孟世明，管華棟，王觀石

(江西理工大學(xué)建筑與測繪工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 巖石黏性系數(shù)測試的意義與現(xiàn)狀

巖石的黏性系數(shù)反映了在一定載荷下，巖石變形與時(shí)間相關(guān)的特性，是表征巖石黏彈性質(zhì)的重要參數(shù)之一[1-2]。進(jìn)行自然界的地震分析和工程中的爆炸應(yīng)力波傳播規(guī)律研究時(shí)，都需要借助巖石的黏彈性本構(gòu)模型，而巖石的黏性系數(shù)的取值是否合理，直接影響計(jì)算分析的正確性。因此，巖石黏性系數(shù)的準(zhǔn)確獲取和深入分析有助于巖石黏彈性模型研究，進(jìn)而更好地開展巖石動(dòng)力學(xué)特性研究，為地下深部巖土工程的設(shè)計(jì)和施工提供參考。

目前，巖石黏性系數(shù)測試主要有懸臂梁彎曲共振法[3-4]和動(dòng)態(tài)機(jī)械分析法[5]。鄧科濤等[6]基于黏彈性材料在變形過程中有能量損耗的性質(zhì)，采用加載周期三角波的方法建立了室內(nèi)Maxwell模型的黏性系數(shù)測試方法；李魁彬等[7]基于材料參數(shù)與梁應(yīng)變響應(yīng)周期及振幅衰減的關(guān)系，提出了室內(nèi)Kelvin模型的黏性系數(shù)測試方法。這些室內(nèi)測試方法，由于條件所限，不利于推廣，更無法實(shí)現(xiàn)現(xiàn)場原位測試。巖石具有黏彈性，應(yīng)力波在巖石中傳播會(huì)出現(xiàn)振幅衰減的現(xiàn)象[8-9]；王觀石等[10]基于應(yīng)力波衰減規(guī)律，通過計(jì)算振幅的衰減系數(shù)，獲得了巖體的黏性系數(shù)，實(shí)現(xiàn)了巖體黏性系數(shù)的應(yīng)力波原位測試。但應(yīng)力波測試方法無法固定應(yīng)力波的頻率，因而很難進(jìn)行黏性系數(shù)隨頻率變化的研究。此外，現(xiàn)有研究成果中很少涉及到黏性系數(shù)對巖石密度、波速、彈性模量的相關(guān)性研究。

超聲波激發(fā)的頻率可控，便于重復(fù)試驗(yàn)，測試簡單方便，既適用于室內(nèi)測試，又適用于原位測試。為此，本文基于超聲波在Kelvin-Voigt黏彈體的衰減規(guī)律，提出了由超聲波幅值衰減規(guī)律來獲取黏性系數(shù)的超聲測試方法，開展了巖石黏性系數(shù)對密度、波速、彈性模量的相關(guān)性分析，并進(jìn)行了巖石黏性系數(shù)隨發(fā)射波頻率的變化規(guī)律研究，研究成果可以為巖體力學(xué)參數(shù)測試和巖體動(dòng)力學(xué)特性研究提供參考。

2 基于Kelvin-Voigt黏彈性體的巖石超聲波衰減模型

巖石實(shí)際是一種黏彈性介質(zhì)，通?？梢杂肒elvin-Voigt模型描述其本構(gòu)關(guān)系。因此把巖石抽象為各向同性的Kelvin-Voigt黏彈性體，假設(shè)巖石中超聲波沿X軸方向傳播，其一維波動(dòng)方程見式(1)。

(1)

式中：u為巖石X軸方向的位移，m；t為時(shí)間，s；ρ為巖石密度，kg/m3；E為巖石彈性模量，GPa；η為巖石黏性系數(shù)，MPa·s。

若考慮超聲波隨空間衰減，則可假設(shè)任意t時(shí)刻的波形曲線，計(jì)算見式(2)。

u(x,t)=A0e-αxsin(ωt-kx)

(2)

式中：A0為初始振幅，m；α為衰減系數(shù)，m-1；ω為超聲波發(fā)射頻率，kHz；k為巖石中超聲波的響應(yīng)波數(shù)，m-1。

把式(2)代入式(1)可得式(3)。

(2ωηαk+Ek2-Eα2-ρω2)sin(ωt-kx)=

(ωηα2+2Eαk-ωηk2)cos(ωt-kx)

(3)

要使式(3)成立，只需滿足正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的系數(shù)為0，具體計(jì)算見式(4)。

(4)

解式(4)的二元二次方程組，并注意衰減系數(shù)α和波數(shù)k大于0，具體計(jì)算見式(5)。

(5)

進(jìn)行巖石超聲波測試后，可以提取超聲波發(fā)射波的最大電壓輻值和接收波的最大電壓幅值，不同發(fā)射波頻率下的衰減系數(shù)計(jì)算見式(6)。

(6)

式中：A1為超聲波在巖樣發(fā)射端的最大電壓幅值，V；A2為超聲波在巖樣透射端的最大電壓幅值，V；l為巖樣試件的長度，m。

聯(lián)立式(5)和式(6)，可得Kelvin-Voigt黏彈性體的黏性系數(shù)，計(jì)算見式(7)。

(7)

因此，通過巖石超聲波試驗(yàn)，得到不同發(fā)射波頻率下的發(fā)射波和接收波最大幅值，再把巖石的長度、密度以及彈性模量代入式(7)即可求得基于Kelvin-Voigt黏彈性體的巖石黏性系數(shù)。

3 巖石超聲波試驗(yàn)

巖石超聲波測試采用的測試系統(tǒng)包括：固緯AFG-3000任意波形信號(hào)發(fā)生器、固緯GDS-2000A數(shù)字存儲(chǔ)示波器、HA-405高壓放大器、汕頭超聲生產(chǎn)的50K-P40F聲波換能器，以及高靈敏度聲波信號(hào)接收器和穩(wěn)壓電源。通過波形信號(hào)發(fā)生器改變超聲波發(fā)射頻率，分別進(jìn)行20 kHz、25 kHz、30 kHz、35 kHz、40 kHz、45 kHz、50 kHz的巖樣超聲波波形測試，保存并導(dǎo)出波形數(shù)據(jù)。

試驗(yàn)選用的3個(gè)巖樣均取自福建省某礦山，巖樣物理力學(xué)參數(shù)見表1，其中巖樣的彈性模量是在超聲波測試完成后由單軸壓縮試驗(yàn)測得。3個(gè)巖樣的密度、橫波波速和彈性模量都是遞增的，縱橫波波速比是遞減的，而縱波波速的變化沒有規(guī)律。

4 巖石黏性系數(shù)測試結(jié)果及敏感性分析

3個(gè)巖樣在20 kHz和50 kHz頻率下的超聲波發(fā)射波和接收波波形如圖1所示。3個(gè)巖樣的發(fā)射波波形幾乎相同，接收波受巖樣密度、彈性模量和黏性系數(shù)等參數(shù)影響，波形差異明顯。發(fā)射波頻率為20 kHz時(shí)，3個(gè)巖樣接收波的最大幅值分別為0.43 V、0.38 V和0.35 V；發(fā)射波頻率為50 kHz時(shí)，3個(gè)巖樣接收波的最大幅值分別為0.24 V、0.16 V和0.2 V。同一個(gè)巖樣的接收波隨發(fā)射波頻率增加而大幅度衰減，符合應(yīng)力波在巖石中頻率越高衰減越快的傳播規(guī)律。

表1 巖樣參數(shù)

圖1 3個(gè)巖樣在不同頻率下的超聲波波形

Fig.1 Ultrasound waveform of three rock specimens at different frequencies

根據(jù)超聲波測試記錄的波形數(shù)據(jù)，提取發(fā)射波的最大電壓輻值和透射波的最大電壓幅值，再利用式(7)計(jì)算不同發(fā)射波頻率下的黏性系數(shù)，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 不同發(fā)射波頻率下的黏性系數(shù)

1) 巖樣黏性系數(shù)與密度、波速及彈性模量的相關(guān)性分析。表2中，同一個(gè)發(fā)射波頻率下(除45 kHz外)，巖樣2-2的黏性系數(shù)最小，巖樣6-2次之，巖樣10-2最大，這與巖樣密度、橫波波速、彈性模量的大小排序相同，而與巖樣縱橫波波速比的大小排序相反；3個(gè)巖樣的縱波波速變化沒有規(guī)律，因此不進(jìn)行黏性系數(shù)與縱波波速之間的變化分析。分別計(jì)算3個(gè)巖樣從發(fā)射波頻率為20 kHz到50 kHz的黏性系數(shù)減小率，巖樣2-2為64.2%，巖樣6-2為66.7%，巖樣10-2為69.8%，巖樣黏性系數(shù)的減小率與巖樣密度、橫波波速、彈性模量的大小排序相同，與巖樣縱橫波波速比的大小排序相反，即呈現(xiàn)與黏性系數(shù)相似的規(guī)律。

為了更好地分析巖樣黏性系數(shù)與密度、波速及彈性模量的相關(guān)性，引入相關(guān)系數(shù)，計(jì)算見式(8)。相關(guān)系數(shù)為正，表示兩個(gè)參數(shù)為正相關(guān)，反之則為負(fù)相關(guān)；相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，說明兩個(gè)參數(shù)相關(guān)性越強(qiáng)，對其變化也越敏感。

(8)

利用式(8)分別計(jì)算不同發(fā)射波頻率下巖樣的黏性系數(shù)與其密度、波速、彈性模量的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見表3。

由表3可知，不同發(fā)射波頻率下巖樣的黏性系數(shù)與彈性模量的相關(guān)系數(shù)最大，為0.985～1，屬于正相關(guān)；不同發(fā)射波頻率下巖樣的黏性系數(shù)與縱橫波速比的相關(guān)系數(shù)次之，為-0.818～-0.927，屬于負(fù)相關(guān)；不同發(fā)射波頻率下巖樣的黏性系數(shù)與密度和橫波波速的相關(guān)系數(shù)較為接近，都為正相關(guān)；不同發(fā)射波頻率下巖樣的黏性系數(shù)與縱波波速的相關(guān)系數(shù)最小，為-0.215～0.012，除發(fā)射波頻率20 kHz外都表現(xiàn)為負(fù)相關(guān)；因此，綜合分析表明：同一發(fā)射波頻率下，巖樣的黏性系數(shù)對彈性模量的變化最為敏感，而對縱波波速的變化最不敏感，可以用彈性模量的變化來估算黏性系數(shù)的變化。

此外，分別計(jì)算巖樣從發(fā)射波頻率為20 kHz到50 kHz的黏性系數(shù)減小率與各參數(shù)的相關(guān)性系數(shù)，發(fā)現(xiàn)：黏性系數(shù)隨頻率的減小率與縱橫波速比的相關(guān)系數(shù)最大， 相關(guān)系數(shù)為-0.996，屬于負(fù)相關(guān)；其次是彈性模量， 其相關(guān)系數(shù)為0.940， 屬于正相關(guān)； 最小為縱波波速， 其相關(guān)系數(shù)為0.300，也屬于正相關(guān)。

表3 不同發(fā)射波頻率下巖樣的黏性系數(shù)與各參數(shù)的相關(guān)性分析

2) 巖樣黏性系數(shù)擬合參數(shù)與密度、波速及彈性模量的相關(guān)性分析。不同發(fā)射波頻率之間相互比較，發(fā)射波頻率為20 kHz時(shí)巖樣的黏性系數(shù)最大，發(fā)射波頻率為50 kHz時(shí)巖樣黏性系數(shù)最小，即巖樣的黏性系數(shù)與發(fā)射波頻率呈負(fù)相關(guān)。分別繪制不同巖樣黏性系數(shù)隨超聲波發(fā)射頻率變化的散點(diǎn)圖，并用負(fù)指數(shù)擬合，如圖2～4所示。

由圖2～4可知，可以把3個(gè)巖樣的擬合公式可以統(tǒng)一為式(9)。

η=C1e-C2ω

(9)

式中：C1為擬合參數(shù)，kPa·s；C2為擬合參數(shù)，μs。

利用式(8)分別計(jì)算3個(gè)巖樣的擬合參數(shù)與其密度、縱橫波波速、彈性模量的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見表4。

由表4可知，巖樣黏性系數(shù)的擬合參數(shù)C1與彈性模量相關(guān)系數(shù)最大，為0.995，屬于正相關(guān)；C1與縱橫波速比的相關(guān)系數(shù)次之，為-0.942，屬于負(fù)相關(guān)；C1與縱波波速的相關(guān)系數(shù)最小，為0.053；擬合參數(shù)C1對彈性模量的變化最為敏感，而對縱波波速的變化最不敏感，可以用彈性模量的變化來估算C1。巖樣黏性系數(shù)的擬合參數(shù)C2與縱橫波波速比的相關(guān)系數(shù)最大，為-0.996，屬于負(fù)相關(guān)；C2與橫波波速和密度的相關(guān)系數(shù)較為接近， 都大于C2與彈性模量的相關(guān)系數(shù)， 都屬于正相關(guān)；C2與縱波波速的相關(guān)性最小，為0.463；擬合參數(shù)C2對縱橫波波速比的變化最為敏感，而對縱波波速的變化最不敏感，可以用縱橫波波速比的變化來估算C2。

圖2 巖樣2-2不同發(fā)射波頻率下的黏性系數(shù)

Fig.2 Viscous coefficient of rock specimen 2-2 at different incident wave frequencies

圖3 巖樣6-2不同發(fā)射波頻率下的黏性系數(shù)

Fig.3 Viscous coefficient of rock specimen 6-2 at different incident wave frequencies

圖4 巖樣10-2不同發(fā)射波頻率下的黏性系數(shù)

Fig.4 Viscous coefficient of rock specimen 10-2 at different incident wave frequencies

表4 巖樣黏性系數(shù)的擬合參數(shù)的相關(guān)性分析

5 結(jié) 論

1) 本文推導(dǎo)了Kelvin-Voigt黏彈性體的黏性系數(shù)計(jì)算公式見，從而可通過密度、彈性模量、頻率以及超聲波發(fā)射波、接收波幅值確定巖石的黏性系數(shù)。

2) 通過巖石超聲波試驗(yàn)，獲得了7種發(fā)射波頻率下的巖石黏性系數(shù)，巖石黏性系數(shù)是非定常的，會(huì)隨發(fā)射波頻率的變化而變化。

3) 巖石黏性系數(shù)與其密度、縱橫波波速、彈性模量呈正相關(guān)，與其波速比呈負(fù)相關(guān)，巖石黏性系數(shù)對彈性模量的變化最為敏感，而對縱波波速的變化最不敏感，可以用彈性模量的變化來估算黏性系數(shù)。

4) 巖石黏性系數(shù)與發(fā)射波頻率近似呈負(fù)指數(shù)函數(shù)關(guān)系，擬合關(guān)系式可以統(tǒng)一用式(9)表示，擬合參數(shù)C1對彈性模量的變化最為敏感，而對縱波波速的變化最不敏感，擬合參數(shù)C2對縱橫波波速比的變化最為敏感，而對縱波波速的變化最不敏感。

致謝衷心感謝國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(編號(hào)：41462009)和江西理工大學(xué)人才培養(yǎng)項(xiàng)目(編號(hào)：3401223395)對本文試驗(yàn)的資助，特別感謝同行專家孫利輝副教授對本文公式的運(yùn)算過程和運(yùn)算結(jié)果所做的審查糾正工作。