鄭 彬，張敬東

（攀枝花學院交通與汽車工程學院，四川 攀枝花 617000）

1 引言

立柱是數控銑床的重要支承部件之一，其結構性能對銑床的加工質量具有較大影響，主要包括抗振性、銑削精度和效率以及使用壽命等。因此，立柱的靜動態(tài)特性決定數控銑床整機性能的重要指標之一。為確保數控機床實現高速、高效和高精度的設計要求，立柱必須具備較好的力學性能，其結構設計是以提高抗振和減輕重量為目的的多目標優(yōu)化問題。

國內外很多學者都對立柱進行過相關的研究。文獻[1]通過模態(tài)分析找出某復合加工機床立柱的薄弱之處，通過對立柱尺寸參數進行靈敏度分析并建立神經網絡模型，使用遺傳算法對其進行優(yōu)化。文獻[2]基于中心復合試驗設計方法，建立了機床的最大變形、質量和一階固有頻率的響應面模型，采用非支配排序遺傳算法對響應面模型進行多目標優(yōu)化。文獻[3]以某落地鏜銑床立柱為研究對象，通過對其進行模態(tài)分析，得到立柱的振動特性，在不改變立柱主體結構的基礎上進行拓撲優(yōu)化，提高了立柱的第一階固有頻率。文獻[4]針對某臥式加工中心的立柱，對立柱筋板形式加以改進，以提高主機動態(tài)剛度并減輕立柱質量。文獻[5]針對某數控銑齒機床的立柱，通過采用不同的筋板厚度及布置方式，以減輕立柱重量為優(yōu)化目標，進行了優(yōu)化設計，最終使立柱減輕1.68t。以某數控銑床立柱為研究對象，借助于有限元分析軟件ANSYS對立柱進行靜動態(tài)特性分析，確定立柱薄弱環(huán)節(jié)。將立柱的第一階固有頻率、重量和最大變形定義為優(yōu)化目標，在靈敏度與響應面分析的基礎上，采用多目標優(yōu)化算法對立柱的各設計參數進行優(yōu)化，從而提高立柱靜動態(tài)特性，為機床結構優(yōu)化提供了一種新思路。

2 立柱靜動態(tài)特性分析

2.1 立柱幾何結構

立柱內部采用主筋、筋板和主筋板裙邊結構，底部左右兩側分別有4個M22的螺栓與床身相連接。立柱正面有若干型號不同的螺紋孔，以便于安裝和固定導軌、絲桿和絲桿螺母等部件，利用SolidWorks軟件建立的立柱三維模型，如圖1所示。

圖1 立柱三維模型Fig.1 Three Dimensional Model of Column

2.2 立柱靜力學分析

使用SolidWorks建立的立柱三維模型，包括了大量的螺紋孔、圓角和倒角等特征，但這些特征對立柱的靜動態(tài)特性影響較小，忽略這些局部特征后，再導入至ANSYS[6]。對立柱進行網格劃分時，采用四面體單元對立柱進行自由網格劃分。立柱所使用的材料是灰鑄鐵HT300，密度為7300kg/m3，彈性模量130GPa，泊松比0.25。立柱的載荷包括：立柱自重、頂部橫梁重量和主軸箱重量。立柱底部通過螺紋孔與床身相連接，將其設定為固定約束。最后進行有限元運算求解，其靜力學分析結果，如圖2所示。

圖2 立柱靜力學分析結果Fig.2 Static Analysis Results of Column

由圖2可知立柱的最大變形量為33.66μm，最大應力值為7.65MPa。立柱最大變形主要集中在立柱頂部與橫梁相連接的部位，應力主要集中在底部支撐面和導軌安裝面，并且立柱變形較大，對立柱優(yōu)化時，需減少立柱的靜態(tài)變形量。

2.3 立柱模態(tài)分析

使用ANSYS對立柱進行模態(tài)分析時，采用Block Lanczos（分塊蘭索斯）方法。立柱模態(tài)分析的約束條件和靜力學分析時的約束條件一致，即將立柱底部螺紋孔設定為固定約束[7]。對其進行模態(tài)分析，提取立柱前六階模態(tài)，其振型和各階固有頻率見，如表1所示。根據立柱的振型圖和模態(tài)分析結果可知：立柱中間部位與外圍圓周面是剛度較弱區(qū)域，多階振型均在這些地方表現出最大振型。立柱的第一階固有頻率較低，因此需對立柱結構進行優(yōu)化，以提高其固有頻率改善其動態(tài)特性。

表1 立柱前6階固有頻率及振型描述Tab.1 First Six Order Natural Frequencies and Vibration Description of Column

3 立柱響應面建模

響應面設計方法是優(yōu)化產品或工藝設計的一種方法，由文獻[8-9]提出。其思想為：在確定輸入輸出變量的基礎上，基于數學多項式作為基函數采用最小二乘回歸法來得到輸入變量和輸出變量的映像關系，具有較好的可導性和良好的連續(xù)性，易尋優(yōu)并且可采用常規(guī)數學優(yōu)化方法進行求解。為構造立柱響應面模型，首先確定立柱的設計參數和輸出參數，選擇合理的試驗設計方法，進行試驗設計和靈敏度分析，從而構造出立柱的響應面模型[10]。

3.1 確定立柱設計參數

立柱主要由支撐主筋和厚度不等的主筋板和主筋板裙邊組成，包括的尺寸參數較多，內部肋板結構復雜。結合機床設計人員建議，選取下述5個尺寸參數作為設計參數，如圖3所示。其初始值，如表2所示。在不改變立柱原結構的基礎上，基于機床設計指標，將上述設計參數的變化范圍約定，如表2所示。

圖3 立柱設計參數圖Fig.3 Graphic of Column Design Parameters

表2 立柱設計參數（單位：mm）Tab.2 Design Parameters of Column（unit：mm）

3.2 DOE試驗設計

對立柱的5個設計參數進行試驗設計時，采用Box-Behnken試驗設計方法，共有5個設計參數，因此樣本點總數為41個。對立柱在初始設計條件下進行靜力學分析和模態(tài)分析，將立柱的重量y1、靜態(tài)最大變形量y2和第一階固有頻率y3定義為輸出參數。進行試驗設計后，需確定各設計變量對輸出參數的影響程度，進而確定優(yōu)化參數。采用靈敏度分析，可以確定各設計參數對輸出參數的影響程度，從而選出靈敏度高的設計參數，忽略靈敏低的設計參數，提高分析效率，減少計算時間。將上述五個設計參數對立柱重量、最大變形和第一階固有頻率進行靈敏度分析，其分析結果，如圖4所示。

圖4 立柱重量、最大變形和第一階固有頻率靈敏度圖Fig.4 Sensitivity Graphic of Mass and Maximum Deformation and First Natural Frequency of Column

在圖4中，當靈敏度為正值時，表示隨著設計參數的增加，輸出參數將增加；當靈敏度為負值時，表示隨著設計參數的增加，輸出參數將減小。由圖4可知各設計參數對立柱的重量、最大變形和第一階固有頻率均具有較大影響，參數合適，不需要忽略任何參數。因此將上述五個設計參數均作為優(yōu)化參數進行尺寸優(yōu)化。

3.3 立柱響應面模型分析

考慮到共有五個設計參數，在建立響應面模型時，直接采用二次響應面模型，并考慮所有的二次項、一次項和各因素之間的交互作用[11]。在二次回歸分析中采用后退法忽略影響不顯著的設計參數和交互作用進行刪除。所建立的二次響應面模型如式（1）、式（2）和式（3）所示。其中式（1）為設計參數與立柱重量的響應面模型；式（2）為設計參數與立柱最大變形的響應面模型；式（3）為設計參數與立柱第一階固有頻率的響應面模型。

構建響應面模型后，即可進行響應面分析，所建立的響應曲面如圖5所示。其中，設計參數x2和x5對重量的響應曲面，如圖5（a）所示。設計參數x1和x4對最大變形的響應曲面，如圖5（b）所示。設計參數x3和x4對第一階固有頻率的響應曲面，如圖5（c）所示。由圖5可知，對立柱進行優(yōu)化，需綜合考慮各設計參數對立柱性能的影響程度，使立柱性能達到最佳。

圖5 立柱重量、最大變形和第一階固有頻率響應曲面Fig.5 Response Surface of Mass and Maximum Deformation and First Natural Frequency of Column

4 立柱優(yōu)化設計

4.1 立柱多目標優(yōu)化設計數學模型

當前，用于結構優(yōu)化設計的主要方法是數學規(guī)劃求解法。針對立柱優(yōu)化問題，可采用下式表示：

求設計變量：

式中：x—設計變量；i—設計變量個數；min—求最小值；s.t.—subjectto的縮寫，即約束于；f（x）—目標函數；x—設計變量下限；—設計變量上限。

其中，

X=［x1，x2，x3，x4，x5］T為立柱五個設計參數，其含義見表3。

fm（xi）=y1指對五個設計參數進行優(yōu)化求解，使立柱重量最小化。

fd（xi）=y2指對五個設計參數進行優(yōu)化求解，使立柱最大變形量最小化。

ff（xi）=y3指對五個設計參數進行優(yōu)化求解，使立柱第一階固有頻率最大化。

4.2 基于遺傳算法的多目標優(yōu)化

以立柱重量最小化、最大變形量最小化和第一階固有頻率最大化為優(yōu)化目標，采用多目標遺傳算法進行求解。通過多目標遺傳算法與帕累托法則進行計算后，獲取一系列優(yōu)化候選點，如表3所示。

表3 五組最佳候選點Tab.3 Five Best Candidates

由表3可知：第2組優(yōu)化候選點在重量上大幅減小，第一階固有頻率明顯提高，靜態(tài)變形量也適當減小。故綜合考慮，選擇第2組優(yōu)化候選點為最優(yōu)設計點。最終的優(yōu)化結果如下：對立柱結構進行優(yōu)化后，重量從最初的545.61kg減少至490.95kg，減幅11.1%。優(yōu)化后立柱最大變形為31.61μm，原立柱最大變形為33.66μm，經優(yōu)化后立柱最大變形量減幅6.5%。優(yōu)化后立柱第一階固有頻率分別為86.38Hz，而原結構分別為75.77Hz，優(yōu)化后立柱第一階固有頻率增加了14%。

5 結論

（1）以某數控銑床立柱為研究對象，進行靜力學與模態(tài)分析，得到立柱的最大變形云圖、應力云圖及前六階固有頻率及振型，找出立柱的薄弱環(huán)節(jié)，為立柱結構優(yōu)化提供依據。

（2）對立柱主筋半徑、筋板厚度和壁厚等進行Box-Behnken試驗設計與靈敏度分析，研究了各設計參數對立柱重量、最大變形和第一階固有頻率的影響程度，并建立其響應面模型。

（3）以降低立柱最大變形、減重和提高第一階固有頻率為優(yōu)化目標，采用多目標優(yōu)化算法對立柱設計參數進行優(yōu)化并得到最優(yōu)解。結合機床生產工藝及制造條件選擇一組最優(yōu)解，優(yōu)化效果明顯。為機床的功能部件或整機優(yōu)化提供了一個參考方案。