陳曉彤，梁建莉

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321000)

1 帶直桿的圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)方程

圖1 帶直桿的圓環(huán)運(yùn)動(dòng)

圓環(huán)的動(dòng)能是：

直桿AB的動(dòng)能是：

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)是：

(1)

由此可得系統(tǒng)的哈密頓方程為：

(2)

2 無(wú)重力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

帶直桿的圓環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)不可積的哈密頓系統(tǒng)，首先研究無(wú)重力時(shí)的運(yùn)動(dòng)情形，即g=0的情形．這時(shí)系統(tǒng)是可積的，對(duì)應(yīng)的哈密頓函數(shù)為：

(3)

由能量守恒，系統(tǒng)有一個(gè)首次積分

H0(x,px,φ,pφ)=h．

(4)

由式(2)可知px為常數(shù)，即系統(tǒng)的動(dòng)量守恒．對(duì)任意給定的H0=h，由式(3)可局部解得：

(5)

將式(5)代入式(2)消去px得：

(6)

記px,±=Λ0,±(φ,pφ)，則

即系統(tǒng)(6)是以Λ0,±(φ,pφ)為哈密頓函數(shù)的哈密頓系統(tǒng)，此系統(tǒng)還有一個(gè)首次積分：

px,±=Λ0,±(φ,pφ)=h1．

(7)

這些平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，且構(gòu)成相平面上的兩條連續(xù)曲線．

系統(tǒng)(6)的兩組平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)h1的4個(gè)特殊值：

這樣就對(duì)應(yīng)四族點(diǎn)，構(gòu)成4條連續(xù)曲線：

當(dāng)參數(shù)h和h1固定時(shí)，對(duì)任意x，式(4)和式(7)定義了兩個(gè)二維流形，把式(4)定義的二維流形記作M0(x)，稱為等能量面，M0(x)同胚于一個(gè)二維環(huán)面T2，把式(7)定義的二維流行記作Mh1．當(dāng)h和h1給定后，一個(gè)具體的運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)于上述兩個(gè)二維流形的交線，它通常是一條或兩條閉曲線，把他們稱為h1-曲線．通過(guò)分析，我們得到如下結(jié)論：

從全局看，系統(tǒng)(6)的積分曲線正好代表了等能量面M0(x)上的h1-曲線．積分曲線被曲線L14和L23分成三部分.一部分同倫于閉曲線L23內(nèi)的一點(diǎn)，一部分同倫于閉曲線L14內(nèi)的一點(diǎn)，一部分介于L14和L23之間.在每種運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，角φ沿相同方向重復(fù)變化，所有閉曲線關(guān)于φ都是系統(tǒng)(6)的周期解．

系統(tǒng)的作用變量I(h1)可由以下過(guò)程求出：

即該系統(tǒng)滿足柯?tīng)柲缏宸蚍峭嘶瘲l件．

3 小擾動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

對(duì)我們所關(guān)心的系統(tǒng)(2)，哈密頓函數(shù)可以寫(xiě)成

Hg(x,px,φ,pφ)=H0(x,px,φ,pφ)+gH1(x,φ)，

(8)

(9)

其中

當(dāng)能量hg很大時(shí)，εH1(x,φ)很小，這樣系統(tǒng)就可以看作是無(wú)重力運(yùn)動(dòng)的周期擾動(dòng)．若

(10)

對(duì)固定的h∈R+和x，式(10)定義了一個(gè)等能量面Mε(x)，對(duì)充分小的ε>0，它同胚于二維環(huán)面T2．由式(10)可局部解得

(11)

其中

由此可得

上節(jié)已證明，無(wú)重力系統(tǒng)即未擾系統(tǒng)的每個(gè)解關(guān)于φ都是周期解，始終在不變環(huán)面上，解的周期取決于相軌線的位置．對(duì)于擾動(dòng)系統(tǒng)，由于Λ0,±(φ,pφ)滿足柯?tīng)柲缏宸蚍峭嘶瘲l件，由KAM理論，擾動(dòng)系統(tǒng)的軌線仍保持在不變環(huán)面上.從相平面上看，相對(duì)于無(wú)重力系統(tǒng)的平衡曲線，擾動(dòng)系統(tǒng)也有相應(yīng)的固定曲線，它們對(duì)應(yīng)于關(guān)于φ的周期解．在固定曲線周圍的大部分不變曲線仍然存在，與未擾系統(tǒng)的不變曲線相比，僅僅發(fā)生了微小形變，但破裂的曲線也構(gòu)成稠密集．同樣，當(dāng)ε>0充分小時(shí)，擾動(dòng)系統(tǒng)也存在與未擾系統(tǒng)的不變環(huán)面相對(duì)應(yīng)的不變環(huán)面，其上的流是擬周期流，并且此不變環(huán)面充分接近未擾系統(tǒng)的不變環(huán)面．?dāng)_動(dòng)系統(tǒng)的不變曲線存在表明，擾動(dòng)系統(tǒng)仍然具有無(wú)重力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．以上研究表明：對(duì)擾動(dòng)系統(tǒng)(9)，當(dāng)ε>0充分小時(shí)，擾動(dòng)系統(tǒng)的軌線仍保持在不變環(huán)面上．