帥 鯤， 潘志剛， 蒲志林， 熊 胤

（1.電子科技大學 成都學院，四川 成都611731； 2.西南交通大學 數學學院，四川 成都610031；3.四川師范大學 數學科學學院，四川 成都610066； 4.四川師范大學 法學院，四川 成都610066）

本文考慮如下帶磁場項的非線性Schr?dinger方程：

其初值滿足：

其中，E（t，x）為R+×R3到C3的矢量函數，常數δ≤0，h ＞0.方程（1）～（3）也稱為帶奇異積分算子的非線性Schr?dinger方程.

若不考慮磁場項的影響，方程（1）～（3）簡化為

其中E ＝（E1，E2，E3）.該方程為量子力學中的經典模型.目前，關于不帶磁場項的Schr?dinger 方程的解爆破性質的研究已經比較成熟［1-2］.然而，對帶磁場項的Schr?dinger 方程（1）～（3），盡管物理學上已經表明了解在有限時間爆破［3-4］，據我們所知還沒有方程（1）～（3）奇異解存在的結果.

基于文獻［5 -8］的方法，克服非線性奇異積分算子的困難，得到了方程（1）～（4）柯西問題在有限時間爆破的初值條件.

1 預備知識

令wi＞0，Ei（t，x）＝eiwitui（x），i ＝1，2，3，（u1（x），u2（x），u3（x））為以下靜態(tài)問題的解：

其中（u1，u2，u3）∈H1（R3）×H1（R3）×H1（R3），（u1，u2，u3）≠（0，0，0）.定義以下泛函：

由Sobolev 嵌入定理和傅里葉變換，知S（u1，u2，u3）和R（u1，u2，u3）都是適定的.

此外，定義集合M為

強制變分問題為

參見文獻［9］，知道存在（Q，P，V）∈H1（R3）×H1（R3）×H1（R3）＼｛（0，0，0）｝滿足

而以下結論成立.

引理1.1 由（11）式，則R（Q，P，V）＝0 且

此外，得到以下引理.

引理1.2 令（E1，E2，E3）為柯西問題（1）～（4）的光滑解，則總質量和能量守恒

通過積分運算，則有

得到

把（15）～（18）式代入（14）式，得到

同理可得

積分運算可得：

通過對（25）式積分運算，得到

把（22）～（27）式代入（21）式，得到

因此（13）式成立.

2 主要結果

令

命題2.1 令（E10，E20，E30）∈Σ 且（E1，E2，E3）∈C（［0，T］；Σ）為柯西問題（1）～（4）在［0，T）上的解.記

則

其中

證明 因為（E1，E2，E3）∈C（［0，T］；Σ）是柯西問題（1）～（4）式在［0，T）上的解.由（E10，E20，E30）∈Σ 和文獻［14］，有（E1，E2，E3）∈Σ.由（1）～（3）和（29）式可得

又因為

根據（32）式可得

在（33）式中關于t求導，運用（1）～（3）式得到+

由（34）式積分可得：

同理，（37）式通過積分運算得到

此外有

把（35）～（44）式代入（34）式可得

至此，命題2.1 的證明完畢.

參見文獻［15］有如下引理.

引理2.1 令f是標量函數，如果｜x ｜f和▽f在L2（RN）中，則f在L2（RN）中并且滿足

定理2.1 設（E1，E2，E3）為方程（1）～（4）的一類徑向對稱解且（E10，E20，E30）∈S，若

（i）H（E10，E20，E30）≤0；

證明 令

由（ii）可得F（0）＞0.此外，由命題2.1 有

由于h ＞0 且δ≤0，（i）蘊含了

由F（0）＞0 和（47）式，可得F（t）＞0，由（E1，E2，E3）存在性和（30）式有

因此，

運用Schwarz不等式可得

其中C*≥3C0.因此，由（47）和（50）式蘊含了

成立，從而

致謝 天津大學數學系的甘在會教授在論文寫作過程中給予的指導與寶貴建議，謹致謝意.