談晶圩，楊 敏

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院、人工智能學(xué)院，江蘇 南京 210023)

圖像去噪［1］是圖像處理中的基本問(wèn)題，其中全變分正則化模型［2］是應(yīng)用最普遍的去噪模型，能很好地保護(hù)圖像邊緣信息，但容易產(chǎn)生梯階效應(yīng)。研究者在模型和數(shù)值計(jì)算上對(duì)全變分模型進(jìn)行改進(jìn)，如廣義全變分［3］、交疊組稀疏全變分［4］、分?jǐn)?shù)階全變分［5］等，這些方法在定義梯度時(shí)只局限于垂直和水平方向，忽略了圖像許多結(jié)構(gòu)特征，在圖像復(fù)原時(shí)紋理結(jié)構(gòu)容易丟失，Chambolle等［6］在有限差分基礎(chǔ)上提出了迎風(fēng)有限差分，從更多方向上定義梯度。

本文針對(duì)全變分模型梯階效應(yīng)明顯的問(wèn)題，受文獻(xiàn)［7］的啟發(fā)，在經(jīng)典的全變分去噪模型的基礎(chǔ)上，將迎風(fēng)差分引入全變分正則項(xiàng)中，將迎風(fēng)全變分代替?zhèn)鹘y(tǒng)全變分去噪模型中的各向異性全變分部分，利用迎風(fēng)有限差分定義梯度，更充分地考慮鄰域梯度信息，從而改善去噪性能，減少偽影，提高提取邊緣能力。在模型計(jì)算時(shí)采用原偶混合梯度算法［8］迭代優(yōu)化求解，基于對(duì)偶理論，將全變分模型轉(zhuǎn)化為對(duì)偶求解，既改善了去噪效果，同時(shí)保持圖像邊緣。

這種全變分模型在結(jié)構(gòu)上與具有鞍點(diǎn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型可建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以采用能有效求解鞍點(diǎn)問(wèn)題的原偶混合梯度算法來(lái)求解新模型，這種數(shù)值求解算法收斂速度快，效果好。應(yīng)用對(duì)偶理論將原問(wèn)題轉(zhuǎn)成鞍點(diǎn)問(wèn)題來(lái)求解，分開(kāi)求解原始變量和對(duì)偶變量，每步的計(jì)算量較其他算法較少，降低了計(jì)算難度。本文算法與一些優(yōu)化求解算法，如拉格朗日乘子法［9］、投影法［10］、Bregman分裂迭代算法［11］和交替近端梯度法（APGM）［12］等相比，結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單。因?yàn)檫@些優(yōu)化算法均需做梯度的復(fù)合運(yùn)算，而本文采用的基于預(yù)解式的原始對(duì)偶算法只需做單一的梯度運(yùn)算，迭代復(fù)雜度較低。雖然ADM［13］方法是求解全變分圖像復(fù)原的有效算法，一般用于有約束凸優(yōu)化問(wèn)題。但是，對(duì)于大型數(shù)據(jù)或者求解高維最小化問(wèn)題時(shí)，原偶混合梯度算法更為簡(jiǎn)單、有效。

1 全變分新定義

數(shù)字圖像中，更多的使用差分來(lái)近似導(dǎo)數(shù)。文獻(xiàn)［14］使用向后差分法，把圖像看作二維離散函數(shù)，最簡(jiǎn)單的x和y方向梯度近似表達(dá)式如下

圖像的梯度表示為

梯度的方向是圖像函數(shù)u（x，y）變化最快的方向，在圖像邊緣處一定有較大的梯度值，相反，圖像中較平滑的部分灰度值變化較小，則相應(yīng)的梯度也較小。

經(jīng)典的圖像梯度計(jì)算方法考慮圖像的每個(gè)像素在它周圍鄰域內(nèi)的灰度變化，利用相鄰邊緣的一階或二階導(dǎo)數(shù)變化規(guī)律，對(duì)原始圖像中像素某個(gè)鄰域進(jìn)行梯度計(jì)算。

通常使用全變分正則項(xiàng)為各向同性，其離散定義為

傳統(tǒng)全變分去噪模型中正則項(xiàng)是各向異性擴(kuò)散項(xiàng)，邊緣容易出現(xiàn)偽影，梯階效應(yīng)明顯。梯階效應(yīng)使得圖像的光滑區(qū)域趨于分片常值，偽邊緣的出現(xiàn)嚴(yán)重影響圖像的視覺(jué)效果。

各向同性全變分是離散全變分定義的一個(gè)有缺陷的定義，它的最小化傾向于水平和垂直結(jié)構(gòu)，只考慮兩個(gè)方向0°和-90°的梯度信息作為正則項(xiàng)約束，容易產(chǎn)生梯階效應(yīng)。在圖像復(fù)原過(guò)程中，圖像邊緣的傾斜結(jié)構(gòu)使全變分值也變得更大。傳統(tǒng)全變分正則項(xiàng)梯度方向信息選取示意圖如圖1所示。

基于圖像各向同性全變分的旋轉(zhuǎn)不變性，即經(jīng)過(guò)任意旋轉(zhuǎn)后，圖像各向同性全變分的值不改變，使得在圖像處理的過(guò)程中找不到一個(gè)特定方向使圖像各向同性全變分值最小，導(dǎo)致圖像紋理不能夠有效提取。

用迎風(fēng)全變分來(lái)定義更具有各向同性的全變分模型

其中，u+表示max（u，0），迎風(fēng)全變分相對(duì)于各向同性是更具各向同性的，并且容易產(chǎn)生尖銳的傾斜邊緣，有利于減少邊緣偽影。相對(duì)于上述傳統(tǒng)方法只考慮0°和90°方向，新定義的全變分將方向0°，90°，180°，-90°的梯度作為正則項(xiàng)約束，更充分考慮像素點(diǎn)的鄰域梯度。在圖像處理中，它能去除淺色背景下的小而暗的噪聲點(diǎn)。既能發(fā)揮各向同性的特征，同時(shí)具有較好的圖像邊緣提取效果，提高圖像去噪效果。迎風(fēng)全變分正則項(xiàng)梯度方向信息選取示意圖如圖2所示。

2 基于原偶混合梯度算法的模型求解

2.1 全變分模型

全變分去噪模型的無(wú)約束優(yōu)化形式為其中，X表示有限維向量空間，‖·‖v表示歐幾里得范數(shù)，表示梯度算子，λ表示正則化參數(shù)，u表示去噪后圖像，g表示觀測(cè)圖像。式中第一項(xiàng)為正則項(xiàng)，代表原始圖像的先驗(yàn)信息，第二項(xiàng)為保真項(xiàng)，用于保證去噪后圖像與觀測(cè)圖像的相似性。正則化參數(shù)用來(lái)平衡模型中正則項(xiàng)與保真項(xiàng)，當(dāng)取最優(yōu)值時(shí)，才能使恢復(fù)圖像效果最佳。

圖像去噪是一個(gè)從噪聲圖像中復(fù)原清晰圖像的逆問(wèn)題，在去噪方法中，變分方法將逆問(wèn)題建模為能量泛函的優(yōu)化問(wèn)題。

能量泛函的梯度下降方程為

初始值設(shè)置u=g，通過(guò)梯度下降法對(duì)圖像進(jìn)行反復(fù)迭代計(jì)算直到得到一個(gè)最優(yōu)解，從而獲得復(fù)原圖像u。

2.2 原偶恢復(fù)模型

圖像恢復(fù)模型是求取正則化函數(shù)的極小化，作為圖像復(fù)原的結(jié)果。

式（5）中變分項(xiàng)是凸的、不可微、非光滑的，使得求解具有一定復(fù)雜度。原始對(duì)偶算法是近幾年提出的最優(yōu)化算法，因其高效的迭代方式備受關(guān)注，被廣泛應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域。首先定義參數(shù)

一般鞍點(diǎn)問(wèn)題即原始對(duì)偶模型表示為

一般優(yōu)化問(wèn)題表示為

式（8）相應(yīng)的對(duì)偶問(wèn)題表示為

新定義的全變分圖像恢復(fù)模型可與原始對(duì)偶問(wèn)題建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，并采用原偶混合梯度算法進(jìn)行求解。

原始模型

根據(jù)式（7），原始對(duì)偶公式為

其中，p∈Y是對(duì)偶變量，給定凸集P是對(duì)偶空間

其中，‖p‖∞表示離散無(wú)窮范數(shù)

集合P是點(diǎn)狀球L2上的點(diǎn)，函數(shù)δP是集合P的指示函數(shù)，是恢復(fù)模型正則項(xiàng)的拓?fù)鋵?duì)偶，定義為

原始全變分問(wèn)題（7）和原始對(duì)偶全變分問(wèn)題（8）可以等價(jià)于對(duì)偶全變分問(wèn)題

2.3 原偶混合梯度算法求解

基于預(yù)解式的原偶混合梯度算法的計(jì)算方法還需詳細(xì)描述預(yù)解算子（I+?F*）-1和（I+τ?G）-1。

首先，令原始變量x固定，求解對(duì)偶變量y，可得y的預(yù)解式

然后，令對(duì)偶變量y固定，求解原始變量x，可得x的預(yù)解式

當(dāng)函數(shù)F*和G至少有一個(gè)為凸函數(shù)時(shí)算法如下。

原偶混合梯度算法

對(duì)偶變量為

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，與相關(guān)文獻(xiàn)算法進(jìn)行比較，考慮如下具有約束的迎風(fēng)差分全變分范數(shù)正則模型

測(cè)試圖像如圖3所示，是標(biāo)準(zhǔn)的Lena（512×512），Barara（512×512），Beth（256×256），Soccer（512×480），Dollar（512×512），Girl（768×512）圖像。如圖4（a）所示為加入0.3的高斯噪聲的圖像。

實(shí)驗(yàn)均在Lenovo Y7000筆記本進(jìn)行，處理器為Inter（R）Core（TM）i5-8300H CPU@2.30 GHz和8 GB內(nèi)存，操作系統(tǒng)為Windows1064位，同時(shí)仿真軟件為Matlab（2018）。過(guò)去已經(jīng)有證明各項(xiàng)同性全變分模型比各向異性模型復(fù)原效果好［15］。在本文實(shí)驗(yàn)中使用對(duì)比的方法如下：

（1）全變分原始對(duì)偶去噪（TV-PD）；

（2）迎風(fēng)全變分交替近端梯度（TVu-APGM）；

（3）全變分交替近端梯度（TV-APGM）；

（4）全變分Bregman（TV-Bregman）

（5）本文迎風(fēng)全變分原始對(duì)偶去噪；

為了評(píng)價(jià)算法的性能，使用峰值信噪比PSNR，結(jié)構(gòu)相似性SSIM 和算法迭代時(shí)間作為相應(yīng)評(píng)價(jià)指標(biāo)。

峰值信噪比PSNR是基于誤差敏感的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)。給定一個(gè)大小m×n的干凈圖像I和噪聲圖像K，均方誤差（MSE）定義為：

PSNR的值越大，失真越小。

SSIM（structural similarity）結(jié)構(gòu)相似性，SSIM取值范圍為［0，1］，值越大，表示圖像失真越小。

如表1所示，在Lena圖像去噪算法對(duì)比中，迭代次數(shù)為500，4種不同的方法設(shè)置不同的參數(shù)λ，選取最優(yōu)去噪效果作比較，相關(guān)對(duì)比數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 圖像去噪算法對(duì)比

如表1所示，4種方法的去噪效果不盡相同，本文提出的模型對(duì)圖像恢復(fù)時(shí)的PSNR值均高于其他幾種方法，SSIM 值也基本高于其他幾種方法，說(shuō)明在噪聲的情況下，本文方法具有較好的去噪效果。在測(cè)試圖片Lena上，初始值λ設(shè)置為19，本文方法的PSNR，SSIM在4種方法中數(shù)值最高，去噪效果和紋理信息的提取也相對(duì)較好。綜上6張圖片的各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)的數(shù)值對(duì)比，本文方法數(shù)值效果值最優(yōu)。

如表2所示，基于六張測(cè)試圖像的PSNR和SSIM兩個(gè)圖像質(zhì)量指標(biāo)平均值顯示，本文算法的峰值信噪比是最高的，在圖像效果上有明顯的提升。

表2 各算法評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)值平均值對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在全變分去噪模型基礎(chǔ)上，對(duì)正則化項(xiàng)進(jìn)行新定義，更多考慮邊緣信息，提高了邊緣結(jié)構(gòu)的提取效果，并利用原偶混合梯度算法求解。相比ADM算法，子問(wèn)題求解難度減小。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在信噪比、圖像一致性方面，本文方法都有所提升。但是本文算法計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，在后續(xù)的研究中，針對(duì)迭代時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題，研究如何提高優(yōu)化算法的運(yùn)行效率和提升圖像復(fù)原效果。