陳 科，於孝朋，鄭紅梅，王海朔，張國軍，吳 睿

(合肥工業(yè)大學 機械工程學院，合肥 230009)

1 引 言

車輛懸架控制臂液壓襯套主要用于控制臂的減振，對橡膠襯套進行封裝液體處理，可變?yōu)橐簤阂r套，其結(jié)構(gòu)和原理類似發(fā)動機的液壓懸置[1-3]。傳統(tǒng)的懸架控制臂減振中，常用橡膠襯套；然而，對于低頻大振幅的振動，需要大阻尼進行減振，橡膠襯套難以滿足要求。因此，液壓襯套在懸架控制臂上的應(yīng)用越來越多。文獻[4]開發(fā)了一種帶有磁鐵和線圈的液壓襯套模型，可以實現(xiàn)半主動控制，其借鑒了液壓減振器與磁鐵和線圈結(jié)合形成磁流變減振器的方法。文獻[5]設(shè)計了液壓襯套的防漏裝置。文獻[6]通過理論和實驗方法對液壓襯套的瞬態(tài)響應(yīng)進行了研究，理論模型獲得的瞬態(tài)響應(yīng)曲線與實驗曲線基本吻合，驗證了理論模型的正確性。文獻[7]分別對軸向外部載荷和徑向外部載荷作用的液壓襯套動態(tài)性能進行了集總參數(shù)模型的數(shù)學建模，并利用實驗驗證了模型的正確性。文獻[8,9]設(shè)計了一種具有長短通道的雙通道液壓襯套，分別對其時域響應(yīng)和頻域響應(yīng)進行了研究。文獻[10]對不同路面的行駛舒適度和液壓襯套的相關(guān)性進行了分析。文獻[11,12]建立了非線性狀態(tài)下的液壓襯套動態(tài)響應(yīng)數(shù)學模型，并研究了其動態(tài)響應(yīng)變化規(guī)律。文獻[13]通過實驗結(jié)果對非線性狀態(tài)下的動態(tài)響應(yīng)數(shù)學模型進行了驗證?；谝簤阂r套的非線性狀態(tài)研究成果，文獻[14]開發(fā)出一種正弦外載和瞬態(tài)外載共同作用下的非線性數(shù)學模型。文獻[15]對設(shè)計參數(shù)和滯后角損耗之間的關(guān)系進行了數(shù)學建模，并通過實驗數(shù)據(jù)對理論模型進行了驗證。

上述研究中，沒有對動剛度的上界限和下界限變化曲線進行研究；且將流體慣性系數(shù)和流量阻尼系數(shù)作為確定量，獲得的動剛度結(jié)果與工程實際有一定差異。為了全面和客觀地描述動剛度，本文引入?yún)^(qū)間不確定性理論。流體慣性系數(shù)和流量阻尼系數(shù)與液壓襯套的慣性通道結(jié)構(gòu)、慣性通道材料性能和流體性能等諸多因素相關(guān)，非常復(fù)雜。因此，本文將流體慣性系數(shù)和流量阻尼系數(shù)定義為區(qū)間變量以獲得區(qū)間動剛度模型，使用子區(qū)間組合法對區(qū)間動剛度進行優(yōu)化。

2 基礎(chǔ)理論

2.1 區(qū)間不確定性理論

本文的基礎(chǔ)理論包括區(qū)間數(shù)學和液壓襯套傳統(tǒng)動剛度模型。對于一些信息缺乏程度高的參量，可以將其作為區(qū)間變量處理。運用區(qū)間數(shù)學理論(即區(qū)間不確定性理論)對含有區(qū)間變量的函數(shù)或者方程組進行運算，可以為工程實踐提供良好的指導。根據(jù)文獻[16,17]，可以給出表達式(1～3)。

A為區(qū)間數(shù)，定義為

(1)

區(qū)間數(shù)A的中點和寬度為

(2)

式中m表示區(qū)間數(shù)A的中點，w表示區(qū)間數(shù)A的寬度。

區(qū)間數(shù)A可以用中點和寬度來表示為

A=[m(A)-w(A)/2,m(A)+w(A)/2]=

[m(A);rad(A)]

(3)

式中 rad(A)=w(A)/2，表示區(qū)間半徑。

文獻[16,17]對區(qū)間數(shù)的算術(shù)運算、邏輯運算、數(shù)乘運算、指數(shù)運算、對數(shù)運算和冪運算等進行了詳細論述。區(qū)間數(shù)間的運算滿足加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律、加法交換律和乘法交換律。但是，兩個區(qū)間運算不一定滿足分配律；而且，相同區(qū)間數(shù)相減不一定等于零區(qū)間。區(qū)間函數(shù)和區(qū)間方程組運算可能會出現(xiàn)區(qū)間擴張，原因為參數(shù)多次參與運算。目前，區(qū)間擴張的解決方法主要有運算順序處理法、截斷處理法、子區(qū)間攝動處理法和子區(qū)間組合處理法等。尤其，當涉及到非線性區(qū)間方程組時，區(qū)間擴張的處理將相當復(fù)雜。

2.2 液壓襯套傳統(tǒng)動剛度模型

車輛懸架控制臂液壓襯套用于控制臂減振，液腔間的壓力差產(chǎn)生阻尼力，對流經(jīng)慣性通道的流體做功從而削減振動。液壓襯套主要由外管、內(nèi)管、金屬骨架、限位塊、橡膠主簧和液腔等組成，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖2為懸架控制臂液壓襯套的簡化物理模型，液腔簡化為彈簧阻尼系統(tǒng)，橡膠主簧也簡化為彈簧阻尼系統(tǒng)。圖2中，P1和P2表示液腔壓力，S表示等效活塞面積，k1和c1表示橡膠主簧的剛度和阻尼，k2和c2表示上端液腔的剛度和阻尼，k3和c3表示下端液腔的剛度和阻尼，xs表示等效活塞位移，x(t)表示金屬內(nèi)管位移，F(xiàn)(t)表示金屬內(nèi)管受載。

文獻[19]給出了單慣性通道液壓襯套徑向受載動剛度的詳細建模過程，所建模型為表達式(4，5)。懸架控制臂液壓襯套理論研究一般忽略流經(jīng)慣性通道流體的非線性狀態(tài)。

圖1 液壓襯套結(jié)構(gòu)[18]

Fig.1 Structure of hydraulic bushing

(4)

式中Ka為懸架控制臂液壓襯套的存儲動剛度，Kb為懸架控制臂液壓襯套的損失動剛度，ω為液壓襯套振動圓頻率，S為封閉液室的等效活塞面積，ke為兩個封閉液室的等效體積剛度系數(shù)，ce為兩個封閉液室的等效體積阻尼系數(shù)，i為流經(jīng)液壓襯套慣性通道的流體慣性系數(shù)，r為流體線性流動的流量阻尼系數(shù)。

懸架控制臂液壓襯套的動剛度為

(5)

式中Kd為液壓襯套的動剛度。

液壓襯套傳統(tǒng)動剛度模型僅將流體慣性系數(shù)和流量阻尼系數(shù)兩個輸入變量作為確定量。然而，流體慣性系數(shù)和流量阻尼系數(shù)與液壓襯套的慣性通道結(jié)構(gòu)、慣性通道材料性能和流體性能等諸多因素相關(guān)，非常復(fù)雜；且獲取這兩個變量數(shù)值的信息相當缺乏。僅將兩個變量作為確定量，會使得獲得的輸出量(即動剛度)與工程實際差異較大。因此，需要采用區(qū)間變量來描述流體慣性系數(shù)和流量阻尼系數(shù)，通過建立區(qū)間模型來獲得區(qū)間動剛度，實際動剛度值將處于區(qū)間動剛度內(nèi)。

3 液壓襯套區(qū)間動剛度模型

3.1 無精度要求時的區(qū)間動剛度模型

一般通過工程經(jīng)驗或者實驗來辨識流體慣性系數(shù)i和線性流動流量阻尼系數(shù)r的數(shù)值。其中存在諸多難以控制的誤差因素，難以保證精確度。獲取關(guān)于這兩個系數(shù)數(shù)值的精確信息量相當缺乏，如是否為隨機變量及能否獲知概率分布；所以，采用區(qū)間變量來描述較好。

圖2 液壓襯套物理模型[19]

Fig.2 Physical model of hydraulic bushing

本文將流體慣性系數(shù)i和線性流動流量阻尼系數(shù)r作為區(qū)間變量，運用區(qū)間不確定性理論來建立懸架液壓襯套動剛度的區(qū)間數(shù)學模型。

為了便于運算，用h1，h2，h3，h4，h5和h6替換Ka和Kb的部分表達式：

h3=i2ceω4，h4=cer(ce+r)ω2

(6)

用f1，f2，f3和f4替換Ka和Kb的部分表達式得

f1=h1-h2,f2=h3+h4+h5

f3=f1/h6,f4=f2/h6

(7)

式(4)的Ka和Kb可以改為

Ka=k1+S2ω2f3,Kb=c1ω+S2ωf4

(8)

對于區(qū)間數(shù)A和B，相互間的算術(shù)運算為[16,17]

(9)

區(qū)間變量iI和rI的表達式為

(10)

根據(jù)式(9)，區(qū)間變量h1I的運算過程為

(11)

(12)

同理，根據(jù)區(qū)間數(shù)算術(shù)運算式(9)，h2I，h3I，h4I，h5I，h6I，f1I，f2I，f3I和f4I的表達式為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

因此，KaI和KbI的表達式為

(22)

懸架控制臂液壓襯套的區(qū)間變量動剛度Kd I為

(23)

區(qū)間動剛度Kd I的中點處動剛度為

(24)

3.2 一定精度要求下的區(qū)間動剛度優(yōu)化模型

區(qū)間計算常會導致區(qū)間擴張，區(qū)間擴張對區(qū)間動剛度的運算會產(chǎn)生不良影響，區(qū)間精度可以用來描述區(qū)間擴張。為了獲得滿足區(qū)間精度要求下的區(qū)間動剛度，采用文獻[17]的子區(qū)間組合法來進行研究。區(qū)間變量iI和rI分割為多個子區(qū)間，可以獲得一定精度要求下的區(qū)間動剛度Kd I。

區(qū)間變量流體慣性系數(shù)iI的子區(qū)間為

?

(1≤n≤N)(25)

式中iIn表示區(qū)間變量iI劃分的子區(qū)間名稱，如iI 1表示第一個子區(qū)間；w(iI)表示區(qū)間變量iI的區(qū)間寬度，N表示區(qū)間變量iI劃分的子區(qū)間數(shù)目。

區(qū)間變量線性流動流量阻尼系數(shù)rI的子區(qū)間為

?

(1≤n≤N)(26)

式中rIn表示區(qū)間變量rI劃分的子區(qū)間名稱，如rI 1表示第一個子區(qū)間；w(rI)表示區(qū)間變量rI的區(qū)間寬度，N表示區(qū)間變量rI劃分的子區(qū)間數(shù)目。

經(jīng)過子區(qū)間組合法的處理，懸架控制臂液壓襯套的區(qū)間變量動剛度Kd I的精確表達式為

Kd I(iI,rI)=Kd I1(iI1,rI 1)∪Kd I2(iI 2,rI 2)∪

Kd I 3(iI 3,rI 3)…∪Kd I n(iI n,rI n)

(27)

式中Kd I(iI,rI)表示區(qū)間變量iI和rI為區(qū)間自變量，Kd I為區(qū)間函數(shù)；Kd I n(iI n,rI n)表示區(qū)間變量iI n和rI n為區(qū)間自變量，Kd I n為區(qū)間函數(shù)。動剛度子區(qū)間Kd I n(iI n,rI n)可以通過第3.1節(jié)的模型計算。

根據(jù)文獻[17]對區(qū)間精度的定義和證明，懸架控制臂液壓襯套的區(qū)間動剛度Kd I區(qū)間精度表達式為

(28)

式中w(Kd I)表示區(qū)間變量Kd I的寬度；N表示區(qū)間變量iI和rI劃分的子區(qū)間數(shù)目；w(Kd I)|N表示當區(qū)間變量iI和rI劃分的子區(qū)間數(shù)目為N時，區(qū)間變量Kd I的寬度。

4 區(qū)間動剛度模型的驗證

4.1 基于實驗結(jié)果的區(qū)間動剛度模型驗證

文獻[19]進行了動態(tài)剛度實驗，如圖3所示,實驗設(shè)備為電液振動實驗臺，型號為MTS831，激勵的振動幅度為0.1 mm。圖4為實驗結(jié)果，可以用來驗證區(qū)間動剛度模型。車輛懸架控制臂液壓襯套數(shù)學模型的算例變量和數(shù)值列入表1[19]。

圖3 動剛度實驗[19]

Fig.3 Dynamic stiffness experiment

圖4 動剛度隨頻率變化[19]

Fig.4 Variation of dynamic stiffness with vibration frequency

根據(jù)建立的區(qū)間動剛度數(shù)學模型，對表1算例進行運算；頻率的變化范圍為0 Hz～40 Hz，在Matlab軟件中編制程序進行運算，可以獲得區(qū)間中點的動剛度隨振動頻率變化規(guī)律，如圖5所示。區(qū)間中點動剛度見式(24)，來源于區(qū)間動剛度模型；因此，當區(qū)間中點動剛度變化曲線正確時，則區(qū)間動剛度模型的推導過程正確。

為了便于比較，將圖4和圖5的曲線合并到 圖6?？梢钥闯觯瑓^(qū)間中點的動剛度曲線非常接近實驗曲線。因此，區(qū)間中點動剛度是正確的。區(qū)間中點動剛度來自區(qū)間動剛度模型，故可以確定區(qū)間動剛度模型的推導過程是正確的。

4.2 區(qū)間動剛度模型的意義

(1) 不考慮區(qū)間精度時的區(qū)間動剛度曲線

根據(jù)未考慮精度的區(qū)間動剛度模型，在Matlab中編制程序，可以獲得表2結(jié)果，即不同頻率下的區(qū)間動剛度Kd I和區(qū)間動剛度寬度w(Kd I)值。根據(jù)傳統(tǒng)動剛度模型和表2，可以獲得圖7結(jié)果。

表1 算例變量和數(shù)值

Tab.1 Variables and values of example

變量 數(shù)值流體慣性系數(shù)名義值E(i)/N·s2·m-51.33×104流體慣性系數(shù)下界i0.95E(i)流體慣性系數(shù)上界i1.05E(i)流量阻尼系數(shù)名義值E(r)/N·s·m-52.46×106流量阻尼系數(shù)下界r0.95E(r)流量阻尼系數(shù)上界r1.05E(r)橡膠主簧剛度k1/N·m-15×105橡膠主簧阻尼c1/N·s·m-1100液腔等效體積剛度ke/N·m-54.8×108液腔等效體積阻尼ce/N·s·m-52.77×105等效活塞面積S/m24.6×10-2

圖5 區(qū)間中點的動剛度隨頻率變化

Fig.5 Dynamic stiffness of interval middle point varies with frequency

(2) 考慮區(qū)間精度時的區(qū)間動剛度曲線優(yōu)化

圖6 區(qū)間中點動剛度曲線、實驗曲線和模擬曲線

Fig.6 Dynamic stiffness curves of the interval middle point,the experiment and the simulation

表2 不考慮精度時的Kd I和w(Kd I)數(shù)值

Tab.2 Values ofKd Iandw(Kd I) without precision requirement

f/HzNKdI/N·mm-1w(KdI)/N·mm-151[520.89,534.87]13.98101[595.37,657.15]61.78151[743.30,904.73]161.43201[957.9,1290.9]333.00251[1190.9,1726.2]535.30301[1384.1,2021.9]637.80351[1512.7,2107.8]595.10401[1584.4,2072.8]488.40

圖7 文獻[19]的模型和區(qū)間模型計算的動剛度隨頻率變化

Fig.7 Variation of the dynamic stiffness from the model of Ref.[19] and the interval model with frequency

f/HzNη(KdI)/%KdI/N·mm-11[1190.9,1726.2]257.20[1283.3,1589.5]25375.47[1316.7,1547.8]483.77[1333.9,1527.5]588.43[1344.4,1515.6]691.24[1351.5,1507.7]

f/HzNη(KdI)/%KdI/N·mm-1w(KdI)/N·mm-15390.89[522.86,532.84]9.9810493.91[606.19,645.17]38.9815491.61[776.16,864.55]88.3920591.90[1042.0,1179.2]137.2025691.24[1351.5,1507.7]156.2030790.10[1607.6,1735.0]127.4035890.50[1751.7,1834.7]83.0040690.15[1780.0,1876.1]96.10

圖8 精度大于等于90%時區(qū)間動剛度優(yōu)化曲線

Fig.8 Optimized curves of the interval dynamic stiffness when interval precision is more than or equal to 90%

5 結(jié) 論

本文利用區(qū)間不確定性理論，建立了液壓襯套的區(qū)間動剛度模型；采用子區(qū)間組合法優(yōu)化了區(qū)間動剛度模型，得出結(jié)論如下。

(1) 將區(qū)間動剛度模型的計算結(jié)果與參考文獻[19]的實驗結(jié)果進行比較，證明了區(qū)間動剛度模型的正確性。

(2) 區(qū)間動剛度模型的區(qū)間擴張總是存在，區(qū)間精度不能取為100%；為了便于研究，將區(qū)間精度取為90%。采用子區(qū)間組合法建立的區(qū)間優(yōu)化模型進行運算，獲得了優(yōu)化的動剛度上下界限，能更加全面地對動剛度變化曲線進行描述。而且，優(yōu)化的區(qū)間動剛度能更好地描述流體慣性系數(shù)和流量阻尼系數(shù)取值信息缺乏下的動剛度。