張科 李蘭蘭 任剛 杜建明 范洪義

1) (淮南師范學(xué)院電子工程學(xué)院, 淮南 232038)

2) (中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)研究生院科學(xué)島分院, 合肥 230031)

眾所周知, 量子態(tài)的演化可用與其相應(yīng)的Wigner函數(shù)演化來(lái)代替.因?yàn)榱孔討B(tài)的Wigner函數(shù)和量子態(tài)的密度矩陣一樣, 都包含了概率分布和相位等信息, 因此對(duì)量子態(tài)的Wigner函數(shù)進(jìn)行研究, 可以更加快速有效地獲取量子態(tài)在演化過(guò)程的重要信息.本文從經(jīng)典擴(kuò)散方程出發(fā), 利用密度算符的P表示, 導(dǎo)出了量子態(tài)密度算符的擴(kuò)散方程.進(jìn)一步通過(guò)引入量子算符的Weyl編序記號(hào), 給出了其對(duì)應(yīng)的Weyl量子化方案.另外,借助于密度算符的另一相空間表示—Wigner函數(shù), 建立了Wigner算符在擴(kuò)散通道中演化方程, 并給出了其Wigner算符解的形式.本文推導(dǎo)出了Wigner算符在量子擴(kuò)散通道中的演化規(guī)律, 即演化過(guò)程中任意時(shí)刻Wigner算符的形式.在此結(jié)論的基礎(chǔ)上, 討論了相干態(tài)經(jīng)過(guò)量子擴(kuò)散通道的演化情況.

1 引 言

近來(lái), 量子調(diào)控已經(jīng)成為研究微觀世界的一個(gè)重要手段, 而用單光子實(shí)現(xiàn)量子操控尤為可行, 例如向光腔中逐個(gè)注入光子制備非高斯態(tài), 理論上這屬于量子擴(kuò)散機(jī)制[1,2].鑒于量子態(tài)的Wigner函數(shù)包含了量子態(tài)的概率分布和相位等信息, 量子態(tài)的演化可代之以研究相應(yīng)的Wigner函數(shù)的演化[3?5].本文旨在研究量子相空間的Wigner算符在量子擴(kuò)散通道的時(shí)間演化規(guī)律, 它簡(jiǎn)潔而物理清晰, 展現(xiàn)了從點(diǎn)源函數(shù)向時(shí)刻高斯型函數(shù)的演變, k 是擴(kuò)散系數(shù), 這里代表 Weyl編序; a?,a是玻色產(chǎn)生和湮滅算符.用有序算符內(nèi)的積分方法也可進(jìn)一步將Wigner算符的Weyl編序式轉(zhuǎn)化為其他排序形式, 如正規(guī)乘積序等, 為計(jì)算量子態(tài)的Wigner函數(shù)演化規(guī)律帶來(lái)便利.本文安排如下, 先從經(jīng)典擴(kuò)散方程推導(dǎo)出量子擴(kuò)散方程, 并以相干光場(chǎng)為例, 討論其量子擴(kuò)散.鑒于初始相干光場(chǎng)的反正規(guī)乘積形式是Delta函數(shù), 其演化就體現(xiàn)在從演化為

2 從經(jīng)典擴(kuò)散導(dǎo)出量子擴(kuò)散方程

經(jīng)典擴(kuò)散方程是

其中 k 是擴(kuò)散率, P (z,t) 是系統(tǒng)的某種密度分布函數(shù).下面推導(dǎo)相應(yīng)的量子擴(kuò)散方程.我們將密度算符 ρ 用相干態(tài)表象中的 P -表示[8,9]:

其中

是相干態(tài), 則密度算符的時(shí)間演化滿足方程為

將經(jīng)典擴(kuò)散方程(1)式代入(4)式即有

利用分部積分法, 并注意到在無(wú)窮遠(yuǎn)處 P (z,t) 消失, 則有

所以

現(xiàn)在利用相干態(tài)投影算符的正規(guī)乘積表示

則有

將(10)式代入(6)式得到

這說(shuō)明量子擴(kuò)散方程為

這是從經(jīng)典擴(kuò)散方程過(guò)渡到量子擴(kuò)散方程的捷徑.

3 相干光場(chǎng)的擴(kuò)散

當(dāng)初態(tài)是純相干光場(chǎng)時(shí),

它的正規(guī)排序是

利用范洪義等[10]給出的把正規(guī)乘積排序變?yōu)榉凑?guī)乘積排序的公式

所以初態(tài)是純相干光場(chǎng)時(shí)的反正規(guī)乘積排序是

故而它的 P ? 表示為

此解滿足初始條件, 即:

Pt是密度算符 ρt在相干態(tài)表象中的表示, 所以便可得到 ρt的反正規(guī)乘積形式為

這就是相干態(tài)在擴(kuò)散通道中的演化公式.再用相干態(tài)表象[11]和有序算符內(nèi)的積分技術(shù)[12?14]可以將它化為正規(guī)乘積,

通過(guò)(20)式可發(fā)現(xiàn)它不再是純態(tài).同時(shí)可驗(yàn)證 t rρt=1 , 故而 ρt是一個(gè)新光場(chǎng)密度算符, 代表一個(gè)廣義的混沌光場(chǎng)[15,16].計(jì)算 t 時(shí)刻的光子數(shù):

4 Wigner算符的 Weyl排序形式

現(xiàn)在討論Wigner函數(shù)在擴(kuò)散通道中的演化.鑒于 t 時(shí)刻的密度算符 ρ (t) 的Wigner函數(shù)是[17,18]

這里 ? (p,q) 是 Wigner算符, 所以 也可轉(zhuǎn)而討論Wigner算符在擴(kuò)散通道中的時(shí)間演化, 即從?(p,q,0)演化為 ? (p,q,t).歷史上, Wigner算符最早是在坐標(biāo)表象中定義的[19],

利 用 | q +v/2〉=e?iPv/2|q〉 和 | q 〉〈q|= δ(q?Q) , Q是坐標(biāo)算符, P 是動(dòng)量算符, (23)式可化為

與一般算符 H (P,Q) 及其經(jīng)典對(duì)應(yīng) h (p,q) 的Weyl對(duì)應(yīng)式為[23]

通過(guò)比較可見(jiàn)Wigner算符的Weyl排序形式是

從而

可見(jiàn) H (P,Q) 的 Weyl排序形式, 可以直接將h(p,q)中的 p →P,q→Q , 并放入內(nèi)得到.例如,的經(jīng)典對(duì)應(yīng)是

進(jìn)一步令

可得Wigner算符的Weyl排序形式是

5 擴(kuò)散通道中Wigner算符的演化方程

由于Wigner算符滿足:

Wigner算符本身看作是一個(gè)混合態(tài)的密度算符,根據(jù)(12)式, 它所滿足的擴(kuò)散方程是

此方程也可從Wigner算符的正規(guī)乘積形式方程(37)直接導(dǎo)出(具體詳見(jiàn)附錄A).

對(duì)照本文第2節(jié)內(nèi)容可見(jiàn)此擴(kuò)散方程的經(jīng)典對(duì)應(yīng)是

此方程即為Wigner函數(shù) W 應(yīng)該滿足的擴(kuò)散方程.

6 Wigner算符的演化方程之解

初始的Wigner算符 ? (α,α?,0) 在Weyl編序下是[24?26]

那么類比于本文第2節(jié)的結(jié)果可知:

其滿足的初始條件為

(41)式就是量子擴(kuò)散通道中Wigner算符的演化律公式, 可以看出, 它簡(jiǎn)潔明了, 同時(shí)展現(xiàn)了從點(diǎn)源函數(shù)向高斯型函數(shù)的演變, 所以此數(shù)學(xué)表達(dá)式的物理意義十分明晰.

從(40)式可知 ? (α,α?,t) 的經(jīng)典對(duì)應(yīng)是

根據(jù)(28)式可知

而對(duì)(24)式做積分可得:

所以 ? (α,α?,t) 的正規(guī)乘積是

這樣就從(40)式的Weyl編序形式導(dǎo)出了其正規(guī)乘積形式.另外, (45)式還可進(jìn)一步得到驗(yàn)證(具體詳見(jiàn)附錄B), 即將正規(guī)乘積形式轉(zhuǎn)化為Weyl編序形式.舉例, 當(dāng)初態(tài)是純相干態(tài), 那么經(jīng)過(guò)擴(kuò)散通道后, 從(40)式可知它的Wigner函數(shù)為

圖1所示為Wigner算符的演化規(guī)律, 圖1(a)描繪了相干態(tài)初始的Wigner函數(shù), 尖峰象征Delta函數(shù); 圖1(b) 描繪了 k t=0.8 時(shí)高斯型 Wigner函數(shù).對(duì)比兩圖中Wigner函數(shù)的峰值及形狀, 可以看出相干態(tài)在耗散通道的演化情況.

圖1 (a) k t=0 , (b) k t=0.8 時(shí), 相干態(tài)下 Wigner算符的 演 化 規(guī) 律( α =1/2(1+i) )Fig.1.Evolution law of Wigner operator for the coherent state with α =1/2(1+i) for (a) k t=0 ; (b) k t=0.8.

7 結(jié) 論

本文引入算符的Weyl編序記號(hào), 導(dǎo)出量子擴(kuò)散通道中Wigner算符的演化律公式, 它簡(jiǎn)潔而物理清晰, 展現(xiàn)了從點(diǎn)源函數(shù)

向高斯型函數(shù)

的演變, k 是擴(kuò)散系數(shù).由此也可轉(zhuǎn)化為 Wigner算符的其他排序形式, 如正規(guī)乘積序.值得指出,對(duì)于相干態(tài)的演化用了反正規(guī)乘積來(lái)討論, 而對(duì)Wigner算符的演化用Weyl排序來(lái)討論, 這兩者的演化在數(shù)學(xué)形式上是一樣的.

附錄A 相空間中Wigner算符所滿足的擴(kuò)散方程

本節(jié)驗(yàn)證Wigner算符所滿足的擴(kuò)散方程.由Wigner算符的正規(guī)乘積表達(dá)式(44)式可算出:

因此有

另一方面, 從Wigner算符的反正規(guī)乘積表達(dá)式

可以推導(dǎo)出:

所以

由以上這些關(guān)系式就能導(dǎo)出(36)式.

附錄B 化算符為Weyl排序的公式

相干態(tài) | z 〉〈z| 的經(jīng)典對(duì)應(yīng)是

其Weyl對(duì)應(yīng)式則為

由于是Delta函數(shù)型, 所以 | z〉〈z| 的Weyl排序形式為

代入(2)式得到

鑒于

這里 | β〉為相干態(tài), |β〉=exp?|β|2/2+ βa?|0〉, 所以

這就是將算符轉(zhuǎn)化為Weyl編序的形式.當(dāng)取 ρ 為(45)式時(shí),

此為正規(guī)乘積形式, 則代入(B6)式便可得到Weyl編序形式.

此即驗(yàn)證了(40)式.