混合運算的具體類型創(chuàng)設(shè)情境,將混合運算與問題解決緊密結(jié)合是《課程標(biāo)準(zhǔn)》的具體要求。首先,綜合算式的出現(xiàn),是我們對問題解決過程中數(shù)學(xué)表達(dá)簡潔化的必然追求。脫離實際問題而單純討論四則混合運算的順序是無意義且無價值的。如,在運算順序的規(guī)定未明確前,算式“5+7×3”是沒有意義的,必須首先明確其“前身”——分步計算的算式是什么。其次,以實際問題為依托,有利于學(xué)生對運算順序數(shù)學(xué)內(nèi)涵的思考與理解。比如,本文之前“教學(xué)片斷”中的購物情境,就可以契合混合運算的不同類型提出相應(yīng)的問題,作為學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的有力支撐。再次,嘗試列綜合算式來解決實際問題,也有助于學(xué)生綜合與分析能力的提升及問題解決能力的提高。
混合運算看似簡單,實則易錯。究其原因,既與低年級接觸到的相關(guān)試題均為從左往右依次計算,由此帶來的負(fù)遷移較強(qiáng)有關(guān);也與不少學(xué)生“未教先知”,從而弱化了對運算順序規(guī)定的深層次探究與理解有關(guān)。教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生通過多元表征,探究、思考、理解“規(guī)定”背后的道理,可進(jìn)一步增進(jìn)學(xué)生對運算順序規(guī)定的理解與記憶,促進(jìn)學(xué)生運算能力的不斷提高。比如,解決問題時,引導(dǎo)學(xué)生使用圖式表示問題中的數(shù)量關(guān)系,用綜合法、分析法理清數(shù)量間直接或間接的聯(lián)系,觀察所列綜合算式的計算順序是否與問題解決的步驟一致。練習(xí)時,引導(dǎo)學(xué)生不忙動筆,先觀察,然后在先算的部分下面劃線,最后計算,以此培養(yǎng)學(xué)生良好的計算習(xí)慣。設(shè)計根據(jù)圖式列綜合算式、根據(jù)給定的綜合算式編故事等類型的練習(xí)。
“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力”。實際教學(xué)中,我們會發(fā)現(xiàn),在解決實際問題時,有些學(xué)生仍停留在分步列式階段,有些學(xué)生雖能列出綜合算式,但缺乏主動尋求更為合理簡潔的運算途徑的意識。一方面,這與他們的認(rèn)知發(fā)展水平正處于“具體運算階段”有關(guān);另一方面,也因為問題解決進(jìn)入計算階段時,學(xué)生的思維仍囿于具體數(shù)量關(guān)系的思考。因此,培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生適度的抽象能力,也應(yīng)是混合運算教學(xué)中不容忽視的目標(biāo)之一。比如,在學(xué)生立足實際問題列出算式20+5×3后,除從事理層面理解算式的含義外,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解其表示的是1個20與3個5的和。從而使混合運算的算式從實際問題的事理中抽象出來,獲得數(shù)理層面更為本質(zhì)的意義闡釋。這也將“有助于學(xué)生理解運算的算理,尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?!?/p>