趙春江

(合肥學(xué)院 電子信息與電氣工程系，安徽 合肥 230601)

回路電流法是以假想的回路電流為未知量分析電路的方法，是求解線性電路的一種常用的方法.在國(guó)內(nèi)的教材和授課過(guò)程中，往往會(huì)把回路電流法歸納推廣為一般的回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，只要記住該方程形式各個(gè)系數(shù)的含義，學(xué)生就可以利用該標(biāo)準(zhǔn)形式求解回路電流，從而得到電路的其他響應(yīng).

例如一個(gè)具有l(wèi)個(gè)獨(dú)立回路的電路，它的回路電流法方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

(1)

式(1)中，ilk為第k個(gè)獨(dú)立回路的回路電流；Rkk為第k個(gè)獨(dú)立回路的自電阻，恒為正；Rjk為第j個(gè)獨(dú)立回路和第k個(gè)獨(dú)立回路之間的互電阻，當(dāng)這兩個(gè)回路電流流過(guò)互電阻上的參考方向相同時(shí)，互電阻為正，反之為負(fù)，而兩個(gè)回路沒(méi)有互電阻時(shí)為零；uSkk為獨(dú)立回路k中所有支路上電壓源電壓之和，當(dāng)回路電流與電壓源為非關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，電壓為正，反之為負(fù)，當(dāng)該回路沒(méi)有電壓源時(shí)，為零.

1 問(wèn)題的提出

回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式簡(jiǎn)單，規(guī)律性較強(qiáng)，學(xué)生只要多加練習(xí)，就可以較容易地掌握并運(yùn)用.但當(dāng)應(yīng)用回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(式(1))求解電路時(shí)，還是會(huì)遇到一些問(wèn)題.

例1：電路如圖1所示，試用回路電流法求電壓u.

分析圖1電路會(huì)發(fā)現(xiàn)，該電路具有一段開(kāi)路線，并且開(kāi)路線上的電壓就是受控電源的控制量.該電路經(jīng)過(guò)變形可以得到如圖2所示的電路.

圖1 例1電路圖

圖2 圖1的變形電路圖

由圖2可以清楚地看出該電路有兩個(gè)網(wǎng)孔，選擇這兩個(gè)網(wǎng)孔作為獨(dú)立回路，回路電流的符號(hào)和方向如圖2所示，所得的回路電流方程為：

(2)

該題還需要一個(gè)增補(bǔ)方程，含有受控源的增補(bǔ)方程的列寫原則是用未知量表示控制量，控制量u等于2 Ω電阻的電壓與2 V電壓源的電壓之和，即：

u=2×i1+2

(3)

由式(2)和式(3)，得到

u=4 V

(4)

雖然通過(guò)變形圖2可以求解電路，但也可以直接利用圖1求解.由廣義KVL可知，基爾霍夫電壓定律也適用于假想的閉合回路，而回路電流法正是以回路電流為未知量所列寫的基爾霍夫電壓定律方程.在圖1中，仍然選擇網(wǎng)孔作為獨(dú)立回路，網(wǎng)孔3可以被認(rèn)為是由開(kāi)路電壓u組成的廣義回路，故圖1可以被認(rèn)為共有3個(gè)網(wǎng)孔，網(wǎng)孔電流的符號(hào)和方向如圖1所示，所得的回路電流方程為：

(5)

增補(bǔ)方程為

u=2×(i1-i3)+2

(6)

則最終解得

u=0

(7)

顯然，兩種方法得到的解是不同的.我們用其他方法，如節(jié)點(diǎn)電壓法，可以很容易地解得u=4 V，即方法2的結(jié)果是錯(cuò)誤的.經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，式(5)和式(6)并沒(méi)有體現(xiàn)圖1中u是開(kāi)路電壓的特點(diǎn)，由開(kāi)路電流為零的性質(zhì)，增補(bǔ)方程應(yīng)改寫為：

i3=0

(8)

再次求解得到

u=-1 V

(9)

同樣，這次解答也是不正確的.但式(5)完全是按照式(1)的這種標(biāo)準(zhǔn)形式所列寫出來(lái)的，自電阻、互電阻以及回路中電壓源的電壓都沒(méi)有錯(cuò)誤，并且增補(bǔ)方程也沒(méi)有錯(cuò)，那為什么得不出正確的結(jié)果呢？

2 問(wèn)題的求解

由上一節(jié)可知，在應(yīng)用廣義KVL的情況下，用回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(式(1))是無(wú)法正確求解開(kāi)路電壓是受控源控制量的電路的.為此，我們不用式(1)的方程形式，而用最原始的、以回路電流為未知量列寫KVL的形式來(lái)求解該電路.

如圖1所示，網(wǎng)孔1至網(wǎng)孔3的KVL方程為：

(10)

用假想網(wǎng)孔電流i1、i2和i3代替上式的支路電壓，得到

(11)

式(11)整理為：

(12)

圖1中有3個(gè)獨(dú)立回路，即只能寫出3個(gè)獨(dú)立的KVL方程，即式(12)，如式(6)的這種增補(bǔ)方程的寫法本質(zhì)上是KVL方程，其不是獨(dú)立的，故增補(bǔ)方程不能按式(6)這種形式書寫，則增補(bǔ)方程采用式(8)，由式(12)和式(8)聯(lián)立方程，最終解得

u=4 V

(13)

這與方法1得到的結(jié)果是相同的.

圖3 例2電路圖

比較式(12)和式(5)，會(huì)發(fā)現(xiàn)式(12)比式(5)多了開(kāi)路電壓u，該電壓也是受控源的控制量.由式(1)可知，等號(hào)右側(cè)為電壓源的電壓，而u不是電壓源的電壓，它僅僅是支路電壓(按廣義KVL)，特殊的地方就是u是開(kāi)路電壓，并且是受控源的控制量.因此，我們有理由認(rèn)為：具有這種類型的電路，該電壓也應(yīng)該被當(dāng)成電壓源來(lái)使用.讓我們?cè)倥e一例，來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論.

例2：電路如圖3所示，試用回路電流法求電壓u.

圖3電路共有3個(gè)獨(dú)立回路，選擇如圖3所示的3個(gè)獨(dú)立回路，其回路電流符號(hào)和方向如圖3所示.該電路也含有一條開(kāi)路線，并且該開(kāi)路電壓是受控源的控制量，所以在列寫回路電流方程時(shí)，要把該開(kāi)路電壓作為電壓源代入標(biāo)準(zhǔn)的回路電流方程中，即也作為式(1)中等號(hào)右側(cè)uSkk的一部分，則三個(gè)回路電流方程為：

(14)

把開(kāi)路電壓u當(dāng)作電壓源，因?yàn)樗鼘儆趶V義回路2，所以第二個(gè)方程的等號(hào)右側(cè)包括了該電壓.

增補(bǔ)方程要體現(xiàn)開(kāi)路的特點(diǎn)，即開(kāi)路電流為零，所以增補(bǔ)方程為

i1+i2=0

(15)

聯(lián)立以上方程，解得

u=-0.5 V

(16)

可以證明，該解是正確的.

3 問(wèn)題的分析

開(kāi)路電壓為受控源的控制量時(shí)，在不改變電路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的情況下，只有把開(kāi)路電壓當(dāng)作電壓源，并添加到回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的等號(hào)右邊，才能得到正確的結(jié)果，即回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中uSkk也要包括開(kāi)路電壓.

之所以u(píng)Skk也應(yīng)包括開(kāi)路電壓，我們可以做以下解釋：受控源是受到控制量控制的，因此對(duì)于受控源來(lái)說(shuō)，控制量也應(yīng)該被看成是一種電源.當(dāng)控制量是電壓、并且是開(kāi)路電壓時(shí)，那么我們就應(yīng)把它當(dāng)作電壓源，從而參與到回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中.那為什么其他的控制量不能當(dāng)作電源呢？因?yàn)槿绻刂屏渴请娏?，或者控制量雖然是電壓、但不是開(kāi)路電壓時(shí)，這些控制量都可以用回路電流表示，而回路電流已經(jīng)在回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中體現(xiàn)了出來(lái)，所以無(wú)需再把它們當(dāng)作電源.但如果控制量是開(kāi)路電壓，那么這個(gè)開(kāi)路電壓是無(wú)法用回路電流表示的，回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中就無(wú)法體現(xiàn)該電壓，因此必須單獨(dú)考慮該電壓，這時(shí)就需把該電壓當(dāng)作電壓源看待，從而參與到方程的列寫中.

對(duì)于這類電路，增補(bǔ)方程的列寫也比較特殊.一般情況下，含有受控源電路的增補(bǔ)方程列寫的原則是用未知量表示控制量.但由于控制量為開(kāi)路電壓，如果再用回路電流表示開(kāi)路電壓，那么該方程為非獨(dú)立的KVL方程，因此在這種情況下，增補(bǔ)方程需要考慮的是該開(kāi)路線的電流為零這一特點(diǎn).

4 結(jié) 論

受控源的控制量是開(kāi)路電壓這樣的習(xí)題較少出現(xiàn)，而用回路電流法求解該類電路，國(guó)內(nèi)的教材更是極少涉及.本文對(duì)這類習(xí)題進(jìn)行了討論，除了可以把開(kāi)路線斷開(kāi)成不同的支路后求解電路外，更給出了一般情況下，列寫回路電流方程的方法，即把開(kāi)路電壓也看成電壓源，作為uSkk的一部分參與到方程的列寫中.此時(shí)的增補(bǔ)方程應(yīng)反映開(kāi)路線的電流為零的性質(zhì).

本文所討論的方法可以作為回路電流法的標(biāo)準(zhǔn)形式的一種補(bǔ)充，從而完善這種通用的求解形式，使其適用于更廣泛的情況.在今后的教學(xué)中，也應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這類問(wèn)題的分析和講解，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到電路分析的嚴(yán)謹(jǐn)性.