朱玉泉 ,于景華

(1.朔州市農(nóng)業(yè)機(jī)械服務(wù)中心 農(nóng)機(jī)安全監(jiān)理所，山西 朔州 036002；2.中北大學(xué)朔州校區(qū) 能源與機(jī)械工程系，山西 朔州 036002)

0 引言

齒輪機(jī)構(gòu)是我們常用的一種機(jī)構(gòu)，齒輪副在平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時(shí)常按照一個(gè)高副提供一個(gè)約束計(jì)算，忽略了兩個(gè)高副的情況，因此常常出錯(cuò)。本文結(jié)合工程實(shí)例對齒輪副約束情況進(jìn)行分析，得出齒輪副引入一個(gè)高副和兩個(gè)高副的條件，為正確計(jì)算含齒輪副機(jī)構(gòu)的自由度提供參考。

1 含齒輪機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時(shí)出現(xiàn)的問題

平面機(jī)構(gòu)自由度F計(jì)算公式為[1]：

F=3n-(2pl+ph-p′)-F′.

(1)

其中：n為活動(dòng)構(gòu)件數(shù)目；pl為低副數(shù)目；ph為高副數(shù)目；p′為虛約束數(shù)目；F′為局部自由度數(shù)目。

圖1為兩種周轉(zhuǎn)輪系[2]。在兩種周轉(zhuǎn)輪系中都有兩個(gè)齒輪副，即1與2和2與3。兩個(gè)周轉(zhuǎn)輪系自由度都為1，但在用公式(1)計(jì)算自由度時(shí)，出現(xiàn)下面的結(jié)果：

(1) 圖1(a)周轉(zhuǎn)輪系中，1、3為太陽輪，2為行星齒輪，4為系桿?；顒?dòng)構(gòu)件數(shù)目n=3，低副數(shù)目pl=3，高副數(shù)目ph=2，則自由度F=3×3-(2×3+2)=1。

(2) 圖1(b)周轉(zhuǎn)輪系中，齒輪2與3之間沒有系桿，活動(dòng)構(gòu)件數(shù)目n=2，低副數(shù)目pl=1，高副數(shù)目ph=2，則自由度F=3×2-(2×1+2)=2。

通過以上計(jì)算可知，圖1(b)用公式(1)計(jì)算出的自由度與實(shí)際自由度不符，分析其錯(cuò)誤原因就在于齒輪副中齒輪1與2和 2與3之間都是按照中心固定，一個(gè)齒輪副引入一個(gè)高副計(jì)算，忽略了圖1(b)中齒輪2中心不固定，齒輪副是兩個(gè)高副的情況。因此計(jì)算自由度時(shí)齒輪副引入一個(gè)還是兩個(gè)高副約束要看齒輪副的接觸形式，下面從齒輪副的接觸形式分析約束情況。

2 齒輪副引入約束的判斷

齒輪接觸分為單側(cè)接觸和雙側(cè)接觸，單側(cè)接觸為有側(cè)隙嚙合，雙側(cè)接觸為無側(cè)隙嚙合，如圖2所示。所謂側(cè)隙是指兩個(gè)相互配合的齒輪工作面接觸時(shí)， 相鄰的兩個(gè)非工作齒間形成的間隙。齒輪嚙合傳動(dòng)時(shí)，為了在嚙合齒廓之間形成潤滑油膜，避免因輪齒摩擦發(fā)熱膨脹而卡死，齒廓之間必須留有間隙，此間隙即為側(cè)隙。當(dāng)兩輪輪齒做有側(cè)隙嚙合時(shí)，兩輪輪齒單側(cè)接觸，非工作側(cè)齒廓之間存在間隙，此齒輪副應(yīng)該算1 個(gè)高副，即它提供1 個(gè)約束[3]。當(dāng)兩輪輪齒做無側(cè)隙嚙合時(shí)，輪齒的兩側(cè)都參加接觸，且接觸點(diǎn)的公法線方向并不彼此重合，此齒輪副應(yīng)該算2個(gè)高副，即它提供兩個(gè)約束。齒輪副有、無側(cè)隙嚙合與中心距有關(guān)，當(dāng)構(gòu)成齒輪副的兩齒輪中心距可變化，這時(shí)齒輪做無側(cè)隙嚙合提供兩個(gè)約束，齒輪副為兩個(gè)高副；當(dāng)構(gòu)成齒輪副的兩齒輪中心距受其余構(gòu)件約束，齒輪做有側(cè)隙嚙合，齒輪副為一個(gè)高副。

圖2 齒輪嚙合示意圖

3 平面齒輪副的低副代替機(jī)構(gòu)

為了進(jìn)一步說明有側(cè)隙和無側(cè)隙齒輪副的約束實(shí)質(zhì)，分別對以上齒輪副進(jìn)行高副低代[4]。高副低代要求：①替代前后機(jī)構(gòu)的自由度不變；②原有構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)參數(shù)不變。代替方法為:用處于兩構(gòu)件接觸點(diǎn)曲率中心的兩個(gè)低副和其間的虛設(shè)構(gòu)件代替原來的高副。因此有側(cè)隙嚙合時(shí)引入一個(gè)高副約束，用一桿兩轉(zhuǎn)動(dòng)副代替，如圖3(a)所示。其中，o1、o2分別為兩齒輪的中心，N1、N2分別為兩輪齒接觸點(diǎn)處漸開線的曲率中心，N1N2之間的桿和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副代替齒輪高副。無側(cè)隙嚙合時(shí)引入兩個(gè)高副約束，用一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副代替，如圖3(b)所示，這樣在無側(cè)隙嚙合時(shí)齒輪副可直接按照一個(gè)低副計(jì)算。

圖3 平面齒輪副的低副代替機(jī)構(gòu)

4 驗(yàn)證計(jì)算

根據(jù)以上方法對圖1輪系再一次進(jìn)行自由度計(jì)算。

(1) 圖1(a)中，齒輪2與3之間有系桿，活動(dòng)構(gòu)件數(shù)目n=3；齒輪2與3之間的系桿固定了中心距，因此齒輪1與2和2與3之間都按高副引入一個(gè)約束計(jì)算，即Pl=3、Ph=2，則自由度F=3×3-2×3-2=1。

(2) 圖1(b)中，齒輪2與3之間沒有系桿， 活動(dòng)構(gòu)件數(shù)目n=2；齒輪2與3互相約束，中心距可以變化，齒輪做無側(cè)隙嚙合，齒輪副按照兩個(gè)高副引入兩個(gè)約束的低副計(jì)算，即Pl=2；齒輪2與3之間互為約

束，齒輪1為機(jī)架，因此齒輪1與2之間中心距不可變，齒輪做有側(cè)隙嚙合，為一個(gè)高副，即Ph=1，則自由度F=3×2-2×2-1=1。

以上計(jì)算結(jié)果與實(shí)際自由度值相符，驗(yàn)證了此方法計(jì)算齒輪機(jī)構(gòu)自由度的正確性。

5 結(jié)論

本文通過實(shí)例分析得出齒輪副引入一個(gè)還是兩個(gè)高副的條件：當(dāng)兩齒輪中心距已經(jīng)通過構(gòu)件或運(yùn)動(dòng)副確定，齒輪副則按照引入一個(gè)約束有兩個(gè)自由度的高副計(jì)算；當(dāng)中心距不確定，需要通過齒輪副本身提供的約束確定時(shí)，齒輪副按照引入兩個(gè)高副計(jì)算，即相當(dāng)于一個(gè)低副。這樣我們在計(jì)算含齒輪機(jī)構(gòu)自由度時(shí)只要定出兩齒輪的中心距是不是固定，就可以知道其提供的約束，可使自由度的計(jì)算更為方便。