李致富，黃 楠，鐘 云，曾俊海，馬 鴿*

(1. 廣州大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣東 廣州 510006； 2. 廣州大學(xué) 智能裝備與網(wǎng)聯(lián)系統(tǒng)研究中心， 廣東 廣州 510006)

1 引 言

隨著精密制造裝備運(yùn)動(dòng)速度和精度的提高，微納米級(jí)別的精密工程也越來(lái)越引起人們的關(guān)注。微納定位執(zhí)行器是實(shí)現(xiàn)高精度微納米級(jí)定位的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)。以壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器為代表的智能材料驅(qū)動(dòng)器以其具有無(wú)磨損、分辨率高、效率高、強(qiáng)度高、響應(yīng)速度快等優(yōu)良特性，被廣泛應(yīng)用于MEMS、高速原子力顯微鏡、超精密機(jī)床和微加工平臺(tái)的定位系統(tǒng)中[1-2]。存在于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的遲滯非線性往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)精度下降、振蕩、甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定[3-4]。例如，在開環(huán)情況下，遲滯會(huì)產(chǎn)生高達(dá)10%～15%的定位誤差[5]。與傳統(tǒng)非線性相比，遲滯表現(xiàn)出多值映射、記憶特性、率相關(guān)性等，使得其建模和控制變得異常困難。目前，以壓電陶瓷為代表的智能材料的特性的建模和補(bǔ)償控制已成為微納定位技術(shù)領(lǐng)域中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題[6-7]。

遲滯建模主要有三類方法[8-9]，一種是以Jiles Atherton模型為代表的物理建模方法，包括Duhem模型、Bouc-Wen模型等；另一種是以Preisach模型為代表的數(shù)學(xué)算子建模方法，包括Prandtl-Ishlinskii模型和Krasnosel′skii-Pokrovskii模型等；還有一種是基于計(jì)算智能的智能建模方法。在物理建模方法中，模型通常采用微分方程來(lái)描述，模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)較難確定。基于數(shù)學(xué)算子的遲滯模型采用基本數(shù)學(xué)算子，如relay算子、play算子、stop算子等，進(jìn)行線性疊加而成[9]?；谒阕拥倪t滯模型雖脫離于遲滯特性的物理意義，但能夠準(zhǔn)確描述遲滯現(xiàn)象，也被稱為基于現(xiàn)象的遲滯描述方法?；谒阕拥倪t滯模型，由于求解其逆模型或者近似逆模型相對(duì)容易，特別是Prandtl-Ishlinskii模型存在解析的逆模型，因此，被廣泛應(yīng)用于壓電材料的遲滯建模。近年來(lái)，智能建模方法得到了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注[10]。這類模型利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊樹對(duì)非線性函數(shù)的通用逼近性來(lái)描述遲滯。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊樹建?？刂品椒▽?shí)現(xiàn)容易，但系統(tǒng)跟蹤精度不夠高。針對(duì)一些特定輸入，也有學(xué)者提出不同的建模方法，例如文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]針對(duì)正弦輸入信號(hào)，提出采用橢圓來(lái)對(duì)遲滯進(jìn)行描述，取得了不錯(cuò)的效果。

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分在工業(yè)和工程領(lǐng)域的研究和應(yīng)用越來(lái)越多[13-14]，特別是在粘彈性物質(zhì)、分形理論和電介質(zhì)、儲(chǔ)能材料等方面得到了很好的應(yīng)用[15]。在系統(tǒng)建模領(lǐng)域，分?jǐn)?shù)階微積分的特點(diǎn)在于能更加準(zhǔn)確的對(duì)包含記憶和遺傳效應(yīng)的系統(tǒng)建模。本文針對(duì)周期性的正弦輸入信號(hào)，提出一種基于分?jǐn)?shù)階算子的遲滯建模方法。該遲滯模型只由一個(gè)分?jǐn)?shù)階算子構(gòu)成，與文獻(xiàn)[11]和[12]提出的基于橢圓的方法比較起來(lái)，在保證遲滯模型解析的前提下，具有更少的參數(shù)，而且以分?jǐn)?shù)階微積分來(lái)描述，更適合于控制器的設(shè)計(jì)。同時(shí)，以基于dSpace開發(fā)系統(tǒng)的壓電微位移平臺(tái)為對(duì)象，對(duì)提出的遲滯分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的模型在低頻段的描述精度與傳統(tǒng)的Prandtl-Ishlinskii模型及其改進(jìn)的增強(qiáng)模型略有提高，但在高頻段，則其建模精度要高很多。這些都驗(yàn)證了本文基于分?jǐn)?shù)階的遲滯建模方法的優(yōu)越性。

2 基于分?jǐn)?shù)階的遲滯建模方法

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分算子

分?jǐn)?shù)階微積分的基本算子可以表示為：

(1)

其中：α為微積分的下限，t為上限，α則是為微積分的階次，R(α)為階次α的實(shí)部。

在分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展過(guò)程中，出現(xiàn)了許多種對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行定義的函數(shù)表達(dá)式，如由整數(shù)階微積分直接擴(kuò)展而來(lái)的Cauchy積分定義，Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分定義，Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分定義和Caputo定義等。文獻(xiàn)[16]指出，在某些條件下，分?jǐn)?shù)階微積分的不同定義之間是相互等效的，有些定義是可以在某些條件下相互轉(zhuǎn)換的。因本文主要處理的是正弦輸入信號(hào)，Cauchy分?jǐn)?shù)階微積分定義更為直觀和容易計(jì)算，本文將基于Cauchy的分?jǐn)?shù)階微積分定義對(duì)壓電陶瓷遲滯非線性進(jìn)行建模。

函數(shù)f(t)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Cauchy積分定義為:

(2)

其中：C為光滑的封閉曲線，階次γ可以是任意正實(shí)數(shù)，而Γ(·)是Gamma函數(shù)，由下面的無(wú)窮積分定義：

(3)

由上述定義，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)α，可以直接擴(kuò)展得出三角函數(shù)分?jǐn)?shù)階微積分公式[16]：

(4)

2.2 分?jǐn)?shù)階算子磁滯模型

本文提出的基于Cauchy分?jǐn)?shù)階算子的遲滯模型(FOM)表達(dá)式為：

(5)

其中：H(v)為遲滯非線性，v(t)為系統(tǒng)輸入，k為待定的比例系數(shù)，α則是為遲滯微積分算子的階次。

對(duì)于輸入為v(t)=20sin(wt),系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)輸出y=H[V](t)之間隨分?jǐn)?shù)階算子階次α變化的曲線如圖1所示。定義輸出最大值與最小值之差為遲滯輸出最大誤差。圖1可以清晰地看出隨著分?jǐn)?shù)階算子階次α的絕對(duì)值增大分?jǐn)?shù)階算子遲滯模型輸出最大誤差也隨之增大。圖2為輸入電壓幅值為20 V的正弦信號(hào)在不同頻率下的壓電陶瓷微位移平臺(tái)的遲滯特性曲線。特別值得注意的是，隨著頻率的增大，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯模型輸出最大誤差變得越來(lái)越大。這與分?jǐn)?shù)階算子遲滯模型的特性是完全一致的。這也是本文采用分?jǐn)?shù)階算子遲滯模型的出發(fā)點(diǎn)。

圖1 分?jǐn)?shù)階遲滯模型特性Fig.1 Fractional order hysteresis model characteristics

圖2 不同頻率下壓電陶瓷的遲滯特性Fig.2 Hysteresis characteristics of piezoelectric ceramics at different frequencies

3 基于dSpace開發(fā)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

3.1 硬件結(jié)構(gòu)

如圖3所示，壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由四部分組成:帶集成電容式位移傳感器的壓電定位平臺(tái)、低壓驅(qū)動(dòng)放大器、dSpace開發(fā)系統(tǒng)和上位機(jī)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上使用的壓電微位移定位平臺(tái)被固定安裝在氣動(dòng)隔振臺(tái)上，以減少支撐結(jié)構(gòu)的誘導(dǎo)振動(dòng)。

圖3 壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.3 Piezoelectric positioning experimental platform

如圖4所示是壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的架構(gòu)圖，集成電容式位移傳感器將位移信號(hào)-30～130 μm轉(zhuǎn)換成-3～1.3 V的模擬電壓，再通過(guò)dSpace開發(fā)系統(tǒng)中的16位ADC轉(zhuǎn)換成所需的數(shù)字信號(hào)。低壓驅(qū)動(dòng)放大器的輸出電壓范圍為-30～130 V，控制輸入電壓范圍為-2～12 V，放大倍數(shù)為10。dSpace開發(fā)系統(tǒng)主要用于輸入信號(hào)的產(chǎn)生和控制算法的實(shí)現(xiàn)，以及位移傳感器的信號(hào)的采集。

圖4 壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)架構(gòu)圖Fig.4 Architecture of piezoelectric positioning experimental platform

3.2 軟件結(jié)構(gòu)

如圖4所示，dSpace開發(fā)系統(tǒng)通過(guò)上位機(jī)的Matlab/Simulink環(huán)境和ControlDesk軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)編程和在線測(cè)量，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的控制。ControlDesk為實(shí)驗(yàn)時(shí)使用的自動(dòng)化軟件，同時(shí)ControlDesk的圖形用戶界面為壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)提供了實(shí)時(shí)的參數(shù)監(jiān)控功能。GNU編譯器和Matlab生成由dSpace獨(dú)立于Simulink運(yùn)行的.sdf后綴可執(zhí)行文件，從而構(gòu)成了dSpace的快速控制原型實(shí)驗(yàn)環(huán)境。DAC和ADC轉(zhuǎn)換器提供了位于dSpace與Simulink及壓電驅(qū)動(dòng)器之間的接口。運(yùn)行于dSpace中的程序采用基于C語(yǔ)言的S-function來(lái)實(shí)現(xiàn)。上位機(jī)中的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)模塊為ControlDesk提供數(shù)據(jù)接口，這樣當(dāng)dSpace執(zhí)行實(shí)時(shí)程序時(shí)，ControlDesk可實(shí)時(shí)讀取所需的測(cè)量數(shù)據(jù)。

4 測(cè)試實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

4.1 實(shí)驗(yàn)步驟

低壓驅(qū)動(dòng)放大器的輸出電壓范圍為-30～130 V，控制輸入電壓范圍為-2～12 V，放大倍數(shù)為10，因此本實(shí)驗(yàn)將輸入到低壓驅(qū)動(dòng)放大器的電壓在MATLAB里面限制為-2～10 V。本實(shí)驗(yàn)采用放大器輸出幅值為20 V的正弦波對(duì)壓電微位移平臺(tái)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)?？紤]到dSpace開發(fā)系統(tǒng)的D/A輸出硬件接口設(shè)置時(shí)，進(jìn)行了歸一化處理，輸出-1～+1 V對(duì)應(yīng)D/A輸出接口的-10～10 V，因此，對(duì)應(yīng)到上位機(jī)MATLAB中的輸入信號(hào)則為v(t)=0.2sin(wt)，其中w為正弦信號(hào)的角頻率。dSpace開發(fā)系統(tǒng)執(zhí)行程序的采樣頻率設(shè)置為20 kHz。

設(shè)置好輸入信號(hào)后，壓電微位移平臺(tái)的實(shí)際輸出則通過(guò)dSpace的A/D轉(zhuǎn)換器讀入到上位機(jī)中。為了方便處理，本文將數(shù)據(jù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為壓電微位移平臺(tái)的實(shí)際輸入和實(shí)際輸出，即壓電微位移平臺(tái)的輸入為歸一化的信號(hào)，輸出則為位移傳感器的輸出。

為了驗(yàn)證模型的有效性，本文在辨識(shí)得到分?jǐn)?shù)階算子遲滯模型的基礎(chǔ)上，還將與經(jīng)典的Prandtl-Ishlinskii遲滯模型(PIM)，以及文獻(xiàn)[17]提出的增強(qiáng)型遲滯模型(EPIM)進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)的具體步驟如下：首先，在不同頻率的正弦輸入信號(hào)下，利用ControlDesk軟件實(shí)時(shí)采集壓電定位平臺(tái)的位移傳感器輸出信號(hào)；然后，根據(jù)測(cè)得的輸入輸出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別對(duì)本文提出的FOM遲滯模型、PIM遲滯模型和EPIM遲滯模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)；最后，得到不同輸入信號(hào)下壓電遲滯模型，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。需要說(shuō)明的是，為了對(duì)比方便，在所有模型參數(shù)辨識(shí)時(shí)，本文均采用的是MATLAB中的fmincon函數(shù)來(lái)完成。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本實(shí)驗(yàn)針對(duì)15 Hz，50 Hz，100 Hz和150 Hz等4個(gè)不同頻率的輸入正弦信號(hào)的壓電遲滯特性進(jìn)行建模，進(jìn)行了遲滯模型參數(shù)辨識(shí)。基于本文提出的分?jǐn)?shù)階算子的遲滯模型辨識(shí)參數(shù)如表1所示。

表1 分?jǐn)?shù)階算子模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

Tab.1 Parameter identification results of fractional order operator hysteresis model

輸入信號(hào)頻率/Hz參數(shù)15α=-1.876 2;k=-40.718 250α=-0.700 0;k=0.442 7100α=-0.701 6;k=0.650 7150α=-0.114 3;k=0.013 0

經(jīng)典的Prandtl-Ishlinskii遲滯模型(PIM)如下：

(6)

其中：p(ri)為待辨識(shí)的密度函數(shù)，Eri[v](t)為stop 算子，ri為stop算子的閾值，其具體定義見文獻(xiàn)[18]。

如文獻(xiàn)[17]，增強(qiáng)型Prandtl-Ishlinskii遲滯模型(EPIM)如下:

(7)

其中：α1和α2為待辨識(shí)的增強(qiáng)系數(shù)，b(ri)為待辨識(shí)的密度函數(shù)，F(xiàn)ri[v](t)為play算子，ri為play算子的閾值，其具體定義見文獻(xiàn)[17]。

本實(shí)驗(yàn)中，如文獻(xiàn)[17]，對(duì)于PIM遲滯模型和EPIM遲滯模型的算子個(gè)數(shù)均取20，即m=n=20。如分?jǐn)?shù)階算子遲滯模型辨識(shí)一樣，分別對(duì)15 Hz，50 Hz，100 Hz和150 Hz等4個(gè)不同頻率的正弦輸入信號(hào)下的遲滯模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。圖5～圖7給出了輸入為50 Hz正弦信號(hào)下的3種模型辨識(shí)結(jié)果，其他3種頻率下也有類似的結(jié)果，不一一給出。圖中，橫坐標(biāo)為歸一化后的輸入信號(hào)，縱坐標(biāo)為輸出位移信號(hào)，單位為μm。從圖中可以明顯看出，3種遲滯模型都能描述壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性。至于模型描述的準(zhǔn)確性，本文采用均方根誤差來(lái)進(jìn)行描述和對(duì)比。表2所示為20 kHz采樣頻率下1.5 s采樣時(shí)間內(nèi)不同輸入信號(hào)下3種模型對(duì)應(yīng)的均方根誤差，表3為相應(yīng)的精度提高百分比。從表2和表3中，可以總結(jié)出，在低頻段，F(xiàn)OM遲滯模型和PIM遲滯模型、EPIM遲滯模型的均方根誤差相差不大，隨著輸入信號(hào)頻率的增大，F(xiàn)OM遲滯模型的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越明顯，在輸入信號(hào)頻率為50 Hz時(shí)，F(xiàn)OM模型比PIM模型的RMSE精度提高55.03%，比EPIM模型的RMSE精度提高33.98%；當(dāng)輸入信號(hào)頻率為150 Hz時(shí)，F(xiàn)OM模型比PIM模型的RMSE精度提高69.88%，比EPIM模型的RMSE精度提高58.21%。由此，證明采用分?jǐn)?shù)階來(lái)對(duì)描述遲滯特性比傳統(tǒng)的PIM和EPIM都具有較大的優(yōu)勢(shì)。

圖6 輸入頻率為50 Hz時(shí)EPIM模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Results of EPIM model at input frequency of 50 Hz

圖7 輸入頻率為50 Hz時(shí)FOM模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Results of FOM model at input frequency of 50 Hz

表2 分?jǐn)?shù)階建模方法與其他方法比較結(jié)果

Tab.2 Results of the fractional modeling method compared with those of other methods

輸入信號(hào)頻率/Hz所采用建模方法均方根誤差/μm15FOM0.153 1PIM0.182 9EPIM0.174 350FOM0.190 0PIM0.422 5EPIM0.287 8100FOM0.190 7PIM0.632 3EPIM0.612 8150FOM0.286 3PIM0.950 6EPIM0.685 1

表3 分?jǐn)?shù)階建模方法與其他方法相比提高的精度

Tab.3 The improved accuracy of the fractional order modeling method compared with other methods

輸入信號(hào)頻率/HzFOM較PIM提高精度/%FOM較EPIM提高精度/%1516.2912.165055.0333.9810069.8468.8815069.8858.21

5 結(jié) 論

本文針對(duì)周期性的正弦輸入信號(hào)，采用分?jǐn)?shù)階算子來(lái)對(duì)壓電陶瓷的遲滯特性進(jìn)行描述。在分析了壓電遲滯特性和分?jǐn)?shù)階特性的基礎(chǔ)上，給出了壓電陶瓷遲滯特性的分?jǐn)?shù)階模型。然后，搭建了基于dSpace的硬件在環(huán)測(cè)試平臺(tái)用于模型的驗(yàn)證。最后，對(duì)比傳統(tǒng)的PIM模型和改進(jìn)的增強(qiáng)EPIM模型，給出了模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，針對(duì)4種不同頻率的正弦輸入信號(hào)，分?jǐn)?shù)階模型較PIM和EPIM模型均有優(yōu)勢(shì)，低頻段描述精度略有提高，高頻段則分?jǐn)?shù)階模型描述精度要高很多，在100 Hz時(shí)，本文所提出的分?jǐn)?shù)階遲滯模型較PIM模型的RMSE值精度提高69.84%，較EPIM模型的RMSE值精度提高68.88%。