劉賽　趙陽　徐巖松　崔平　吳越鵬

摘 要：移動(dòng)機(jī)器人在狹窄通道的移動(dòng)速度直接影響物料運(yùn)輸效率，提出一種基于生存理論的新型分析方法判斷機(jī)器人在狹窄轉(zhuǎn)彎通道的高速安全性。生存理論可以同時(shí)考慮環(huán)境和機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的雙重限制，在理論上具有安全分析上的先進(jìn)性。首先分析直線通道的生存性，然后擴(kuò)展到轉(zhuǎn)角通道，給出了通道生存核的計(jì)算方法，其中多面體運(yùn)算起到了關(guān)鍵作用。采用生存理論分析系統(tǒng)環(huán)境能獲得較大的安全控制裕度，為機(jī)器人高速移動(dòng)提供了理論支撐與技術(shù)支持。

關(guān)鍵詞：移動(dòng)機(jī)器人;生存理論;生存核;物流機(jī)器人;機(jī)器人避障

DOI：10. 11907/rjdk. 191609

中圖分類號(hào)：TP311 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??????????????? 文章編號(hào)：1672-7800（2020）003-0001-05

Safety Analysis of High Speed Transportation of Logistics Robot Narrow Channel

LIU Sai1， ZHAO Yang2， XU Yan-song2， CUI Ping2， WU Yue-peng1

（1. School of Optical-Electrical information and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China; 2. Oil Production Equipment Branch Daqing Oilfield Equipment Manufacturing Group， Daqing 163255， China）

Abstract： The speed of movement of mobile robots in narrow passages is critical to the efficiency of material transport. This paper proposes a new method based on survival theory to judge the high-speed safety of the robot in the narrow turning channel. Survival theory can consider both the limits of environment and robot dynamics. This paper first analyzes the survivability of linear channels， and then expands to the corner channel. The polyhedral operation plays a key role in the calculation by giving the general road survival kernel calculation method. A large safety control margin can be obtained by using the survival， which provides theoretical support and technical support for the high-speed movement of the robot.

Key Words： mobile robot; survival theory; survival core; logistics robot; robot obstacle avoidance

0 引言

高速運(yùn)輸對(duì)于產(chǎn)業(yè)物流機(jī)器人至關(guān)重要。例如，在工廠、倉庫、醫(yī)院等場合，機(jī)器人的移動(dòng)空間有限，通常處于狹窄通道中工作。傳統(tǒng)的機(jī)器人控制需要減速確保轉(zhuǎn)彎安全，但這會(huì)降低運(yùn)輸效率。轉(zhuǎn)彎減速的主要原因在于傳統(tǒng)方法沒有將環(huán)境復(fù)雜性與機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)約束完美融合，從而影響了轉(zhuǎn)向避讓效率?，F(xiàn)有機(jī)器人避障方法很多，其中不考慮機(jī)器人模型的控制稱為非模型方法，包括人工勢(shì)場法[1]、矢量場直方圖（VFH）[2]、模糊控制[3]等。這些方法比較保守，不能保證機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)符合環(huán)境特征。

為使機(jī)器人以更高速度避障，必須考慮基于機(jī)器人的動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行軌跡預(yù)測(cè)[4]?，F(xiàn)有軌跡預(yù)測(cè)方法通常是基于隨機(jī)模型或確定性模型。隨機(jī)模型包括隱馬爾可夫模型[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)[7]、支持向量機(jī)[8]、高斯混合模型[9]等。這些模型可由機(jī)器人運(yùn)行數(shù)據(jù)訓(xùn)練得來，如速度、加速度、方向角等，可靈活用于機(jī)器人控制。但是如果訓(xùn)練數(shù)據(jù)難以覆蓋必要的狀態(tài)空間，特別是機(jī)器人的危險(xiǎn)狀態(tài)，這些方法可能引起嚴(yán)重事故。

還有一種軌跡預(yù)測(cè)方法是使用確定性模型，但是當(dāng)控制輸入范圍較大時(shí)，預(yù)測(cè)軌跡也具有多種可能性，因此會(huì)導(dǎo)致計(jì)算避障策略浪費(fèi)巨大的計(jì)算資源。典型方法如動(dòng)態(tài)窗口方法（DWA）[10]、控制Lyapunov函數(shù)法[11]、路徑規(guī)劃[12]等，這些方法通常采用效率較低的搜索優(yōu)化方法。因此，需要新的控制方法使機(jī)器人適應(yīng)復(fù)雜環(huán)境。模型預(yù)測(cè)控制（MPC）可以同時(shí)考慮環(huán)境約束，機(jī)器人控制限制和機(jī)器人動(dòng)力約束，進(jìn)而提供優(yōu)化的控制信號(hào)，因此引起了當(dāng)今研究者的廣泛關(guān)注[13]。移動(dòng)機(jī)器人在障礙環(huán)境中移動(dòng)的MPC結(jié)構(gòu)可以通過以下約束有限時(shí)間最優(yōu)控制（CFTOC）問題[14]表示。

其中，下標(biāo)[k|t]表示算法從[t]時(shí)刻開啟并向后預(yù)測(cè)的[k]時(shí)刻，[k+1|t]表示[k]時(shí)刻的后續(xù)預(yù)測(cè)時(shí)刻，[xk|t]和[uk|t]分別表示預(yù)測(cè)[k]時(shí)刻處的狀態(tài)及控制，模型的動(dòng)態(tài)不確定性由擾動(dòng)向量[dk|t]表示。E（.）表示隨機(jī)變量的期望。求解問題（1）可獲得一組控制序列[uk|t]，在滿足約束條件的情況下，使代價(jià)函數(shù)cost（.）期望最小，方程（1b）定義了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，（1c）表示機(jī)器人控制[u]的限制條件，（1d）表示環(huán)境約束，（1e）為初始狀態(tài)。

雖然MPC能較完美地解決機(jī)器人的動(dòng)態(tài)適應(yīng)問題，并在一定程度上充分考慮預(yù)測(cè)時(shí)間段內(nèi)所有可行路徑，再依據(jù)代價(jià)函數(shù)選出最優(yōu)路徑實(shí)施跟蹤。但是MPC在控制閉環(huán)穩(wěn)定性與控制求解可行性方法上還存在較大缺陷，可見機(jī)器人避障領(lǐng)域亟需新理論解決機(jī)器人安全移動(dòng)問題。研究發(fā)現(xiàn)，生存理論有望在該領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)突破。生存理論是Aubin等[15]首先提出并用于分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)演化與環(huán)境適應(yīng)性的理論，為穩(wěn)定性分析、安全性設(shè)計(jì)等領(lǐng)域提供了新方法。

1 生存理論概述

考慮一般控制系統(tǒng)[16]：

其中，[x∈Rn]為系統(tǒng)狀態(tài);為系統(tǒng)控制;[fx，u]為[Rm+n]到[Rn]上的Lipschitzian函數(shù)。將上述系統(tǒng)模型用集值映射表示便于生存理論推導(dǎo)，系統(tǒng)（2）則可表示為：

定義1[17] 考慮集合，對(duì)于任意初始狀態(tài)[x0∈Rn]，使得[x（t）∈K]，，其中[xt]是系統(tǒng)（2）的解，則稱系統(tǒng)（2）在集合K中是可生存的。

定義2 [17] 令，則集合[K]在[x]處的切錐定義為：

其中，[dKy]為點(diǎn)[y∈Rn]到集合[K]的距離。

定理1 [17] 對(duì)于系統(tǒng)（2），閉集是可生存的充要條件為：對(duì)任意[x∈K]，都有：

定義3 [18] 如果，且，則稱[J]為系統(tǒng)在[K]中的一個(gè)生存域。

環(huán)境集合[K]最大的生存域被稱為生存核，用[ViabK]表示。

定義4 [18] 系統(tǒng)相對(duì)集合[K]的生存核為：

2 物流機(jī)器人構(gòu)成及其動(dòng)力學(xué)模型

物流運(yùn)輸機(jī)器人通常被設(shè)計(jì)為四輪車輛形式，如自動(dòng)導(dǎo)引車（AGV），如圖1所示。其中1為安全擋圈，用于保證機(jī)器人碰撞的安全性;2與11為信息讀取線圈，幫助機(jī)器人獲取地面磁條信息，用于傳感外界道路信息，也可以使用激光雷達(dá)探測(cè)通道信息;3、4為導(dǎo)向輪位置探測(cè)器，防止導(dǎo)向輪工作失靈;5為轉(zhuǎn)向輪，其由電機(jī)6驅(qū)動(dòng);7為轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)傳動(dòng)系統(tǒng)，它連接了導(dǎo)向伺服電機(jī)8與轉(zhuǎn)向輪5，從而控制了前輪轉(zhuǎn)向角;9為蓄電池，為整車提供動(dòng)力;12是制動(dòng)器，當(dāng)所給高速控制失效時(shí)，需要使用制動(dòng)器來保證機(jī)器人移動(dòng)安全;13為隨動(dòng)車輪;14為AGV控制器，其安裝在車架10的頂部。

分析AGV高速移動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性通常使用兩輪自行車模型[14]，如圖2所示，其將圖1中AGV的后輪合并成一個(gè)來分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，其中[ψ]為航向角，[α]為側(cè)偏角，其為機(jī)器人速度方向和自身縱向軸線間的夾角，[a1]和[a2]分別為機(jī)器人重心到前后輪軸的距離，[β]為前輪轉(zhuǎn)向角。

機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型可由狀態(tài)空間模型[x=Ax+Bu]表示[19]。

其中，[A]為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，[B]為輸入矩陣，[Y]為機(jī)器人橫向位置（垂直通道方向的位置），[X]為機(jī)器人縱向位置（平行通道方向），[M]為機(jī)器人質(zhì)量;[V]為機(jī)器人速度;[D1]和[D2]分別為前后輪側(cè)偏剛度;[Izz]為機(jī)器人繞重心的橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;[δ1]和[δ2]分別為前后輪的側(cè)角。

為提高運(yùn)輸效率，可以限定機(jī)器人的速度保持高速恒定，則模型（7）轉(zhuǎn)換為線性時(shí)不變系統(tǒng)，此時(shí)機(jī)器人將全部依賴轉(zhuǎn)向控制。分析表明：在遇到障礙物時(shí)轉(zhuǎn)向策略比制動(dòng)策略更加有效[20]，可見速度恒定設(shè)置有利于高速躲避障礙，但需進(jìn)一步分析狹窄通道的安全移動(dòng)空間。

3 機(jī)器人相關(guān)約束

由于僅考慮轉(zhuǎn)向，系統(tǒng)的輸入約束為轉(zhuǎn)向角限制。

其中，[βmax]和分別為最大正負(fù)偏角。系統(tǒng)的狀態(tài)約束可以保證機(jī)器人的安全移動(dòng)，首先應(yīng)該限制機(jī)器人的坐標(biāo)（X，Y）一直保持在工作環(huán)境中，可將模型（7）考慮在通道坐標(biāo)系下，其中[x]軸方向一直朝向通道出口方向，為保證機(jī)器人不與墻壁發(fā)生碰撞，需要對(duì)機(jī)器人的[y]軸位置進(jìn)行約束。

其中，[Ymax]、[Ymin]分別代通道墻壁在通道坐標(biāo)系下的縱向位置。

可以將連續(xù)轉(zhuǎn)彎通道考慮成多個(gè)不同朝向的直線通道，分段考慮機(jī)器人在直線通道內(nèi)的移動(dòng)安全，在某一直線通道內(nèi)，其[X]坐標(biāo)的約束設(shè)計(jì)如下：

其中，[Xcorner1]、[Xcorner2]分別是直線通道兩頭端點(diǎn)的[X]坐標(biāo)。在分段直線通道內(nèi)，要求機(jī)器人在當(dāng)前道路坐標(biāo)系下保持航向角與側(cè)偏角在較小范圍內(nèi)變動(dòng)，因此為機(jī)器人角度狀態(tài)加上如下約束：

其中，[αmin]、[αmax]是側(cè)偏角范圍，[ψmin]、[ψmax]是航向角范圍，[ψmin]、[ψmax]是航向角速度范圍。

4 安全性分析

將機(jī)器人模型、控制限制以及環(huán)境約束相融合，根據(jù)生存理論迭代計(jì)算機(jī)器人相對(duì)環(huán)境的生存核。為方便數(shù)值計(jì)算，將機(jī)器人模型（7）離散成如下一般系統(tǒng)形式：

其中，[x=[XYψψα]T] ，[u=[βγ]T]。離散系統(tǒng)（14）相對(duì)一般環(huán)境集合[K]的生存核可通過如下Saint Pierre生存核[9]迭代算法計(jì)算：

其中，[Kn]為經(jīng)過[n]次迭代計(jì)算后獲得的集合，[Kn+1]為[Kn]經(jīng)過一次迭代后獲得的集合，[K0]為初始環(huán)境集合。[Kn+1]如果迭代收斂到與[Kn]相同，則[Kn]為原空間[K]的生存核，該迭代算法可更具體由向后一步可達(dá)計(jì)算以及集合相交操作獲得。

其中，[Reach1（·）] 為集合向后一步可達(dá)運(yùn)算，定義為：

其中，通道環(huán)境集合[K]由不等式（9）-（13）包圍構(gòu)成，可使用多面體形式表示環(huán)境集合，因?yàn)椴坏仁浇M符合多面體的一般定義，其被稱作多面體的[H]表示，具體如下：

5 直線通道生存核計(jì)算

將環(huán)境用多面體表示，針對(duì)模型（14）迭代計(jì)算生存核，關(guān)鍵在于向后一步可達(dá)運(yùn)算以及集合求交運(yùn)算。值得注意的是，在保持速度恒定的情況下，模型（7）可具體轉(zhuǎn)化為離散線性時(shí)不變系統(tǒng)，可用如下標(biāo)準(zhǔn)形式表示：

其中，[G]為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，[uk∈U]，[xk∈K]。一般線性系統(tǒng)（19）的向后一步可由式（20）計(jì)算。

其中，[G-1]為矩陣[H]的逆，操作符[⊕]表示集合閔可夫斯基求和操作?？梢姍C(jī)器人生存核計(jì)算可進(jìn)一步分解為線性變換、集合求交以及閔可夫斯基求和運(yùn)算，由于環(huán)境使用多面體表示，因此這些集合運(yùn)算可具體由多面體運(yùn)算替代。

考慮采用頂點(diǎn)[v1，v2，？，vk]構(gòu)成的多面體，即采用多面體的V表示法，其線性變換可以由式（21）計(jì)算。

考慮兩個(gè)采用[H]表示法的多面體則[P1]、[P2]的交集計(jì)算方法如下：

考慮兩個(gè)采用[V]表示法的多面體[P1]、[P2]，閔可夫斯基求和計(jì)算如下：

其中，[vi]、[uj]分別是[P1]、[P2]的頂點(diǎn)。

機(jī)器人模型與約束的具體參數(shù)如表1所示，假設(shè)機(jī)器人速度[V]恒定在8m/s，利用算法（16）迭代計(jì)算，由于模型（19）的[X]狀態(tài)朝向通道出口，為機(jī)器人的正常行駛方向，不需要安全性檢查，因此只需檢查除[X]狀態(tài)以外的其它模型（19）的狀態(tài)，看其所組成的多面體集合是否收斂，運(yùn)行結(jié)果如圖3所示。

由于所計(jì)算的生存核存在于5維空間，方便起見，向狀態(tài)[x]、[y]、[ψ]坐標(biāo)投影，并記錄每次迭代計(jì)算的多面體結(jié)果，如圖3（a）所示，原始道路空間投影為長方體，經(jīng)多次迭代，多面體向內(nèi)卷曲成為上次迭代結(jié)果的子集，直到收斂為止獲取生存核，最終收斂結(jié)果在道路橫坐標(biāo)[y]與航向角[ψ]上的投影如圖3（b）所示。觀察生存核邊界，機(jī)器人的航向角與機(jī)器人在道路的y坐標(biāo)具有函數(shù)關(guān)系：例如當(dāng)機(jī)器人在道路左邊界時(shí)，即[y]=5，如表1所示，其必須保證機(jī)器人的航向角為正。

6 轉(zhuǎn)彎通道生存核計(jì)算

以直角轉(zhuǎn)彎通道為例，其可看作兩個(gè)相互垂直的直線通道連接，如圖4所示，出口與入口構(gòu)成轉(zhuǎn)彎。

拐角道路模型的生存性分析算法描述如下：

入口安全區(qū)域計(jì)算：

首先計(jì)算出口的多面體[Kout]生存核[Viab（Kout）]，將其與入口多面體[Kin]取交集得到目標(biāo)集合[C]，然后初始化參數(shù)n=0，并且將第0次迭代后的入口多面體[Kin0]初始化目標(biāo)集合[C]，當(dāng)n小于迭代限制[Nin]執(zhí)行如下循環(huán)：

如果[Kinn]為空集，顯示不安全，表示未能找到入口安全區(qū)域，此時(shí)，跳出循環(huán)。如果第n次迭代入口多面體集合[Kinn]的向前一步可達(dá)集與第n-1次迭代入口多面體集合[Kinn-1]在[Yψψα]空間的投影相等，表示成功找到入口安全區(qū)域，跳出循環(huán)。否則進(jìn)行如下迭代計(jì)算：

將[Kinn]的向后一步可達(dá)集[Reach1（Kinn）]與[Kin]取交集得到[Kinn+1]，即Reach1（Kinn）]，接著將n自增1，繼續(xù)迭代，直到滿足上述條件，跳出循環(huán)。

出口安全區(qū)域計(jì)算：

初始化參數(shù)i=0，第0次迭代出口多面體集合初始化目標(biāo)集合[C]，如果i小于迭代限制[Nout]，執(zhí)行如下循環(huán)：

將集合[Kout]的生存核與[Kouti]的向前一步可達(dá)集[Forward1（Kouti）]取交集得到[Kouti+1]，即[Kouti+1=Viab（Kout）？][Forward1（Kouti）]，i自增1，直到不滿足循環(huán)條件，跳出循環(huán)。

彎道安全區(qū)域計(jì)算：

將上述迭代過程中每次迭代后的出口入口多面體集合取交集得到彎道的安全區(qū)域即生存核，即[Safe（Kin，]。

其中，表示在線性系統(tǒng)（19）下集合[K]的向前一步可達(dá)集，計(jì)算方法如下：

（a） 生存核在[x]、[y]方向投影

繼續(xù)采用表1的機(jī)器人參數(shù)與約束條件，機(jī)器人速度保持恒定在8m/s（約30km/h）。經(jīng)上述算法描述計(jì)算，獲得轉(zhuǎn)彎道路的可生存安全區(qū)域，迭代結(jié)果為圖5（a）道路空間內(nèi)的深色多面體集，圖中顯示當(dāng)機(jī)器人處于A點(diǎn)時(shí)，必須以最大幅度向右轉(zhuǎn)以確保機(jī)器人可以安全通過拐角尖點(diǎn)。當(dāng)機(jī)器人處于右邊界B點(diǎn)，必須最大幅度左轉(zhuǎn)，否則恒速機(jī)器人必將碰撞底部邊界?？梢姰?dāng)機(jī)器人保持恒定高速度通過轉(zhuǎn)彎通道時(shí)，其安全空間投影相對(duì)原始空間在轉(zhuǎn)彎處有很大收縮，需要控制機(jī)器人始終保持在所分析的生存核投影內(nèi)方能保證機(jī)器人的高速移動(dòng)。

7 結(jié)語

本文提出了一種基于生存理論分析移動(dòng)機(jī)器人在通道內(nèi)高速移動(dòng)安全性的新方法，引入了多面體及其操作計(jì)算通道環(huán)境的生存空間，能夠發(fā)現(xiàn)曲折空間的最大安全子集，從而更好地指引機(jī)器人作避障控制。由于可分析高維空間的安全性能，因此該方法的安全分析具有理論上的先進(jìn)性?，F(xiàn)實(shí)環(huán)境中，非90°拐角很常見，確保改進(jìn)算法能夠計(jì)算出任意角度拐角的生存核則是下一步研究方向，同時(shí)進(jìn)一步獲取生存核的中心線（具有最大的安全裕度）對(duì)機(jī)器人進(jìn)行跟蹤控制。

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（責(zé)任編輯：孫 娟）

收稿日期：2019-05-17

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61074087）;上海市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（17ZR1419000）

作者簡介：劉賽（1994-），男，上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)橹悄芙煌?趙陽（1989-），男，大慶油田裝備制造集團(tuán)采油設(shè)備分公司工程師，研究方向?yàn)闄C(jī)械制造;徐巖松（1969-），男，大慶油田裝備制造集團(tuán)采油設(shè)備分公司技師，研究方向?yàn)闄C(jī)械制造;崔平（1973-），男，大慶油田裝備制造集團(tuán)采油設(shè)備分公司技師，研究方向?yàn)闄C(jī)械制造;吳越鵬（1987-），男，上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院博士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)器人優(yōu)化控制。