李道奎 劉軍虎 周仕明

?(國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙410073)

?(北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京100076)

在2017 年第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽初賽試題[1]的第(13)題中，要求計(jì)算均布扭矩m作用下圓截面圓環(huán)(如圖1所示，圓環(huán)半徑為R，橫截面半徑為r，且r?R)橫截面上的內(nèi)力最大值，在所給出的解答[2]中，根據(jù)截面內(nèi)力(合彎矩M)與扭轉(zhuǎn)角φ之間的關(guān)系，當(dāng)φ=π時(shí)取得最大內(nèi)力。本文作者[3]也曾給出相同的結(jié)果，其實(shí)都是在不考慮穩(wěn)定性的條件下得到的，沒(méi)有討論系統(tǒng)是否可以達(dá)到這一狀態(tài)。黃志龍[4]曾對(duì)均布扭矩作用下任意截面圓環(huán)的穩(wěn)定性及分岔進(jìn)行了分析，但沒(méi)有討論其變形及內(nèi)力的計(jì)算等問(wèn)題。

本文在文獻(xiàn)[3]得到的圓截面圓環(huán)在均布扭力矩作用下總勢(shì)能表達(dá)式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出圓環(huán)的平衡路徑，并根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的能量判據(jù)[5]，對(duì)圓截面圓環(huán)在均布扭力矩作用下的平衡穩(wěn)定性、變形與運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，進(jìn)而得到穩(wěn)定平衡狀態(tài)下圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力最大值。

圖1 均布扭力矩作用下的圓環(huán)

1 系統(tǒng)的總勢(shì)能與平衡路徑

圓環(huán)在均布扭力矩作用下的總勢(shì)能等于應(yīng)變能與外力勢(shì)能之和[3]，即

式中，E為圓環(huán)材料的彈性模量，I=πr4/4為圓環(huán)橫截面對(duì)形心軸的慣性矩。

由最小勢(shì)能原理

將式(1)代入式(2)，再由δφ=0可得

根據(jù)式(2)，圖2 畫(huà)出了均布力偶載荷m隨橫截面的轉(zhuǎn)角φ的變化關(guān)系。從圖中可以看出，當(dāng)0φπ/2 時(shí)，m隨著φ的增大而增大；當(dāng)π/2φπ時(shí)，m隨著φ的增大而減小。這也就是說(shuō)，當(dāng)φ=π/2時(shí)，m取得極大值，mmax=EI/R2。下面用能量法對(duì)變形過(guò)程的穩(wěn)定性進(jìn)行分析[5]。

圖2 均布扭力矩m 隨橫截面的轉(zhuǎn)角φ 的變化關(guān)系

2 系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性分析

將式(3)兩邊對(duì)φ求導(dǎo)兩次，得

(1)當(dāng)0φ <π/2 或3π/2< φ2π 時(shí)，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。

(2)當(dāng)π/2< φ <3π/2 時(shí)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

(3)當(dāng)φ= π/2 或φ= 3π/2 時(shí)，必須進(jìn)一步判斷將式(4)兩邊再次對(duì)φ求導(dǎo)得

當(dāng)φ=π/2時(shí)當(dāng)φ=3π/2時(shí)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)都是不穩(wěn)定的。

3 圓環(huán)的變形與運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析

根據(jù)以上討論可知，隨著橫截面轉(zhuǎn)角φ的增大，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性是在發(fā)生變化的。在載荷m的作用下，其變形與運(yùn)動(dòng)過(guò)程是這樣的。

(1)當(dāng)0φπ/2時(shí)，m隨著φ的增大而增大，此階段的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。

(2)當(dāng)φ= π/2 時(shí)，m取得極大值，mmax=EI/R2，此時(shí)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，圓環(huán)將失穩(wěn)翻轉(zhuǎn)，即文獻(xiàn)[5]中所謂的跳躍。翻轉(zhuǎn)過(guò)程中如果保持mmax不變(或繼續(xù)增大)，將會(huì)直接跳躍到φ=5π/2時(shí)的C點(diǎn)。

(3)當(dāng)π/2<φπ，此階段若因施加某種約束，使得翻轉(zhuǎn)過(guò)程很緩慢，m隨著φ的增大而減小，圓環(huán)也有可能在某個(gè)位置處于平衡狀態(tài)，如m=m0的E點(diǎn)，但這個(gè)平衡狀態(tài)將會(huì)是不穩(wěn)定的，微小擾動(dòng)下將會(huì)直接跳躍回到D點(diǎn)。

(4)當(dāng)π< φ2π，此階段相當(dāng)于反向加載的情況，若從φ=2π處反向加載至B點(diǎn)，將會(huì)直接跳躍到φ=?π/2時(shí)的G點(diǎn)，這里就不再仔細(xì)分析了。

4 圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力最大值

圓環(huán)橫截面上的合彎矩為[2-3]

根據(jù)以上分析可知，在沒(méi)有施加其他約束的情況下，截面的轉(zhuǎn)角φ不能達(dá)到π，而是在達(dá)到π/2時(shí)圓環(huán)就將翻轉(zhuǎn)。因此，截面內(nèi)力的最大值是在φ=π/2時(shí)達(dá)到的，即

而不是文獻(xiàn)[23]中給出在φ= π 時(shí)的Mmax=2EI/R。

需要說(shuō)明的是，翻轉(zhuǎn)過(guò)程中盡管也會(huì)存在φ=π的狀態(tài)，但此狀態(tài)轉(zhuǎn)瞬而過(guò)，可以不考慮其受力情況。

5 結(jié)論

本文在文獻(xiàn)[3]得到的圓截面圓環(huán)在均布扭力矩作用下總勢(shì)能表達(dá)式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到了圓環(huán)的平衡路徑，并根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的能量判據(jù)，分析了圓截面圓環(huán)在均布扭力矩作用下的平衡穩(wěn)定性、變形與運(yùn)動(dòng)過(guò)程，得到了穩(wěn)定平衡狀態(tài)下圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力最大值。主要結(jié)論如下：

(1) 均布扭力矩作用下圓截面圓環(huán)的平衡狀態(tài)，在扭轉(zhuǎn)角φ∈[0,π/2)或φ∈(3π/2,2π]時(shí)是穩(wěn)定的，在φ∈[π/2,3π/2]時(shí)是不穩(wěn)定的；

(2)當(dāng)φ=π/2時(shí)，扭力矩取得極大值，圓環(huán)將失穩(wěn)翻轉(zhuǎn)；

(3)當(dāng)φ=π/2時(shí)，圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力達(dá)到最大值，且直接根據(jù)內(nèi)力表達(dá)式得到的最大內(nèi)力(在φ=π時(shí))因圓環(huán)失穩(wěn)而不存在。