劉 怡，鐘文敏

（贛南醫(yī)學(xué)院第一附屬醫(yī)院，江西 贛州 341000）

1 引言

由于新技術(shù)的推動和應(yīng)用市場的拉動，近年來機(jī)器人在醫(yī)療方面的應(yīng)用越來越廣泛了，很多醫(yī)院利用機(jī)器人分擔(dān)一些例如消毒、輸液、運(yùn)輸?shù)确?wù)型的工作。滾動球式機(jī)器人作為機(jī)器人的一種，因其運(yùn)動靈活、通過性好等優(yōu)點(diǎn)，在醫(yī)療領(lǐng)域有巨大的發(fā)展?jié)摿1]。

滾動球式機(jī)器人是在獨(dú)輪自平衡機(jī)器人的研究基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，國內(nèi)對滾動球式器人的研究起步較晚，目前大部分還處于理論研究階段，國外在研究滾動球式機(jī)器人方面比較早的是文獻(xiàn)[3-8]于2005年前后研制出一種新型的滾動球式機(jī)器人“Ballbot”，但是最成功的應(yīng)該算是2010年，由蘇黎世瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院與蘇黎世應(yīng)用科學(xué)學(xué)院以及蘇黎世藝術(shù)學(xué)院合作研制的“Rezero”機(jī)器人[10-12]，“Rezero”機(jī)器人不僅能在球體上實(shí)現(xiàn)動平衡，而且具有非常強(qiáng)的靈活性和運(yùn)動性，但是“Rezero”機(jī)器人在結(jié)構(gòu)上缺乏失電保護(hù)裝置，在機(jī)器人啟停及瞬時失電的狀態(tài)下整個機(jī)器人很容易傾倒，而且“Rezero”機(jī)器人動力學(xué)建模復(fù)雜且準(zhǔn)確性不足，因此為了提高滾動球式機(jī)器人動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性及滾動球式機(jī)器人的安全性和穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)一種自帶失電保護(hù)裝置且建模簡單、方便的滾動球式機(jī)器人就變得非常有必要了。

利用Solidworks設(shè)計(jì)出了一種新型的滾動球式醫(yī)療服務(wù)型機(jī)器人，該機(jī)器人通過增加失電保護(hù)裝置有效的提高了機(jī)器人在啟停及制動狀態(tài)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時，由于Lagrange-Routh方程同時具備了第一類和第二類Lagrange方程的功能[2]，通過引入了Lagrange乘子，使Lagrange-Routh方程建立的動力學(xué)系統(tǒng)模型理想假設(shè)更少、模型誤差更小、求解過程更加簡單，且能很好的解決滾動球式機(jī)器人系統(tǒng)的非線性、非完整性等問題，因此文中采用Lagrange-Routh方程對滾動球式機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模。

2 滾動球式移動機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

滾動球式機(jī)器人主要由機(jī)架、驅(qū)動機(jī)構(gòu)、失電保護(hù)機(jī)構(gòu)、球體四部分組成，如圖1所示。其中機(jī)架上安裝有各類型的傳感器、三維慣性測量單元、鋰電池、控制器、伺服驅(qū)動器等；驅(qū)動電機(jī)采用直流無刷伺服電機(jī)，三個全向輪對稱安裝在球體上，全向輪軸線與垂直方向成30°，全向輪中心、球體中心以及它們的接觸點(diǎn)共線；失電保護(hù)裝置主要由精密彈簧合頁、圓形電磁吸盤、支撐板等組成，當(dāng)通電運(yùn)行狀態(tài)下電磁吸盤緊吸支撐板，當(dāng)系統(tǒng)瞬時斷電或啟停瞬時狀態(tài)時電磁吸盤失電，四個支撐在彈簧的作用下同時打向地面防止整個機(jī)器人傾倒。由于驅(qū)動機(jī)構(gòu)、失電保護(hù)機(jī)構(gòu)、鋰電池、控制器等都是固接在機(jī)架上，為了簡化模型的計(jì)算，因此在建立模型前把固接在機(jī)架上的物體和機(jī)架當(dāng)做一個整體稱為主架體，由此，整個滾動球式機(jī)器人就可以看成是由主架體和球體兩部分組成。

圖1 滾動球式機(jī)器人本體結(jié)構(gòu)Fig.1 Body Structure of Rolling Ball Robot

3 滾動球式機(jī)器人動力學(xué)建模

3.1 模型的理想化假設(shè)與參數(shù)設(shè)置

根據(jù)前面所設(shè)計(jì)的單新型球輪移動機(jī)器人本體機(jī)構(gòu)建立相應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系，如圖2所示。圖2中坐標(biāo)系OXYZ是全局固定慣性坐標(biāo)系、坐標(biāo)系O1X1Y1Z1是球體的動坐標(biāo)系、坐標(biāo)系O2X2Y2Z2主架體的動態(tài)坐標(biāo)系，其中O是全局固定慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)、O1是球體的球心也是球體動坐標(biāo)系的原點(diǎn)、O2是主架體的質(zhì)心點(diǎn)也是主架體動坐標(biāo)系的原點(diǎn)。滾動球式機(jī)器人在全局固定慣性坐標(biāo)系OXYZ中的姿態(tài)位置用固定在機(jī)架上的坐標(biāo)系O2X2Y2Z2的位置來表示。為了表示坐標(biāo)系OXYZ和坐標(biāo)系O2X2Y2Z2之間的位置關(guān)系，引入歐拉角θ、φ、ψ及坐標(biāo)系，如圖3所示。同時假設(shè)，主架體的質(zhì)心點(diǎn)O2（主架體動坐標(biāo)系的原點(diǎn)）在全局固定慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x，y，z），球體的質(zhì)心O1（球心）在全局慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x0，y0，z0）。

圖2 滾動球式機(jī)器人坐標(biāo)關(guān)系Fig.2 Coordinate Relation of Rolling Ball Robot

為了降低計(jì)算的復(fù)雜程度對模型做幾點(diǎn)假設(shè)：（1）假設(shè)球體質(zhì)心（球體圓心）與主架體的質(zhì)心共線，且開始時滾動球式機(jī)器人處于平衡狀態(tài)位于全局固定慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，當(dāng)受到瞬時的擾動運(yùn)動到圖2的位置；（2）假設(shè)球體與地面作純滾動；（3）假設(shè)全向輪與球體之間的運(yùn)動為純滾運(yùn)動。

圖3 坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.3 Rotation Relation of Coordinate System

3.2 廣義坐標(biāo)的設(shè)定

由于滾動球式機(jī)器人系統(tǒng)是非完整系統(tǒng)，在建模的過程中把該系統(tǒng)分為主架體和球體兩部分。假設(shè)滾動球式機(jī)器人從全局固定慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)運(yùn)動到圖2所示的位置球體繞X軸轉(zhuǎn)過的角度為α，繞Y軸轉(zhuǎn)過的角度為β，繞Z軸轉(zhuǎn)過的角度為γ轉(zhuǎn)動順序X-Y-Z，而主架體質(zhì)心在局部固定慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x，y，z），其姿態(tài)角可以用θ、φ、ψ來表示，假設(shè)球體的質(zhì)心（球心）與主架體的質(zhì)心共線，可以得到整個滾動球式機(jī)器人系統(tǒng)在全局固定慣性坐標(biāo)系中的位置可以由參數(shù)x0，y0，z0，α，β，γ，x，y，z，θ、φ、ψ來表示，其中z0=R，R為球體的半徑，由此，對整個系統(tǒng)分析，將整個系統(tǒng)分為球體和主架體兩個部分，并分別對這兩個部分進(jìn)行建模分析，假設(shè)主架體的廣義坐標(biāo)為qz，則有qz=（x，y，z，θ，φ，ψ），球體的廣義坐標(biāo)的為qq，則有qq=（x0，y0，α，β，γ）。

3.3 球體動力學(xué)建模

Lagrange-Routh方程動力學(xué)建模的一般形式為[13-15]：

式中：qj—系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；Qj—廣義坐標(biāo)所對應(yīng)的廣義力；n—廣義坐標(biāo)的個數(shù)，其中n=9，L=T-V；T—系統(tǒng)動能；V—系統(tǒng)的勢能；A—一個代表了k個Pfaff形式的非完整約束的k×n維的雅克比矩陣，且有A（q）q˙=0[1]。

首先對球體分析假設(shè)其廣義坐標(biāo)為qqj、P點(diǎn)的速度為VP、雅克比矩陣為Aq（qqj）、廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力為Qqj，動能為Tq，勢能為Vq，則qqj可以表示為qqj=（x0，y0，α，β，γ），假設(shè)球體在全局固定慣性坐標(biāo)系中的角速度為，根據(jù)文獻(xiàn)[1、6、8]所述，則可表示為如下公式：

由于球體在地面上作純滾運(yùn)動，所以球體與地面的接觸點(diǎn)瞬時速度為零，假設(shè)球體與地面的接觸點(diǎn)為P，球體的半徑是R，則有VP=0，且[9]：

將式（2）代入到式（3）中可得：

對于新型滾動球式動機(jī)器人球體分析可知k=2，n=5，所以有：

球體的動能、勢能分別為Tq、Vq：

將廣義力及球體的動能及勢能帶入到拉格朗日勞斯方程中得出了球體的完整動力學(xué)方程，具體形式如下：

再將式（4）代入（8）消去拉格朗日乘子λ1和λ2，得出球體的完整動力學(xué)方程，式（8）中Qq3、Qq4、Qq5分別為球體廣義坐標(biāo)α、β、γ所對應(yīng)的廣義力，根據(jù)球體完整動力學(xué)方程可知只要給出球體的運(yùn)動狀態(tài)及三個全向輪的輸出扭矩便可求出球體廣義坐標(biāo)qqj＝（x0，y0，α，β，γ）的值。

3.4 主架體動力學(xué)建模

由于主架體不存在非完整約束，因此采用主動力部分為有勢力的拉格朗日法對其系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模，假設(shè)主架體的角速度為w，總質(zhì)量為m，Jzx、Jzy、Jzz分別表示主架體繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量，系統(tǒng)的動能為Tz，勢能為Vz，則有：

結(jié)合拉格朗日方程可得主架體的完整動力學(xué)方程如下：

式中：q—主架體的廣義坐標(biāo)為qzj=（x，y，z，φ，θ，ψ），Qzj—主架體廣義坐標(biāo)所對應(yīng)的廣義力，矩陣M、C、G分別表示廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)、一階導(dǎo)、廣義坐標(biāo)的系數(shù)矩陣，矩陣中的元素的值可以根據(jù)拉格朗日方程解出。

4 滾動球式機(jī)器人動力學(xué)仿真與分析

為了驗(yàn)證滾動球式機(jī)器人動力學(xué)方程建立的是否準(zhǔn)確運(yùn)用MATLAB/SIMULINK軟件對滾動球式機(jī)器人的動力學(xué)方程進(jìn)行仿真分析。對于滾動球式機(jī)器人的運(yùn)動主要分為三種情況，分別是原點(diǎn)自轉(zhuǎn)運(yùn)動、沿平面直線運(yùn)動、沿平面曲線運(yùn)動。根據(jù)這三種運(yùn)動情況對所研究的滾動球式機(jī)器人進(jìn)行仿真分析。仿真分析的相關(guān)參數(shù)的設(shè)定如下：m=15kg，m0=4.056kg，R=0.15m。

（1）當(dāng)滾動球式機(jī)器人繞原點(diǎn)自轉(zhuǎn)運(yùn)動時，SIMULINK仿真結(jié)果，如圖4所示。對于球體有x0=y0=α=β=0，對于主架體有x=y=θ=φ＝0，x=y=θ=φ＝0，z=L+R而球體的γ角和主架體的ψ角應(yīng)該由零開始逐漸增大，大小相等，方向相反。根據(jù)圖4可知球體和主架體的運(yùn)動都符合實(shí)際運(yùn)動規(guī)律。

圖4 滾動球式機(jī)器人繞原點(diǎn)自轉(zhuǎn)運(yùn)動時仿真結(jié)果Fig.4 Simulation Results of Rolling Ball Robot with Rotation Around the Original Point

（2）當(dāng)滾動球式機(jī)器人沿y軸正方向直線運(yùn)動時，MATLAB/SIMULINK仿真結(jié)果，如圖5所示。對于球體有x0=β=γ=0，對于主架體有x=ψ=0，z=L+R，根據(jù)圖5可知主架體的仰俯角和傾斜角在運(yùn)動開始時出現(xiàn)突然增大后慢慢趨于零，主架體沿y軸運(yùn)動的距離起始出現(xiàn)小范圍的偏離原點(diǎn)后逐漸增大，對于球體其繞x軸的轉(zhuǎn)角及沿y軸運(yùn)動的距離都是逐漸增大，實(shí)際滾動球式機(jī)器人在剛開始運(yùn)動時會出現(xiàn)短時的抖動，但很快將趨于穩(wěn)定，仿真結(jié)果與機(jī)器人實(shí)際運(yùn)動基本相符。

圖5 滾動球式機(jī)器人沿y軸正方向運(yùn)動時仿真結(jié)果Fig.5 Simulation Results of Rolling Ball Robot Moving Along the Direction of Y Axis

（3）當(dāng)滾動球式機(jī)器人沿曲線運(yùn)動時，假設(shè)沿y=x2（x＞0）運(yùn)動，對于主架體有z=L+R，其MATLAB/SIMULINK仿真結(jié)果，如圖6所示。實(shí)際中滾動球式機(jī)器人主架體的仰俯角和傾斜角起始有微小波動后逐漸趨于零，主架的航向角與球體繞z軸轉(zhuǎn)動的角大小基本相等，方向相反且逐漸增大，球體繞x和y軸轉(zhuǎn)動的角都是逐漸的增大，對于球體和主架體運(yùn)動距離在x和y軸上的投影都基本相等且成逐漸增大的趨勢，從圖6的仿真結(jié)果圖可知球體和主架體的運(yùn)動基本符合實(shí)際的運(yùn)動趨勢。

圖6 滾動球式機(jī)器人沿曲線運(yùn)動時仿真結(jié)果Fig.6 Simulation Results of Rolling Ball Robot Along the Curve

5 結(jié)論

（1）通過對已有的“Rezero”機(jī)器人進(jìn)行系統(tǒng)的分析，設(shè)計(jì)出了一種滾動球式醫(yī)療服務(wù)型機(jī)器人，該機(jī)器人通過優(yōu)化制動裝置和增加失電保護(hù)裝置，有效的提高了機(jī)器人的安全性和穩(wěn)定性。（2）運(yùn)用拉格朗日-勞斯方程對滾動球式醫(yī)療服務(wù)型機(jī)器人動力學(xué)建模，通過引入拉格朗日乘子，減少了方程的求解難度，彌補(bǔ)了拉格朗日方程無法計(jì)算約束反力的缺點(diǎn)，解決了該機(jī)器人系統(tǒng)的非完整性問題。（3）通過運(yùn)用MATLAB/SIMULINK軟件對建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了所建立的動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，同時也為后續(xù)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了有力依據(jù)，具有較大的實(shí)際意義。