劉曉婉，李曉然，周 芳

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012)

種群動力學(xué)是理論生態(tài)學(xué)研究的主要內(nèi)容之一, 它以人類、昆蟲和動物為主要研究對象，應(yīng)用微分方程和動力學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型來研究種群的發(fā)展變化規(guī)律。近年來，階段結(jié)構(gòu)種群模型的動力學(xué)行為研究引起了學(xué)者們的極大關(guān)注，見文[1]-[9]以及所引文獻(xiàn)。

1 研究進(jìn)展

Chen，Xie等學(xué)者在研究階段結(jié)構(gòu)捕食-食餌種群模型的持久性和絕滅性時[1]，發(fā)現(xiàn)針對他們所考慮的系統(tǒng)，食餌種群的絕滅并不意味著捕食者種群的絕滅，這似乎有違常識，其后他們經(jīng)過分析認(rèn)為，可能所構(gòu)建的模型中，隱含了捕食者有其他食物來源的假設(shè)，從而哪怕食餌種群絕滅了，捕食者種群照樣可能持續(xù)生存；Chen，Xie等學(xué)者提出了具有階段結(jié)構(gòu)的May合作種群模型[2]，他們研究表明隨著引入階段結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)可以絕滅，殘存或者兩個種群穩(wěn)定共存的，而眾所周知的，對階段結(jié)構(gòu)的May合作種群模型而言，兩個種群是恒穩(wěn)定共存的，這表明階段結(jié)構(gòu)是引起生態(tài)系統(tǒng)動力學(xué)行為復(fù)雜的本質(zhì)原因之一，是使得種群滅絕的關(guān)鍵性因素之一。

我們關(guān)注到這樣一個事實，所有文獻(xiàn)[1]-[9]的作者對具有階段結(jié)構(gòu)的種群均假設(shè)其幼年的出生率是成比例于成年種群的數(shù)量的，這種線性化的假設(shè)能使得系統(tǒng)動力學(xué)行為容易分析，但這種假設(shè)經(jīng)常情況下不一定會客觀反映現(xiàn)實情形。文獻(xiàn)[3]-[5]的作者認(rèn)為一個更為符合實際的模型應(yīng)該要考慮到非線性出生率，事實上，文獻(xiàn)[3]提出了具有非線性生育率的單種群捕獲模型，作者討論了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，其后借助Dulac判別法，得到了正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的充分性條件；文獻(xiàn)[5]提出了具有非線性生育率的三階段單種群模型，討論了模型的穩(wěn)定性態(tài)；文獻(xiàn)[4]認(rèn)為現(xiàn)實生活中，單獨(dú)生存的種群是非常少的，更為符合實際的模型應(yīng)該要考慮到種間作用，因此，他們在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，提出如下食餌具有階段結(jié)構(gòu)和非線性出生率的捕食者-食餌模型：

(1)

其中x1(t),x2(t)分別為食餌種群的幼年種群和成年種群在t時刻的種群密度，y(t)表示捕食者種群在t時刻的種群密度，這里假設(shè)捕食者僅捕食幼年食餌種群。記b=d+δ，δ=c，則系統(tǒng)(1)可以改寫為

有關(guān)系統(tǒng)(2)各個平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，作者得到如下兩個結(jié)果。

定理1

這里一些有趣的問題被提出：1)作者討論了正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，但是作者未對系統(tǒng)的邊界平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性進(jìn)行探討。人類對自然界的過度開發(fā)，越來越多的物種變成瀕危物種，探討物種的絕滅性成了非常重要的課題；2)作者在證明定理2時，借助了Dulac判別法，眾所周知，Dulac判別法只能應(yīng)用于二維平面系統(tǒng)，而對三維的系統(tǒng)，是不能直接應(yīng)用的，因此，作者的證明是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，定?的結(jié)論是否成立還有待探討。

本文將對上述這兩個問題給出肯定回答。我們主要是借助微分方程比較原理和通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，給出保證系統(tǒng)的3個平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定性的充分條件并給予證明，我們的方法具有一般性，可用于探討相似的生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

2 主要結(jié)果

下面敘述本文的主要結(jié)果。

定理2.1考慮系統(tǒng)(2)

在給出定理的證明之前,我們需要如下引理,這是文獻(xiàn)[3]中定理2的特例。

引理2.1考慮系統(tǒng)

(3)

下面給出定理2.1的證明。

(a) 由系統(tǒng)(2)的前兩個方程和解的非負(fù)性，可得

今考慮系統(tǒng)

(4)

沿著系統(tǒng)(4)的正解計算V1(t)的導(dǎo)數(shù)，有

對系統(tǒng)(2)的任一正解(x1(t),x2(t),y(t))，不妨設(shè)其初值為

且令(u1(t),u2(t))是系統(tǒng)(4)的滿足初值(u1(0),u2(0))=(x10,x20)的解，則由微分方程比較原理知當(dāng)t≥0時，有xi(t)≤ui(t). 由系統(tǒng)(2)的解的正性，有

也就是有

(5)

由此知當(dāng)t→+∞時，有

(6)

(5)和(6)表明系統(tǒng)(2)的邊界平衡點(diǎn)O(0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的。定理第一部分證明完畢。

(b) 由系統(tǒng)(2)的前兩個方程和解的非負(fù)性，可得

今考慮系統(tǒng)

(7)

(8)

對系統(tǒng)(2)的任一正解(x1(t),x2(t),y(t))，不妨設(shè)其初值為

且令(u1(t),u2(t))是系統(tǒng)(7)的滿足初值(u1(0),u2(0))=(x10,x20)的解，則由微分方程比較原理知當(dāng)t≥0時，有

(9)

由系統(tǒng)(2)的解的正性及(8)和(9)可知有

(10)

(11)

由(11)可知對足夠小的正數(shù)ε1>0，有不等式

成立。也就是

(12)

成立。

由(10)可知存在足夠大的T1>0使得對所有的t>T1有

從而當(dāng)t>T1時，由系統(tǒng)(2)的第三個方程有

由此以及(13)可知：當(dāng)t→+∞時，有

(13)

(14)

成立。對此ε2，由(13)知道存在足夠大的T2>T1，使得當(dāng)t>T2時

(15)

由(15)和系統(tǒng)(2)的前兩個方程可知：當(dāng)t>T2時，有

考慮系統(tǒng)

(16)

(17)

也即對系統(tǒng)(16)的任一正解(v1(t),v2(t))，有

(18)

對系統(tǒng)(2)的任一正解(x1(t),x2(t),y(t))，不妨設(shè)其初值為

且令(v1(t),v2(t))是系統(tǒng)(16)的滿足初值(v1(0),v2(0))=(x10,x20)的解,則由微分方程比較原理知當(dāng)t≥T2時，有

(19)

由系統(tǒng)(2)的解的正性及(18)和(19)可知有

(20)

由(10)和(20)可知有

(21)

(22)

(c) 我們將通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)來證明這一結(jié)論。今構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(23)

沿著系統(tǒng)(2)的正解計算導(dǎo)數(shù)，借助(23)有

今取

則有

3 結(jié)論

黃任培提出了食餌具有非線性出生率的捕食者-食餌模型(1)[4]，在將系數(shù)合并后，變成了系統(tǒng)(2)，作者探討了系統(tǒng)的各個平衡點(diǎn)的存在型，局部穩(wěn)定性和正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。我們注意到作者有關(guān)正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性的證明是不夠嚴(yán)格的，Dulac定理并不能直接應(yīng)用于三維系統(tǒng)，本文中，我們重新探討系統(tǒng)(2)的3個平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性態(tài)。借助微分方程比較原理和通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，我們獲得了保證系統(tǒng)各個平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的充分性條件，對比定理1、定理2和定理2.1可知，保證系統(tǒng)(2)的各個平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定的條件就足以保證它們是全局穩(wěn)定的。這樣，我們就極大的改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[4]的主要結(jié)果。我們的方法具有一般性，可用于探討類似的階段結(jié)構(gòu)生態(tài)系統(tǒng)。