張世欽

摘 要 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)“常態(tài)化”的一個(gè)誤區(qū)，是把實(shí)驗(yàn)僵化為一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，“為實(shí)驗(yàn)而實(shí)驗(yàn)”. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)只有自然融入到常態(tài)教學(xué) 的整個(gè)過程當(dāng)中，與具體教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，才能更好地體現(xiàn)其教學(xué)功能與育人價(jià)值.實(shí)現(xiàn)“自然融入”的關(guān)鍵，是讓數(shù)學(xué) 實(shí)驗(yàn)在學(xué)生的認(rèn)知過程中體現(xiàn)出適切性與必要性.

關(guān) 鍵 詞 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);自然融入;常態(tài)教學(xué);課例

筆者在線觀摩了一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)網(wǎng)絡(luò)研討活 動(dòng)，活動(dòng)的主題是“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與核心素養(yǎng)”，旨在推動(dòng) 兩個(gè)方面的探討：一是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心 素養(yǎng)方面的功用與價(jià)值;二是如何將“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”融入 常態(tài)課的教學(xué)中.在課堂教學(xué)展示環(huán)節(jié)，一位教師以 “等腰三角形的軸對(duì)稱性”（人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè) 第十三章第3節(jié)）這節(jié)內(nèi)容為例，進(jìn)行了課堂教學(xué)展 示.受活動(dòng)主題的啟發(fā)，筆者在課例分析的基礎(chǔ)上，從 以上兩個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)進(jìn)行了思考.

一、課例簡(jiǎn)要回放

環(huán)節(jié)一：引入概念

執(zhí)教者先引導(dǎo)學(xué)生回顧“三角形”的概念及性質(zhì)， 然后由一般三角形過渡到“特殊三角形”（等腰三角 形）.學(xué)生都能說出等腰三角形的定義：有兩條邊相等 的三角形叫做等腰三角形.

環(huán)節(jié)二：性質(zhì)猜想

引入概念并明確定義之后，執(zhí)教者讓學(xué)生畫一個(gè) 等腰三角形并觀察、猜想其性質(zhì).學(xué)生在教師引導(dǎo)下 獲得如下“猜想”：1等腰三角形是軸對(duì)稱圖形;2等腰 三角形的兩個(gè)底角相等;3等腰三角形底邊上的高、中 線與頂角平分線重合（三線合一）.

環(huán)節(jié)三：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

“這些猜想是否正確呢？我們可以通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 來驗(yàn)證.”執(zhí)教者由此引出數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1：在一張形狀不規(guī)則的毛邊紙上，折疊 出一個(gè)等腰三角形.說一說你的折疊方法及理由.

很快，就有學(xué)生想到方法并展示操作：先將毛邊 紙對(duì)折一下，得到一條直邊，然后再對(duì)折使直邊對(duì)齊 得到一個(gè)直角，將這個(gè)直角頂點(diǎn)向內(nèi)任意翻折一下，

展開就會(huì)得到一個(gè)等腰三角形（. 如圖 1）

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2：用剪刀把剛才折疊得到的等腰三角 形剪下來，然后通過實(shí)驗(yàn)操作來驗(yàn)證“猜想1”.

一名學(xué)生到講臺(tái)上展示：將等腰三角形沿一條線 疊之后，兩邊完全重合，說明等腰三角形是軸對(duì)稱 圖形.

實(shí)驗(yàn)活動(dòng) 3：利用手頭的等腰三角形紙片，驗(yàn)證 “猜想2”（等腰三角形兩個(gè)底角相等）.

學(xué)生沿對(duì)稱軸折疊，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)底角重合，驗(yàn)證了 “等腰三角形的兩個(gè)底角相等”.

實(shí)驗(yàn)活動(dòng) 4：利用手頭的等腰三角形紙片，驗(yàn)證

“猜想3”（等腰三角形“三線合一”）.

沿對(duì)稱軸折疊，頂角的兩邊重合，說明折痕與頂 角平分線重合;沿對(duì)稱軸折疊，底邊的兩端重合，說明 折痕又與底邊上的中線、高線重合.由此驗(yàn)證了“三線 合一”.

實(shí)物驗(yàn)證之后，執(zhí)教者還為學(xué)生提供了“幾何畫 板”（計(jì)算機(jī)軟件）驗(yàn)證.

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)5：利用幾何畫板軟件驗(yàn)證“猜想2”.

一個(gè)等腰三角形，在保持等腰特征不變（“幾何畫 板”中設(shè)置頂點(diǎn)為底邊中垂線上的點(diǎn)）的情況下，讓學(xué) 生上下拖動(dòng)頂點(diǎn)位置.可以發(fā)現(xiàn)：隨著兩腰長(zhǎng)度（度量

值顯示）的變化，兩個(gè)底角度數(shù)（度量值顯示）也在變 化但是始終相等.

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)6：利用幾何畫板軟件驗(yàn)證“猜想3”. 任意一個(gè)三角形，沿著平行于對(duì)邊的直線移動(dòng)一 個(gè)頂點(diǎn)，只有當(dāng)另外兩邊長(zhǎng)度恰好相等（即圖中AB = AC）的時(shí)候，才出現(xiàn)''三線合一”的情形.（如圖2）

圖

環(huán)節(jié)三：推理證明

執(zhí)教者指出：'通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是不夠的，數(shù)學(xué) 結(jié)論最終還是要通過推理來證明.”接下來，將兩個(gè)命 題具體化為證明題.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生輕而易舉地給出 了證明，甚至每個(gè)命題都給出多種證明方法……

環(huán)節(jié)四：定理運(yùn)用（略）

二、課例分析

1“. 為實(shí)驗(yàn)而實(shí)驗(yàn)”導(dǎo)致認(rèn)知過程邏輯混亂

分析上述課例中的幾個(gè)'實(shí)驗(yàn)活動(dòng)”可以發(fā)現(xiàn)，執(zhí) 教者設(shè)計(jì)'實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1”的目的是通過'實(shí)驗(yàn)”的方法獲 得一個(gè)等腰三角形，為下一步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提供具體的實(shí) 驗(yàn)材料.然而，從認(rèn)知順序來看，這個(gè)'為實(shí)驗(yàn)”而設(shè)計(jì) 的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)事實(shí)上造成了知識(shí)學(xué)習(xí)的邏輯混亂 . 因?yàn)?這里所用的'折疊”的方法，其本質(zhì)就是運(yùn)用了等腰三 角形的軸對(duì)稱性，初中階段對(duì)軸對(duì)稱（反射變換）的定 義就是'一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折之后，折線兩側(cè)的 部分能完全重合” '. 實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1”用折疊后剪切展開得 到等腰三角形，然后在'實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2”中又通過折疊重 合去驗(yàn)證'等腰三角形是軸對(duì)稱圖形”，這就相當(dāng)于邏 輯上循環(huán)論證（由折疊剪切得到的三角形當(dāng)然折疊重 合）.事實(shí)上，從客觀的知識(shí)結(jié)構(gòu)上來看，等腰三角形 的兩個(gè)性質(zhì)定理（即課例中的兩個(gè)'猜想”）其實(shí)都是 源自于等腰三角形的軸對(duì)稱性.如果把'等腰三角形 是軸對(duì)稱圖形”作為對(duì)等腰三角形的一個(gè)定性描述的 話，那么兩個(gè)性質(zhì)定理其實(shí)就是更進(jìn)一步的定量刻 畫.課例在對(duì)稱性'實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證”上的邏輯混亂，使得認(rèn) 知順序沒有體現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)稱性在前后 知識(shí)上的主線作用沒有凸顯出來，學(xué)生對(duì)等腰三角形 軸對(duì)稱性的理解缺乏概念角度的認(rèn)識(shí)支撐，未能從概 念的本質(zhì)特征上思考為什么'折疊重合”.

1. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)出“初中教學(xué)小學(xué)化” 在引入概念之后，學(xué)生都能準(zhǔn)確地說出等腰三角 形的定義，甚至，在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1中，大部分學(xué)生也都能 想到折疊方法.為什么會(huì)這樣？主要是因?yàn)閷W(xué)生在小 學(xué)階段有過等腰三角形及軸對(duì)稱概念的學(xué)習(xí).由于小 學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)主要是'實(shí)驗(yàn)幾何”，類似上述課例 中的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，特別是實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2和實(shí)驗(yàn)活動(dòng)3（折疊 驗(yàn)證等腰三角形的軸對(duì)稱性），學(xué)生在小學(xué)階段都是 做過的（據(jù)筆者對(duì)所在學(xué)校七年級(jí)新生的調(diào)查）.在這 樣的情況下，初中階段再對(duì)等腰三角形的'折疊重合” 和'兩個(gè)底角相等”進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，是沒有必要的.把 這樣的'驗(yàn)證”活動(dòng)再一次引入課堂并且作為一個(gè)固 定環(huán)節(jié)，其實(shí)就是羅增儒教授所說的'初中教學(xué)小學(xué) 化”^[1].數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)，因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 與安排的基本原則應(yīng)該是對(duì)學(xué)生的思維調(diào)動(dòng).喻平教 授指出 ：'數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)將動(dòng)手操作和動(dòng)腦思考有機(jī) 結(jié)合在一起，實(shí)踐性和操作性是它的外部特征，通過 實(shí)驗(yàn)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展則是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心 和最終歸宿.”^[2]如果一個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)沒有思維挑戰(zhàn)性、 缺乏思維調(diào)動(dòng)或者促進(jìn)作用，那么它也就失去了實(shí)驗(yàn) 價(jià)值.就筆者對(duì)課例的觀察，在后續(xù)的'推理證明”環(huán) 節(jié)（特別是兩個(gè)底角相等的證明過程中），大部分學(xué)生 都能很快想出不止一種證明方法，說明學(xué)生僅僅通過 頭腦中的表象操作就能驗(yàn)證猜想并獲得證明思路，教 師努力推銷的以動(dòng)手為特征的'數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”反而讓學(xué) 生覺得既低級(jí)又無趣.
2. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)被僵化為一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié) 從教學(xué)流程上來看，執(zhí)教者為學(xué)生設(shè)計(jì)的認(rèn)知順 序是'概念建構(gòu)—性質(zhì)猜想—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—推理證明— 鞏固應(yīng)用”.的確，這樣認(rèn)知流程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的 '基本套路”.但是，如果教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候 缺乏對(duì)具體內(nèi)容及學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)的分析，把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 僵化為一個(gè)教學(xué)步驟與環(huán)節(jié)，那么數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)際價(jià) 值與作用，就可能大打折扣甚至完全不能體現(xiàn)出來. 喻平教授認(rèn)為 ：'數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)本質(zhì)上是以數(shù)學(xué)問題 為出發(fā)點(diǎn)，以獲得數(shù)學(xué)結(jié)果為目標(biāo)，充分展示探究過 程的實(shí)踐活動(dòng).”^[3]這就是說，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是'問題驅(qū)動(dòng)” 下的'目標(biāo)明確”的'實(shí)踐探究”.從問題的提出到目標(biāo) 的達(dá)成，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都可以在其中發(fā)揮'實(shí)踐探究”作 用.在不同的認(rèn)知節(jié)點(diǎn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還應(yīng)該發(fā)揮不同的 認(rèn)知促進(jìn)作用.因?yàn)檫@一點(diǎn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)被細(xì)分為'探索 型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)” '驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”和'理解型數(shù)學(xué)實(shí) 驗(yàn)”.^[3]分析上述課例中的幾個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，不難發(fā)現(xiàn)，它 們分別具有不同的性質(zhì)和特征.比如，實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1是具 有應(yīng)用特征的探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（依據(jù)性質(zhì)探索折疊與

剪切方法）;實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2、3、5屬于驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（驗(yàn) 證猜想）;實(shí)驗(yàn)活動(dòng)4可以作為思路探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 通過折疊操作探索證明思路）;實(shí)驗(yàn)活動(dòng)6更適合作 為理解型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（演示“一般”與“特殊”之間的關(guān) 系）.驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)該在觀察與猜想的過程中用 于檢驗(yàn)或修正猜想;探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既可以在推理證 明的過程中發(fā)揮思維輔助作用，又可作為知識(shí)的鞏固 運(yùn)用;理解型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以在推理證明之后促進(jìn)數(shù)學(xué) 知識(shí)的直觀化理解……然而，執(zhí)教者把這些實(shí)驗(yàn)活動(dòng) 籠統(tǒng)地僵化為一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，就使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在本節(jié) 課的功能與價(jià)值局限于某一個(gè)方面（僅僅是“驗(yàn)證”， 并且這里很多“驗(yàn)證”讓學(xué)生覺得沒有必要）.

綜合以上幾個(gè)問題的分析，筆者認(rèn)為，課例執(zhí)教 者對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的功用與價(jià)值的認(rèn)識(shí)過于狹窄片 面.沒有從認(rèn)知過程的整體上思考數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的有 效融入，只是把幾個(gè)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”內(nèi)容整體插入到原本 的教學(xué)過程中作為一個(gè)固定環(huán)節(jié)，使得實(shí)驗(yàn)過程沒能 很好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，反而降低了課堂效率， 擾亂了認(rèn)知理序，一定程度上阻礙了知識(shí)的內(nèi)在建 構(gòu).

三、關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的兩點(diǎn)感悟 在課例的分析的基礎(chǔ)上回歸本次活動(dòng)的主題，筆 者認(rèn)為研討活動(dòng)所指向的兩個(gè)問題其實(shí)是統(tǒng)一的：數(shù) 學(xué)實(shí)驗(yàn)只有恰當(dāng)、自然地融入到常態(tài)教學(xué)中，與具體 教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，才能更好地體現(xiàn)其功用與價(jià)值.

1. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與具體內(nèi)容有機(jī)結(jié)合才能促進(jìn)核心 素養(yǎng)的發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為 目標(biāo)指向.^[4]因此，我們就有必要從發(fā)展學(xué)生核心素 養(yǎng)的角度來思考數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的功用與價(jià)值.上述課例分 析使筆者獲得這樣一個(gè)感悟，即數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種教 學(xué)手段（從“學(xué)”的角度來說是一種學(xué)習(xí)方法），在核心 素養(yǎng)層面的功用與價(jià)值只有與具體教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié) 合才能充分體現(xiàn)出來.這里所說的“有機(jī)結(jié)合”，指的 是把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)貫穿在知識(shí)內(nèi)容的引入、理解、鞏固、應(yīng) 用的整個(gè)過程中.比如，在知識(shí)的引入環(huán)節(jié)，如果知識(shí) 具有一定的現(xiàn)實(shí)背景和操作特征，那么以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的 方式引入就可能很好促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成 和發(fā)展;在知識(shí)理解（概念建構(gòu)或者原理揭示）環(huán)節(jié)， 用具體而直觀的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來闡釋數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，就可 能有效地促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)或者模型思想（對(duì)應(yīng) 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)）的發(fā)展;在知識(shí)的鞏固應(yīng)用環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué) 實(shí)驗(yàn)可以促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)（對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)）的 發(fā)展.就上述課例來說，分析中提到的“邏輯混亂”和 “環(huán)節(jié)化”，都是因?yàn)閳?zhí)教者對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本身的功能與 價(jià)值認(rèn)識(shí)過于片面，沒有將它與等腰三角形性質(zhì)的認(rèn) 知過程有效結(jié)合.事實(shí)上，既然實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1具有明顯的 應(yīng)用特征，那么就應(yīng)當(dāng)將它后置于性質(zhì)定理的鞏固應(yīng) 用階段;實(shí)驗(yàn)活動(dòng)6具有理解型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)特征，那就可 以把它放在定理證明之后幫助學(xué)生“回歸直覺”;實(shí)驗(yàn) 活動(dòng)3、4可以作為推理證明過程中的“自由選擇”，一 些幾何直觀能力相對(duì)欠缺的學(xué)生可以在動(dòng)手操作中 獲得思路的啟發(fā).如果執(zhí)教者這樣去安排數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)， 就相當(dāng)于在整個(gè)認(rèn)知過程中為學(xué)生提供了特殊與一 般、具體與抽象、現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間的往返穿梭，讓數(shù)學(xué) 實(shí)驗(yàn)更好地發(fā)揮思維輔助與推動(dòng)作用.

1. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入常態(tài)教學(xué)的關(guān)鍵是體現(xiàn)適切性 與必要性

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是教學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)新興課題， 相關(guān)研究在近幾年呈“井噴”之勢(shì)，大量的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)被 開發(fā)出來.^[5]在這樣的背景下，一線教師需要特別注 意的是保持一種“理智的清醒”，既要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)實(shí) 驗(yàn)的功用與價(jià)值，又要理性客觀地分析其適切性與必 要性，防止自己走進(jìn)盲目跟風(fēng)和泛化使用的誤區(qū).^[6]

強(qiáng)調(diào)適切性，就是要讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)順應(yīng)認(rèn)知理序， 促進(jìn)認(rèn)知建構(gòu).就上述案例來說，實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1的位置安 排就缺乏適切性.為了順應(yīng)知識(shí)建構(gòu)，這里應(yīng)該從概 念定義（有兩邊相等的三角形）出發(fā)，用問題去驅(qū)動(dòng) “實(shí)驗(yàn)”.比如，教師可以讓學(xué)生先在紙上根據(jù)定義畫 一個(gè)等腰三角形，然后剪下來，觀察并思考：為什么兩 邊相等的三角形就能“折疊重合”？在畫等腰三角形 的時(shí)候，學(xué)生根據(jù)定義畫圖必定是先畫兩條有公共端 點(diǎn)且相等的線段（其實(shí)就是畫出一個(gè)角），然后連接另 外兩個(gè)端點(diǎn);剪下來之后，學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行思考的時(shí) 候也就會(huì)自然而然地聯(lián)系自己的畫圖過程，主動(dòng)地進(jìn) 行折疊觀察.在這樣的概念操作和實(shí)物操作下，學(xué)生 就會(huì)認(rèn)識(shí)到等腰三角形的軸對(duì)稱與角的軸對(duì)稱、線段 的軸對(duì)稱存在內(nèi)在聯(lián)系：等腰三角形的軸對(duì)稱性實(shí)質(zhì) 上是源于角與線段的軸對(duì)稱性.

強(qiáng)調(diào)必要性，就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要盡可能地扣緊 學(xué)生的思維，要讓學(xué)生切實(shí)感受到外部操作對(duì)內(nèi)在思 維的推動(dòng)作用或者補(bǔ)充作用.如果學(xué)生具備了一定的 幾何直觀能力與空間想象能力，以致他們完全依賴于 內(nèi)在的表象操作就能解決當(dāng)前問題的時(shí)候，何必動(dòng)手 呢？就上述課例來說，實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2、實(shí)驗(yàn)活動(dòng)3、實(shí)驗(yàn) 活動(dòng)5、甚至實(shí)驗(yàn)活動(dòng)4，從“驗(yàn)證猜想”角度看都是沒有必要的.但是，它們?cè)凇巴评碜C明”環(huán)節(jié)可能卻是有 價(jià)值的，因?yàn)樘綄ぷC明思路的時(shí)候，在實(shí)驗(yàn)中觀察往 往能獲得思路上的啟發(fā).比如，學(xué)生會(huì)由“重合”想到 運(yùn)用三角形全等，由“折痕”想到添加輔助線……由此 說明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理想狀態(tài)，就是讓外在的實(shí)驗(yàn) 操作恰好切中個(gè)體的內(nèi)在需求.做到這一點(diǎn)確實(shí)不容 易，但是我們“為思維而教”的目標(biāo)應(yīng)該是清晰而明 確的！

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[6] 陳海烽.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要找準(zhǔn)自己的位置[J]數(shù)學(xué)通 報(bào)，2016（7）：7-10.

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