姜世杰， 孫明宇， 董天闊， 陳丕峰

(東北大學 機械工程與自動化學院， 遼寧 沈陽 110819)

熔絲加工成型(fused filament fabrication，F(xiàn)FF)技術廣泛應用于快速成型制造和特定產(chǎn)品加工，能生產(chǎn)任意復雜幾何形狀的設計結構[1].其工作原理是利用驅動齒輪將絲狀原材料輸送到熱熔噴嘴中，根據(jù)計算機輔助設計出的輪廓，噴嘴將熔融狀態(tài)的材料擠出，逐層累加堆積，并與之前擠出的材料凝固粘結，形成最終的零件[2-3].然而，由于諸如孔之類以及逐層累加堆積引起的無層間壓力等缺陷，F(xiàn)FF生產(chǎn)的工件的機械性能還遠不如傳統(tǒng)加工工件，減緩了FFF技術的發(fā)展速度.

目前，F(xiàn)FF技術被廣泛應用到航空航天、汽車船舶和醫(yī)療衛(wèi)生等實際工作領域中，隨著工作環(huán)境越來越嚴苛，尤其是在動態(tài)循環(huán)載荷的作用下，亟需對制品進行更為實際的動力學分析以準確判定和預測FFF零件的穩(wěn)定性和可靠性.Arivazhagan等[4]利用DMA 2980設備對FFF樣件進行了0～100 Hz頻率范圍內的動力學特性參數(shù)的掃頻試驗，結果表明儲能模量隨溫度的升高而增加，黏度隨溫度的升高而降低.Mohamed等[5-6]采用相似的方法研究了纖維角度、打印間隙等FFF工藝參數(shù)對動態(tài)彈性模量的影響，結果表明動態(tài)彈性模量隨著光柵角、打印間隙、路徑寬度及打印方向等參數(shù)的增加而減??；且通過實驗驗證了最佳處理參數(shù).然而，以上研究都是基于實驗測試開展的，缺乏理論依據(jù)；盡管實驗是在循環(huán)振動載荷條件下進行的，但是研究中只考慮了楊氏模量、儲能模量等參數(shù)的變化情況，未超出材料力學特性的研究范疇.鮮有學者針對FFF工件進行固有特性(固有頻率和模態(tài)振型)、振動響應等動力學方面的研究.

本研究針對FFF薄板結構的動力學特性及振動響應建立了理論模型，以深入了解FFF薄板尤其在動態(tài)載荷作用下的穩(wěn)定性和可靠性，為改善FFF產(chǎn)品的動力學性能提供理論基礎.因此，研究FFF薄板的固有特性和振動響應有著重要的理論價值和實際意義[7].

截至目前，研究人員在不同結構薄板的固有特性和振動響應方面進行了大量的研究與論證.Mochida等[8]利用疊加法和有限差分法計算了自由矩形薄板的固有頻率.其中，疊加法給出了上限結果，有限差分法給出了下限結果.Ramu等[9]基于基爾霍夫理論，使用有限元法計算了簡支矩形薄板的剛度矩陣和質量矩陣，通過研究這些矩陣的特征值問題確定了薄板的固有頻率.研究結果表明，該方法可以成功應用于任何矩形薄板結構的自由振動分析.Zhong等[10]利用有限積分方法推導了矩形懸臂薄板的固有頻率和模態(tài)振型.該方法具有計算簡便、速度快、精度高等特點，為得到薄板準確的固有特性結果提供了高效、便捷的方法.Lin等[11]利用雙余弦積分變換解析方法研究了自由邊界條件下加筋板的振動特性，理論分析了加筋板的自由和受迫振動響應.

由于FFF成型過程的特殊性，其成型薄板具有多層、工藝參數(shù)復雜、高度各向異性等結構特點，使得相應的固有特性及振動響應研究變得十分復雜.為此，本文首次開展了懸臂邊界條件下FFF薄板的固有特性及振動響應研究，研究成果可以為改善FFF產(chǎn)品動力學性能提供理論基礎和技術支持.

1 FFF薄板動力學特性及響應分析

1.1 固有特性理論分析

本文所研究的FFF薄板由多層聚乳酸(PLA)纖維材料組成，具有明顯的正交各向異性特征，圖1為矩形板的幾何模型，其長度Lg為150 mm，寬度Wd為50 mm，總厚度h為2.4 mm(每層的厚度為擠出長絲的擠出寬度).以板的中心平面為xoy平面，建立三維坐標系(o-xyz)，長度、寬度和厚度方向由x，y和z表示.

基于經(jīng)典層合板理論[12]，可將FFF薄板的位移場寫為

(1)

式中：u,v,w代表板內任意一點的位移；u0,v0,w0代表板中面位移；t表示時間.

假設懸臂邊界條件下的FFF薄板x方向的彈性模量為E1，y方向的彈性模量為E2，xoy平面內的剪切彈性模量為G12，x方向與y方向上的泊松比為ν12，ν21.基于經(jīng)典層合板理論：只需考慮薄板的橫向振動，即中面位移u0和v0可忽略不計，正應變εz和剪應變γyz，γxz都為0，亦即εz=γyz=γxz=0，F(xiàn)FF薄板內任意一點的應變可以表示為

(2)

FFF薄板中面彎曲撓曲率和扭曲率可表示為

(3)

因此，F(xiàn)FF薄板內任意一點的應變也可寫為

εx=zκx，εy=zκy，γxy=zκxy.

(4)

由于本文討論的FFF薄板具有明顯的正交各向異性特征，則主軸方向的應力-應變關系可寫為

(5)

其中，

(6)

當主軸方向與所設平面的坐標系之間有夾角θ時，考慮FFF薄板的分層特點，可得第k層板在坐標系下的應力-應變關系：

(7)

其中，

(8)

式中：k表示FFF薄板的第k層；θk表示薄板第k層的纖維方向與所設平面坐標系下x方向的夾角.

FFF薄板所受彎矩和扭矩為

(9)

式中，

(10)

FFF薄板振動的動能可以表示為

(11)

式中：A為FFF薄板的表面積；ρ為薄板的密度；h為薄板的厚度.

FFF薄板彎曲儲存的應變能表示為

(12)

基于正交多項式法獲得FFF薄板振動的振型函數(shù):

(13)

式中：cmn是待定參數(shù)；Pi(ξ)(i=1,…,M)和Pj(η)(j=1,…,N)為一系列的正交多項式.

(14)

式中Bk和Ck為系數(shù)函數(shù)，其表達式分別為

(15)

式中，w(ζ)是權函數(shù)，通常取w(ζ)=1.而P1(x)和P1(y)是滿足固支、簡支、自由等邊界條件的多項式函數(shù)，且

(16)

將式(13)代入動能公式(11)和應變能公式(12)中，可以得到用待定參數(shù)cij表示的最大動能Ekmax和最大應變能Ukmax分別為

(17)

(18)

然后將能量函數(shù)L表示成

L=Ekmax-Ukmax.

(19)

求解FFF薄板的固有特性問題，根據(jù)最小勢能原理，待定參數(shù)cmn應使總能量函數(shù)L為極值，即有

(20)

將式(19)代入式(20)中，可以得到特征值問題：

(K-ω2M)a=0.

(21)

式中：K和M分別為FFF薄板的剛度矩陣和質量矩陣；a=[c11,c12,…,cmn].

K和M中的元素是所有待定參數(shù)cmn的系數(shù)，為保證式(21)有解，則系數(shù)矩陣行列式為0，即

det(K-ω2M)=0.

(22)

由式(22)即可求得其各階模態(tài)的固有頻率值.然后，將計算獲得各階特征向量a以及所建立的薄板模型的各個節(jié)點坐標帶回振型函數(shù)W(ξ,η)中，即可獲得FFF薄板的各階模態(tài)振型.

1.2 振動響應理論分析

向薄板輸入垂直于中面的外部激勵，其表達式為

f(t)=Asin(ωt+φ).

(23)

根據(jù)1.1節(jié)所述，基于正交多項式法表示振型函數(shù)，采用Ritz法可以求解獲得FFF薄板的最大動能Ekmax和應變能Ukmax的表達式(17)和式(18)，并且可以獲得等效黏性阻尼做功最大值Wcmax為

Wcmax=c?AW2dA.

(24)

式中，c為黏性阻尼系數(shù).

然后，定義拉格朗日能量函數(shù)L的表達式為

L=Ekmax+Wcmax-Ukmax.

(25)

通過待定參數(shù)cmn應使總能量函數(shù)L為極值，即

(26)

即可獲得FFF薄板的頻域振動方程

(K+iωC-ω2M)a=f(t).

(27)

式(27)給出了外部激勵下FFF薄板振動響應的求解表達式，由此可以預測FFF薄板任意一點的振動響應.

1.3 實驗研究

為驗證上述模型的正確性，搭建了如圖2所示的測試系統(tǒng)，并以PLA材料FFF薄板為研究對象，對其固有特性和振動響應等動力學參數(shù)進行實驗研究.測試系統(tǒng)主要包括模態(tài)力錘、數(shù)據(jù)采集卡和加速度傳感器等設備.其中，加速度傳感器質量為0.6 g，可忽略其對實驗的誤差.FFF薄板樣件整體長、寬、厚度尺寸分別為150 mm×50 mm×2.4 mm，x方向的彈性模量E1=3 500 MPa，切變模量G12=1 287 MPa，y方向的彈性模量E2=3 400 MPa，泊松比ν12=0.36，密度ρ=1 252 kg/m3，該類型FFF薄板共有6層，每層具有相同的厚度.

實驗過程中，首先利用夾具固定保持FFF薄板樣件的懸臂狀態(tài)，薄板被夾持長度為20 mm，激勵點位于夾持位置上方約10 mm，加速度傳感器固定在薄板樣件頂部和中部，該處的振動響應較大，以獲取準確的測試結果.然后，通過力錘將脈沖激勵施加到樣件上，并且由加速度傳感器測試由脈沖激勵引起的薄板的動態(tài)響應，并通過數(shù)據(jù)采集卡實時收集激勵信號和響應信號，確定薄板的頻響函數(shù)(FRF).再次，采用單點拾振法完成對樣件的參數(shù)識別，即將加速度傳感器固定在振動較大的測量點處，分別對其余各測點進行激勵，獲得薄板的模態(tài)振型.最后，針對頻響函數(shù)曲線進行分析和計算，以獲取FFF薄板動力學特性和振動響應等參數(shù)的測試結果.每個樣件選擇2個測點，針對每個測點，進行10組實驗，以保證測試結果的準確性.

2 結果分析

本節(jié)對比分析了FFF薄板的動力學特性及響應等參數(shù)的理論與測試結果，以驗證所提出的動力學模型的正確性.

2.1 固有特性對比

根據(jù)1.1和1.3節(jié)的內容，以懸臂邊界條件下的FFF薄板為研究對象，其固有特性的對比結果如表1所示.通過對比驗證可知，基于正交多項式法的FFF 3D打印薄板計算振型和測試結果一致，其中一階振型為一階彎曲振動，二階振型為一階扭轉振動，三階振型為二階彎曲振動.固有頻率的計算結果與實驗結果吻合度較好，前三階數(shù)值分別為31.2，185，521 Hz和29.27，188.3，517.7 Hz，誤差隨著階次的增加而減小，范圍僅為0.44%～2.49%.上述分析可知，利用本文所建立的理論模型可以準確地分析和預測出FFF 3D打印薄板的固有特性參數(shù)，即固有頻率和模態(tài)振型，驗證了理論模型的正確性.

表1 FFF 3D打印薄板前3階固有特性的理論和實驗結果

2.2 振動響應對比

基于1.2和1.3節(jié)，確定FFF薄板振動響應的理論與實驗結果如圖3所示.第一、三階的振動響應理論值為0.382 6和0.045 4 mm，實驗結果分別為0.3534和0.0410mm，最大誤差僅為13.17%.由此可知，本文所建立的動力學模型能夠準確預測FFF薄板的振動響應結果.

2.3 阻尼比對比

利用半功率帶寬法分析FFF薄板的振動響應曲線，分別獲得了阻尼比的理論與實驗結果，如圖4所示.由圖可知，阻尼比的理論與實驗結果趨勢基本一致，其中第一階阻尼比的理論與實驗結果分別為0.01025和0.01376，誤差為25.4%；第二階分別為0.027 35和0.025 24，誤差為8.36%；第三階為0.039 24和0.034 83，誤差為12.66%，可見，F(xiàn)FF薄板的阻尼比的理論與實驗結果吻合較好，進一步驗證了動力學模型的正確性.

綜上可知，利用本文所提出的計算方法可有效計算懸臂邊界條件下FFF 3D打印薄板的固有頻率、模態(tài)振型、振動響應及阻尼比等動力學參數(shù)，為改善FFF產(chǎn)品的質量提供了理論基礎.但是仍有必要分析上述誤差產(chǎn)生的原因，其中實驗誤差客觀存在，例如測試時的邊界條件、儀器靈敏度、實驗方法等造成的影響；理論建模誤差包括在建模過程中未考慮纖維不規(guī)則、粘合缺陷和殘余應力等的影響.

3 結 論

1) 基于經(jīng)典層合板理論對懸臂條件下FFF薄板進行了建模，分析和驗證了FFF薄板的固有特性和振動響應.

2) 總結了利用Matlab求解FFF薄板固有特性和振動響應的步驟.包括輸入薄板各項參數(shù)、基于正交多項式法表示振型函數(shù)、通過Ritz法求解固有頻率以及通過頻域振動方程求解振動響應等步驟.

3) 以PLA纖維FFF薄板為研究對象，將固有特性和動態(tài)響應的理論計算結果與實驗測試結果進行了對比，固有頻率計算結果與實驗結果的誤差在0.44%～2.49%之間，且前3階模態(tài)振型也完全一致，動態(tài)響應計算結果與實驗結果的誤差在8.35%～13.17%之間，模態(tài)阻尼比趨勢吻合度較好，處于誤差允許的范圍內，進而驗證了動力學模型的正確性.

4) 本研究雖然選用PLA材料的FFF薄板來驗證理論模型，但基于相同機理，所得到的解析公式適用于任何材料的FFF薄板結構的動態(tài)特性參數(shù)研究.